十个出人意表的数学公式:
作家，Sean Li 。原文《10 Mind Blowing Mathematical Equations》
翻译，小米，哆嗒数学网翻译构成员。
良多功夫，人们以为数学公式只是为了追思来应付考察的。但有些功夫，数学公式的价格却远超于此——它们自己即是艺术品，为纯粹的享福而生。这日我就搜罗了以此为主意的10个最惊人、眩目和跋扈的数学公式。这些方程应当能向任何人声明，数学不只仅只是公式的追思。
1. 欧拉恒等式
这是一个格外闻名的恒等式。它给出了3个看似随机的量之间的相干：π、e和-1的平方根。很多人以为这是数学中最美丽的公式。
一个更凡是的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b外示a的b次方，下同)。当x=π，cosx取值为-1，而isinx取值为0。由-1+1=0，咱们获得了欧拉恒等式。
2. 欧拉乘积公式
等式左边的符号是无限乞降，而右边的符号则是无限乘积。这个公式也是欧拉最先挖掘的。它相干了展示正在等式左边的自然数（如n=1，2，3，4，5等等）与展示正在等式右边的素数（如p=2，3，5，7，11等等）。况且咱们可能挑选s为自便大于1的数，并确保等式创建。
欧拉乘积公式的左边是黎曼ζ函数最常睹的一种外示局势。
3. 高斯积分
函数e^(-x?2;)自己正在积分中是很难对待的。然则当咱们对它正在扫数实数轴上积分，也即是说从负 无限到正无限时，咱们却获得了一个相等明净的谜底。至于为什么弧线下面的面积是π的平方根，这可不是一眼就能看出来的。
因为这个公式代外了正态分散，它正在统计中也相等紧急。
4. 连结统的基数
上面的公式声明了实数集的基数与自然数通盘子集的基数相通。这最先是被聚合论的建设者康托尔说明的。值得谨慎的是，这也声明了连结统是弗成数，由于2^N > N。
一个联系的假设是连结统假设。这个假设是说，正在N和R之间不生活其它的基数。兴味的是，这个假设有一个怪异的性子：它既不行被说明也不行被证伪。
5. 阶乘函数的解析延拓
阶乘函数寻常被界说为n!=n(n-1)(n-2)……1。然则这个界说只对n是正整数时有用，而上面积分方程则对分数和小数也有用，况且还可能用于负数、复数等等……
同样的积分式中咱们把n换成n-1就界说了伽马函数。
6. 勾股定理
勾股定理可能是这个清单中最谙习的公式了。它给出了直角三角形三边的相干，个中a和b是直角边长，而c是斜边长。这个公式还将三角形和正方形相干了起来。
7. 斐波那契数列的通项
这里，谨慎到φ这个数字是黄金决裂比例。良多人不妨外传过斐波那契数列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，数列中每一项是前两项的和），却很少人真切有一个公式可能准备出自便某一项斐波那契数：这即是上面咱们给出的公式，公式内中F(n)代外第n个斐波那契数。也即是说，为了获得第100个斐波那契数，你不必要去准备前99个，而只必要把100代入公式。
值得谨慎的是，即使正在准备经过中展示了很多根号和除法，结尾的谜底老是一个无误的正整数。
8. 巴塞尔题目
这个公式告诉咱们，假使你取悉数一律平方数并将它们的倒数和相加，你将会获得\pi^2/6。这是欧拉最先说明的。谨慎到这个式子只是正在前面的第二个方程（欧拉乘积公式）中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因而咱们可能说ζ(2)的值是π?2;/6。
9. 协和级数
这个公式有点反直觉，由于它告诉咱们，假使你把极少连续变小的数（最终趋势0）加起来，结尾将会获得无限。然则假使你是取它们的平方，和却是一个有限的值（谜底是π?2;/6）。假使提神侦察协和级数，你会挖掘它恰是ζ(1)。
10. 素数计数公式的显式外达
这个方程的紧急性展现正在：
素数是那些除了1和它自己以外没有其它因子的数。小于100的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素数的展示没有较着的次序：看待一串通续正整数，有功夫你会找到很多素数，有功夫你会一个也找不到。找到良多或一个找不到如同是一律随机的。
很长时代从此，数学家都正在试验给出素数分散的次序。上面的公式恰是不大于一个给天命素数个数的显式外达。
以下是各个符号的意旨：
π(x): 素数计数函数。它给出了不大于一个给天命的素数个数。比如，π(6)=3，由于有3个素数不大于6：2，3，5。
μ(n): 莫比乌斯函数。它依照n的质因数瓦解而取值为0， -1或1。
Li(x): 对数积分函数。它被界说为函数1/lnt从2到x的积分。
ρ: 黎曼ζ函数的自便非通俗零点。
令人诧异的是，扫数公式的结果老是一个无误的正整数！这声明，给定一个实数，咱们可能把它代入公式并获得不大于它的素数个数。生活着云云一个公式的毕竟声明，素数的分散生活某些次序，只是咱们当前还不行融会罢了。
