北京课改版数学九年级下册第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题 素养综合检测（含解析）

第二十六章　素养综合检测
(满分100分,限时60分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.【新独家原创】中国空间站在太空飞行的速度约是7.7千米/秒,则中国空间站每小时飞行的路程约为(　　)
A.2.772×106米 B.2.772×107米
C.2.772×108米 D.2.772×109米
2.(2022贵州铜仁中考)为了增强学生的安全防范意识,某校初三(1)班举行了一次安全知识抢答赛,抢答题一共20个,记分规则如下:每答对一题得5分,每答错或不答一题扣1分.小红一共得70分,则小红答对的题的个数为(　　)
A.14 B.15 C.16 D.17
3.【跨学科·物理】(2023北京北师大附中三模)某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:千帕)随气球内气体的体积V(单位:立方米)的变化而变化,p随V的变化情况如下表所示,那么在这个温度下,气球内气体的气压p与气球内气体的体积V的函数关系最有可能是(　　)
V(单位: 立方米) 64 48 38.4 32 24 …
p(单位: 千帕) 1.5 2 2.5 3 4 …
A.正比例函数 B.一次函数
C.二次函数 D.反比例函数
4.(2023北京大兴期末)某超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过100元,不享受优惠;(2)一次性购物超过100元,但不超过350元,一律9折;(3)一次性购物超过350元,一律8折.王波两次购物分别付款80元、288元,如果他将这两次所购物品一次性购买,则应付款(　　)
A.320元 B.332元
C.320元或352元 D.332元或363元
5.如图,某一时刻的太阳光下,小明测得一棵树落在地面上的影长为2.8米,落在墙上的影子高为1.2米,同一时刻同一地点,身高1.6米的小明在阳光下的影长为0.4米,则这棵树的高为(　　)
A.6.2米 B.10米
C.11.2米 D.12.4米
　　
6.(2023黑龙江佳木斯中考)某社区为了打造“书香社区”,丰富小区居民的业余文化生活,计划出资500元全部用于采购A,B,C三种图书,A种每本30元,B种每本25元,C种每本20元,其中A种图书至少买5本,最多买6本(三种图书都要买),此次采购的方案有(　　)
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
7.(2023湖北十堰中考)如图所示,有一天桥高AB为5米,BC是通向天桥的斜坡,∠ACB=45°,市政部门启动“陡改缓”工程,决定将斜坡的底端C延伸到D处,使∠D=30°,则CD的长度约为(参考数据:≈1.414,≈1.732)(　　)
A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米
8.(2023北京西城模拟)某便利店的咖啡单价为10元,为了吸引顾客,该店共推出了三种会员卡,如下表:
会员卡 类型 办卡费 用/元 有效期 优惠方式
A类 40 1年 每杯打九折
B类 80 1年 每杯打八折
C类 130 1年 一次性购买2杯, 第二杯半价
例如,购买A类会员卡,1年内购买50次咖啡,每次购买2杯,则消费40+2×50×(0.9×10)=940元.若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75和85之间,且每次购买2杯,则最省钱的方式为(　　)
A.购买A类会员卡 B.购买B类会员卡
C.购买C类会员卡 D.不购买会员卡
二、填空题(每小题3分,共24分)
9.(2023北京房山期末)新华书店新进一种畅销书若干本,第一天售出总数的,第二天售出总数的还多50本,结果书店还有200本这种书,则书店新进这种畅销书　　　　本.
10.京津冀一体化发展政策的落实给众多行业带来便利.某快递公司从北京发往河北的快递收费标准由原来的不超过1千克,收费10元;超过1千克的部分,每千克加收6元,降低为现在的不超过1千克,收费8元;超过1千克的部分,每千克加收5元.小明计划从北京往河北邮寄一件4千克的物品,现在比原来少付费　　　　元.
11.【中华优秀传统文化】(2022北京顺义一模)《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”:“粟率五十,粝米三十……”(粟指带壳的谷子,粝米指糙米),其大意:“50单位的粟,可换得30单位的粝米……”.若有30升的粟,按照此“粟米之法”,可以换得粝米　　　升.
12.(2023四川眉山中考)一渔船在海上A处测得灯塔C在它的北偏东60°方向,渔船向正东方向航行12海里到达点B处,测得灯塔C在它的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最短距离是　　　　海里.(保留根号)
13.(2023北京十四中月考)如图,某小区规划在一个长16 m,宽9 m的矩形场地ABCD上,修建三条同样宽的小路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草,若草坪部分的总面积为112 m2,则小路的宽为　　　　m.
14.(2023北京西城期末)有两根木条,一根AB长为100 cm,另一根CD长为150 cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M、N(圆孔直径忽略不计,M、N抽象成两个点),将两根木条的一端重合,放置在同一条直线上,此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是　　　　cm.
15.(2022北京大兴一模)某游泳馆为吸引顾客,推出了不同的购买游泳票的方式.游泳票在使用有效期限内,支持一个人在一天内不限次数进入游泳馆游泳.游泳票包括一日票、三日票、五日票及七日票共四种类型,价格如下表:
类型 一日票 三日票 五日票 七日票
价格(元/张) 50 130 200 270
某人想连续6天不限次数进入游泳馆游泳,若决定从以上四种类型中购买游泳票,则总费用最低为　　　　元.
16.【生活情境·排队结账】(2023北京三十五中月考)某超市现有n个人在收银台排队等候结账.设结账人数按固定的速度增加,收银员结账的速度也是固定的.若同时开放2个收银台,需要20分钟可使排队等候人数为0;若同时开放3个收银台,需要12分钟可使排队等候人数为0.为减少顾客等待结账的时间,需要6分钟内使排队等候人数为0,则需要至少同时开放　　　　个收银台.
三、解答题(本大题共4小题,共52分)
17.(2023山西中考)(12分)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示,载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少;
(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥,一次最多可运输多少套这种设备
18.【中华优秀传统文化】(2023湖南怀化中考)(12分)为弘扬革命传统精神,清明期间,某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈.大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼,想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离),于是师生组成综合实践小组进行测量.如图,他们在地面的A点处用测角仪测得碑顶D的仰角为30°,在B点处测得碑顶D的仰角为60°,已知AB=35 m,测角仪的高度是1.5 m(A、B、C在同一直线上),根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD.(≈1.732,结果保留一位小数)
19.(2023河南中考)(14分)蓬勃发展的快递业,为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解,打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作,为此,小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价,并整理、描述、分析如下:
a.配送速度得分(满分10分):
甲:6　6　7　7　7　8　9　9　9　10
乙:6　7　7　8　8　8　8　9　9　10
b.服务质量得分统计图(满分10分):
c.配送速度和服务质量得分统计表:
项目统计量快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
根据以上信息,回答下列问题:
(1)表格中的m=　　　　,(填“>”“=”或“<”);
(2)综合上表中的统计量,你认为小丽应选择哪家公司 请说明理由;
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司,你认为还应收集什么信息(列出一条即可)
20.(2023陕西中考)(14分)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m2,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等因素.设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图所示:
　
方案一:抛物线形拱门的跨度ON=12 m,拱高PE=4 m.其中,点N在x轴上,PE⊥ON,OE=EN.
方案二:抛物线形拱门的跨度ON'=8 m,拱高P'E'=6 m.其中,点N'在x轴上,P'E'⊥ON',OE'=E'N'.
要在拱门中设置高为3 m的矩形框架,其面积越大越好(框架的粗细忽略不计).方案一中,矩形框架ABCD的面积记为S1,点A、D在抛物线上,边BC在ON上;方案二中,矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2,点A'、D'在抛物线上,边B'C'在ON'上.
现知,小华已正确求出方案二中,当A'B'=3 m时,S2=12 m2.
请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题:
(1)求方案一中抛物线的函数表达式;
(2)在方案一中,当AB=3 m时,求矩形框架ABCD的面积S1,并比较S1,S2的大小.
答案全解全析
1.B　7.7×60×60=27 720(千米),
27 720千米=27 720 000米≈2.772×107(米).
2.B　设小红答对的题的个数为x,由题意得5x-(20-x)=70,解得x=15,故选B.
3.D　由题意可知64×1.5=96,48×2=96,38.4×2.5=96,32×3=96,24×4=96,……,由此可得出p和V的函数关系是p=,即为反比例函数.
4.C　①若第二次购物超过100元,但不超过350元,设此时所购物品价格为x元,则90%x=288,解得x=320,两次所购物品价格为80+320=400元,因为400>350,所以享受8折优惠,因此王波应付400×80%=320(元);②若第二次购物超过350元,设此时所购物品价格为y元,则80%y=288,解得y=360,两次所购物品价格为80+360=440元,因为440>350,所以享受8折优惠,因此王波应付440×80%=352(元).
5.D　设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米,则,解得x=11.2.所以树的高度=11.2+1.2=12.4(米),故选D.
6.B　当购买5本A种图书时,设购买x本B种图书,y本C种图书,根据题意,得30×5+25x+20y=500,∴x=14-y,又∵x,y均为正整数,∴
∴当购买5本A种图书时,有3种采购方案;
当购买6本A种图书时,设购买m本B种图书,n本C种图书,根据题意,得30×6+25m+20n=500,∴n=16-m,又∵m,n均为正整数,∴
∴当购买6本A种图书时,有3种采购方案.
∴此次采购的方案有3+3=6(种).
7.D　在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ACB=45°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,∴AC=AB=5米.在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠D=30°,∴∠ABD=60°,∴=tan∠ABD=tan 60°=,∴AD=AB,∴CD=AD-AC=AB-AC≈1.732×5-5≈3.66(米),∴CD的长度约为3.66米.
8.C　设一年内在便利店购买咖啡x次,则购买A类会员卡,消费费用为40+2×(0.9×10)x=(40+18x)元;购买B类会员卡,消费费用为80+2×(0.8×10)x=(80+16x)元;购买C类会员卡,消费费用为130+(10+5)x=(130+15x)元.把x=75代入,得A类:1 390元;B类:1 280元;C类:1 255元.
把x=85代入,得A类:1 570元;B类:1 440元;C类:1 405元,所以小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于75和85之间,且每次购买2杯时,最省钱的方式为购买C类会员卡.
9.1 000
解析　设书店新进这种畅销书x本,根据题意,得x+50+200=x,解得x=1 000,所以书店新进这种畅销书1 000本.
10.5
解析　现在需要付费8+5×(4-1)=23(元),原来需要付费10+6×(4-1)=28(元),28-23=5(元).
11.18
解析　设可以换得粝米x升,则,解得x=18,经检验,x=18是原分式方程的解,且符合题意,所以可以换得粝米18升.
12.(6+6)
解析　如图,过点C作CH⊥AB,交AB的延长线于H.∵∠DAC=60°,∠CBE=45°,∴∠CAH=90°-∠CAD=30°,∠CBH=90°-∠CBE=45°,∴∠BCH=90°-45°=45°=∠CBH,∴BH=CH.在Rt△ACH中,∠CAH=30°,AH=AB+BH=12+CH,tan 30°=,
∴CH=(12+CH),∴CH=(6+6)海里,故渔船与灯塔C的最短距离是(6+6)海里.
13.1
解析　设小路的宽为x m,则种草的部分可合成长为(16-2x)m,宽为(9-x)m的矩形,依题意,得(16-2x)(9-x)=112,整理,得x2-17x+16=0,解得x1=1,x2=16.当x=1时,16-2x=14>0,符合题意;当x=16时,16-2x=-16<0,不合题意,舍去.故x=1.
14.25或125
解析　当A、C(或B、D)重合,且剩余两端点在重合点同侧时,设两根木条的小圆孔之间的距离MN是a cm,则a+,解得a=25;当A、D(或B、C)重合,且剩余两端点在重合点两侧时,设两根木条的小圆孔之间的距离MN是b cm,则b-,解得b=125.综上,两根木条的小圆孔之间的距离MN是25 cm或125 cm.
15.250
解析　连续6天不限次数进入游泳馆游泳,且总费用尽量低,有4种购票方案:
方案①:买一日票6张,费用为50×6=300(元),
方案②:买三日票2张,费用为130×2=260(元),
方案③:买一日票1张,五日票1张,费用为50+200=250(元),
方案④:买七日票1张,费用为270元.
故方案③费用最低,为250元.
16.6
解析　设结账人数每分钟增加x人,收银员每分钟给y人结账,依题意,得设同时开放m个收银台,则6my>6x+n,解得m>,又∵m为整数,∴m的最小值为6.
17.解析　(1)设1个A部件的质量为x吨,1个B部件的质量为y吨,由题意,得
答:1个A部件的质量为1.2吨,1个B部件的质量为0.8吨.
(2)设该卡车一次可运输m套这种设备.根据题意,得(1.2+0.8×3)·m+8≤30,解得m≤.
∵m为整数,∴m最大可取6.
答:该卡车一次最多可运输6套这种设备.
18.解析　由题意,得AM=BN=CE=1.5 m,AB=MN=35 m,∠DEM=90°,∠DNE=60°,∠DME=30°.
∵∠DNE是△DMN的一个外角,
∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°,
∴∠DMN=∠MDN=30°,∴DN=MN=35 m.
在Rt△DNE中,DE=DN·sin 60°=35×(m),∴DC=DE+CE=+1.5≈31.8(m).
答:烈士纪念碑的通高CD约为31.8 m.
19.解析　(1)甲公司配送速度得分从小到大排列为6,6,7,7,7,8,9,9,9,10,
一共10个数据,其中第5个与第6个数据分别为7,8,所以中位数m==7.5.
×[3×(7-7)2+4×(8-7)2+2×(6-7)2+(5-7)2]=1,×[(4-7)2+(8-7)2+2×(10-7)2+2×(6-7)2+(9-7)2+2×(5-7)2+(7-7)2]=4.2,∴.
(2)小丽应选择甲公司(答案不唯一),理由如下:
∵配送速度得分:甲和乙的平均数相差不大,服务质量得分:甲和乙的平均数相同,但是甲的方差明显小于乙的方差,
∴甲更稳定,∴小丽应选择甲公司.
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况.(答案不唯一,言之有理即可)
20.解析　(1)由题意知,方案一中抛物线的顶点P(6,4),设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)2+4,
把O(0,0)代入,得0=a(0-6)2+4,
解得a=-,∴y=-x,
∴方案一中抛物线的函数表达式为y=-x.
(2)在y=-x中,令y=3,得3=-x,解得x=3或x=9,∴C点的坐标为(9,0).
∴BC=9-3=6(m),
∴S1=AB·BC=3×6=18(m2).
∵18>12,∴S1>S2.