北京课改版数学九年级下册23.2 旋转变换 素养提升练习（含解析）

23.2　旋转变换
基础过关全练
知识点1　旋转变换的概念　　　　　　　　　　　　　　　　
1.下列现象:①地下水位逐年下降,②传送带的移动,③方向盘的转动,④水龙头的转动,其中属于旋转的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.(2023北京海淀育英学校期末)将如图所示的图案绕着点O按顺时针方向旋转90°,得到的图案是(　　)
3.【教材变式·P11例1变式】如图,在正方形ABCD中,E是BC上一点,△ABE经过旋转得到△ADF.
(1)旋转中心是点　　　　;
(2)旋转角最小是　　　　°;
(3)如果点G是AB上的一点,那么经过上述旋转后,点G旋转到什么位置 请在图中将点G的对应点G'表示出来.
知识点2　旋转变换的性质
4.【新独家原创】如图所示的是嘉琪自制的一个风车,将其绕点O旋转后仍与原图形重合,旋转角的大小不可能是(　　)
A.45° B.60° C.90° D.135°
5.(2023北京东城期末)如图,将△ABC绕点A逆时针旋转100°,得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上,则∠B的大小为(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
6.(2021北京交大附中月考)如图,在正方形网格中,△MPN绕某一点旋转某一角度得到△M'P'N',则旋转中心是(　　)
A.点A B.点B C.点C D.点D
7.(2023湖南张家界中考)如图,AO为∠BAC的平分线,且∠BAC=50°,将四边形ABOC绕点A按逆时针方向旋转后,得到四边形AB'O'C',且∠OAC'=100°,则四边形ABOC旋转的角度是　　　　.
8.(2023北师大二附中西城实验学校期中)如图,△ABC中,∠C=90°.将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC'.若BC'=3,AC=4,则AA'=　　　　.
9.【手拉手模型】【教材变式·P17T4变式】如图,以点A为顶点作等腰Rt△ABC,等腰Rt△ADE,其中∠BAC=∠DAE=90°,连接BD、CE.判断BD与CE的位置关系与数量关系,并用旋转的性质说明上述关系成立的理由.
10.【鸡爪模型】(2023北京八中月考)如图,P为正方形ABCD内一点,且BP=2,PC=3,∠APB=135°,将△APB绕点B顺时针旋转90°得到△CP'B,连接PP',求AP的长.
知识点3　旋转变换作图
11.如图所示,△ABC绕点A旋转后,点B与点D重合,作出旋转后的△ADE.
12.【新独家原创】如图,在由小正方形组成的网格中,△ABC的顶点及点O都在格点上.
(1)在网格中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°,180°后所得到的△A'B'C',△A″B″C″;
(2)△ABC与△A″B″C″有什么位置关系
知识点4　平面直角坐标系中的旋转
13.(2023北京东城东直门中学期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(2,3)关于原点对称的点的坐标是　　　　.
14.(2023浙江金华中考)在直角坐标系中,点(4,5)绕原点O逆时针旋转90°,得到的点的坐标为　　　　.
15.(2022北京一七一中月考)如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点都在格点上,建立平面直角坐标系,以原点O为中心,将△ABC顺时针旋转90°,得到△A1B1C1.
(1)请在方格纸中画出△A1B1C1;
(2)点A1的坐标为　　　　,点B1的坐标为　　　,点C1的坐标为　　　.
能力提升全练
16.【新课标例80变式】(2023天津中考,11,)如图,把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点B,C的对应点分别是点D,E,且点E在BC的延长线上,连接BD,则下列结论一定正确的是(　　)
A.∠CAE=∠BED B.AB=AE
C.∠ACE=∠ADE D.CE=BD
17.(2023北京西城期末,7,)如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°)得到△EDC,当点A的对应点D落在BC上时,连接BE,则∠BED的度数是(　　)
A.30° B.45° C.55° D.75°
　　
18.【最大距离问题】(2022北京一七一中期末,8,)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,AB=2,将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A1B1C,取AC的中点E,A1B1的中点P,连接EP,则在旋转过程中,线段EP的最大值为　　(　　)
A.1 B.0.5 C.2 D.1.5
19.【跨学科·生物】(2023山东枣庄中考,13,)银杏是著名的活化石植物,其叶有细长的叶柄,呈扇形.如图所示的是一片银杏叶标本,叶片上两点B,C的坐标分别为(-3,2),(4,3),将银杏叶绕原点顺时针旋转90°后,叶柄上点A的对应点的坐标为　　　　.
20.【新定义试题】(2023北京东城期末,16,)我们给出如下定义:在平面内,点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值.如图,在平面内有一个矩形ABCD,AB=4,AD=2,中心为O,在矩形外有一点P,OP=3,当矩形绕着点O旋转时,点P到矩形的距离d的取值范围为　　　　.
21.(2023北京大兴实验学校期末,16,)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段AB上,连接BE.下列结论:①DC平分∠ADE;②∠BDE=∠BCE;③BD⊥BE;④BC=DE.其中所有正确结论的序号是　　　　.
22.(2023北京东城景山中学期末,18,)如图,在平面直角坐标系xOy中,将格点△AOB绕某点逆时针旋转α(0°<α<180°)得到格点△ECD,点A与点E,点O与点C,点B与点D是对应点.
(1)请通过画图找到旋转中心,将其标记为点M,并写出点M的坐标;
(2)直接写出旋转角α的度数.
23.【北京常考·图形变换题】(2023北京中考,27,)在△ABC中,∠B=∠C=α(0°<α<45°),AM⊥BC于点M,D是线段MC上的动点(不与点M,C重合),将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.
(1)如图1,当点E在线段AC上时,求证:D是MC的中点;
(2)如图2,若在线段BM上存在点F(不与点B,M重合)满足DF=DC,连接AE,EF,直接写出∠AEF的大小,并证明.
24.(2023北京石景山期末,27,)如图,四边形ABCD是正方形,以点A为中心,将线段AB顺时针旋转α(0°<α<90°),得到线段AE,连接DE,BE.
(1)求∠DEB的度数;
(2)过点B作BF⊥DE于点F,连接CF,依题意补全图形,用等式表示线段DE与CF的数量关系,并证明.
素养探究全练
25.【抽象能力】【北京常考·图形变换、新定义题】(2023北京四中月考)在平面直角坐标系xOy中,对于线段AB,点P和图形G定义如下:线段AB绕点P逆时针旋转90°得到线段A'B'(A'和B'分别是A和B的对应点);若线段AB和A'B'均在图形G的内部(包括边界),则称图形G为线段AB关于点P的旋垂闭图.
(1)如图,点C(1,0),D(3,0).
①已知图形G1:半径为3的☉O;G2:以O为中心且边长为6的正方形;G3:以线段OD为边的等边三角形.在G1,G2,G3中,线段CD关于点O的旋垂闭图是　　　　.
②若半径为5的☉O是线段CD关于点T(t,0)的旋垂闭图,求t的取值范围.
(2)已知长度为2的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上.若存在点Q(2+a,2-a),使得对半径为2的☉Q上任意一点M,都有线段AB满足半径为r的☉O是该线段关于点M的旋垂闭图,直接写出r的取值范围.
答案全解全析
基础过关全练
1.C　根据旋转的定义逐个判断.只有③④属于旋转,共有2个.
2.C　根据旋转的定义,可知只有C选项符合题意.
3.解析　(1)A.
(2)90.
(3)点G'的位置如图所示.
4.B　该风车有8个叶片,=45°,结合选项可知旋转角可以为45°或90°或135°,不可能是60°.
5.B　根据旋转的性质,可得AB=AD,∠BAD=100°,
∴∠B=∠ADB=×(180°-100°)=40°.
6.B　如图,连接PP'、NN'、MM',作PP'、NN'、MM'的垂直平分线,这三条垂直平分线正好都过点B,即旋转中心是点B.故选B.
7.75°
解析　∵AO为∠BAC的平分线,∠BAC=50°,
∴∠BAO=∠CAO=∠BAC=25°,依据旋转的性质可知∠C'AO'=∠CAO=25°,旋转角度为∠OAO'的大小,
∴∠OAO'=∠OAC'-∠C'AO'=100°-25°=75°.
8.5
解析　∵将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC',
∴AB=A'B,∠ABA'=60°,BC=BC'=3,
∴△ABA'是等边三角形,∴AB=AA',
∵∠C=90°,∴AB==5,
∴AA'=AB=5.
9.解析　BD=CE,BD⊥CE.理由:∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,且∠BAC=∠DAE=90°,
∴将△ACE绕点A顺时针旋转90°后,E与D重合,C与B重合,
即△EAC与△DAB重合,∴CE=BD,∠ACE=∠ABD,
由∠BAC=90°,易得∠BFC=90°,即BD⊥CE.
方法解读　本题属于手拉手模型.共顶点,等顶角的两个等腰三角形构成手拉手模型.解有关手拉手模型的问题,通常根据旋转变换及等腰三角形的性质证明三角形全等.
10.解析　∵△CP'B是由△APB旋转得到的,
∴∠APB=∠CP'B=135°,∠ABP=∠CBP',BP=BP',AP=CP',
∵∠ABP+∠PBC=90°,
∴∠CBP'+∠PBC=90°,即∠PBP'=90°,
∴△BPP'是等腰直角三角形,
∴∠BP'P=45°,PP'=,
∵∠CP'B=135°,
∴∠PP'C=90°,
∵PC=3,
∴CP'==1,
∴AP=CP'=1.
方法解读　本题中由BP,BA,BC组成的“鸡爪模型”较为特殊,此模型有两条“等爪”,即BA=BC,且这两条等爪的夹角是特殊角(90°).对“鸡爪模型”中的△APB旋转,得到△CP'B,故AP=CP',根据旋转的性质可知△BPP'是等腰直角三角形,求出PP'的长度,在Rt△CPP'中利用勾股定理即可求得CP'的长,从而得解.
11.解析　如图所示,△ADE即为所求作的三角形.
12.解析　(1)如图所示,△A'B'C',△A″B″C″即为所求作.
(2)△ABC与△A″B″C″关于点O中心对称.
13.(-2,-3)
解析　根据“关于原点对称的两个点,横、纵坐标分别互为相反数”即可求得.
14.(-5,4)
解析　如图,点A(4,5)绕原点O逆时针旋转90°,得到的点B的坐标为(-5,4).
15.解析　(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)(6,-2);(4,0);(4,-7).
能力提升全练
16.A　如图,设AD与BE的交点为O,∵把△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,∴∠ABC=∠ADE,∠BAD=∠CAE,又∵∠AOB=∠DOE,
∴∠BED=∠BAD=∠CAE.故A中结论一定正确.
17.B　∵AB=AC,∠A=120°,∴∠ABC=∠ACB=30°,由旋转的性质知,∠ACB=∠ABC=∠DCE=∠DEC=30°,CB=CE,∴∠CEB=∠CBE=75°,∴∠BED=∠CEB-∠CED=75°-30°=45°.
18.D　如图,连接CP,∵∠ACB=90°,AC=1,AB=2,∴∠B=30°,∴∠A=60°,由旋转的性质可知,∠B1=30°,∠A1=60°,A1B1=2,∵点P是A1B1的中点,∴CP=A1B1=1,∵点E是AC的中点,AC=1,∴CE=0.5,在△CEP中,CE+CP>EP,∴当E,C,P三点共线,且C在线段EP上时,EP最大,此时EP最大=0.5+1=1.5.故选D.
方法解读　本题属于最大距离问题,根据三角形任意两边之和大于第三边可知CE+CP>EP,当E,P,C三点共线,且点C在线段EP上时,EP最大,最大值等于CE+CP的长;当E,P,C三点共线,且点C在线段PE的延长线上时,EP最小,最小值等于CP-CE的长.
19.(-3,1)
解析　如图,建立平面直角坐标系,则点A的坐标为(-1,-3),作出点A绕原点O顺时针旋转90°得到的对应点A',则点A'的坐标为(-3,1).
20.3-≤d≤2
解析　如图,设AB的中点是E,当OP过点E时,点O与边AB上所有点的连线中,OE最小,此时d最大;当OP过顶点A时,点O与边AB上所有点的连线中,OA最大,此时d最小.如图1,∵AD=2,中心为O,∴OE=1,OE⊥AB,∵OP=3,∴d的最大值=3-1=2;如图2,∵AB=4,AD=2,矩形的中心为O,∴AE=2,OE=1,OE⊥AB,∴OA=,∵OP=3,∴d的最小值=3-,∴d的取值范围为3-≤d≤2.
　
21.①②③
解析　∵△DEC是由△ABC旋转得到的,∴CA=CD,∠A=∠CDE,∴∠A=∠CDA,∴∠CDA=∠CDE,∴DC平分∠ADE,故①正确;
如图,设BC,DE交于点F,
由旋转的性质得∠ABC=∠DEC,∵∠BFE=∠FCE+∠FEC=∠FDB+∠FBD,∴∠BDE=∠BCE,故②正确;
由旋转的性质可知,∠ACD=∠BCE,CA=CD,CB=CE,∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB,∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°,∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°,∴∠DCE+∠DBE=180°,∵∠DCE=90°,∴∠DBE=90°,∴BE⊥BD,故③正确;由旋转的性质,可得DE=AB,而AB≠BC,∴BC≠DE,故④错误.
22.解析　(1)如图,连接AE,分别作线段AE与OC的垂直平分线,两直线的交点即为点M,由图可知点M的坐标为(2,2).
(2)由图可知,∠AME=90°,∴旋转角为90°.
23.解析　(1)证明:由旋转的性质得DM=DE,∠MDE=2α,
∵∠C=α,
∴∠DEC=∠MDE-∠C=α,
∴∠C=∠DEC,∴DE=DC,
∴DM=DC,即D是MC的中点.
(2)∠AEF=90°.
证明:如图,延长FE到H,使EH=FE,连接CH,AH,AF.
∵DF=DC,FE=EH,∴DE是△FCH的中位线,
∴DE∥CH,CH=2DE,
由旋转的性质得,DM=DE,∠MDE=2α,
∴∠FCH=2α,
∵∠B=∠ACB=α,
∴AB=AC,∠ACH=∠BCH-∠ACB=α,
∴∠B=∠ACH,
设DM=DE=m,CD=n,
则CH=2m,CM=m+n,DF=CD=n,
∴FM=DF-DM=n-m,
∵AB=AC,AM⊥BC,∴BM=CM=m+n,
∴BF=BM-FM=m+n-(n-m)=2m,
∴CH=BF,
在△ABF和△ACH中,∵
∴△ABF≌△ACH(SAS),
∴AF=AH,
∵FE=EH,
∴AE⊥FH,即∠AEF=90°.
24.解析　(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∵将线段AB顺时针旋转α(0°<α<90°),得到线段AE,
∴∠EAB=α,AB=AE,
∴AE=AD,∠EAD=90°+α,
∴∠AED==45°-α,
∵AE=AB,∠EAB=α,
∴∠AEB==90°-α,
∴∠DEB=∠AEB-∠AED=-45°-α=45°.
(2)补全图形如下,线段DE与CF的数量关系为DE=CF.
证明:过C作CG⊥CF交FD的延长线于G,
∵BF⊥DE,
∴∠BFC+∠CFD=90°,
∵CG⊥CF,∴∠CFD+∠G=90°,
∴∠BFC=∠G,
∵∠BCD=∠FCG=90°,
∴∠BCF=∠DCG,
∵BC=CD,
∴△BCF≌△DCG(AAS),
∴BF=DG,CF=CG,
∴△FCG是等腰直角三角形,
∴FG=CF,
由(1)知,∠DEB=45°,
∴△BEF是等腰直角三角形,
∴EF=BF,∴EF=DG,
∴EF+FD=DG+FD,即DE=FG,
∴DE=CF.
素养探究全练
25.解析　(1)①G1,G2.详解:由图可知,在G1,G2,G3中,线段CD关于点O的旋垂闭图是G1,G2.
②如图所示,当点T在点C左侧,且刚好点D'落在☉O上时,连接OD',
由旋转的性质可得D'T=DT,∠D'TD=90°,
∵T(t,0),D(3,0),
∴OT=-t,D'T=DT=3-t,∴D'(t,3-t),
∵D'在☉O上,∴OD'=5,
∴t2+(3-t)2=25,
∴2t2-6t-16=0,
解得t=或t=(不符合题意,舍去);
如图所示,当点T在点D右侧,且刚好点C'落在☉O上时,连接OC',
由旋转的性质可得C'T=CT,∠C'TC=90°,
∵T(t,0),C(1,0),∴OT=t,C'T=CT=t-1,
∴C'(t,1-t),
∵C'在☉O上,∴OC'=5,
∴t2+(1-t)2=25,
∴2t2-2t-24=0,
解得t=4或t=-3(不符合题意,舍去),
∴当≤t≤4时,半径为5的☉O是线段CD关于点T(t,0)的旋垂闭图.
(2)r≥4+2.详解:∵Q(2+a,2-a),
∴yQ+xQ=2+a+2-a=4,
∴yQ=-xQ+4,
∴点Q在直线y=-x+4上运动,
∵长度为2的线段AB在x轴负半轴和原点组成的射线上,
∴不妨设点A在点B的左侧,
如图所示,连接AQ并延长交☉Q于M,点A绕点M逆时针旋转90°后的对应点为A',连接A'M,AA',在x轴上取一点E使得AE=AA',
由旋转的性质可得AM=A'M,∠AMA'=90°,
∴AE=AA'=AM,
∵点A到☉Q上任意一点的距离的最大值是AM的长,
∴AE的最大值即为AM的长,
∴只需要☉O刚好能够使点E在☉O上,☉O的半径才有最小值,最小值为(AM-OA)的长,
∵A、Q都是动点,
∴只需要找到AQ的最小值,☉O的半径才有最小值.
∵点到直线的距离中,垂线段最短,
∴当AQ与直线y=-x+4垂直时,AQ有最小值,即AM有最小值,
∴如图所示,当点A的坐标为(-2,0)且AQ与直线y=-x+4垂直时,AQ有最小值,即AM有最小值,
设直线y=-x+4与x轴交于点F,与y轴交于H,则F(4,0),H(0,4),
∴OH=OF=4,AF=6,
∴∠HFO=45°,
∵∠AQF=90°,
∴∠QAF=45°=∠QFA,
∴QA=QF=,
∴AM=AQ+QM=3+2,
∴AA'=,
∴OA'=AA'-OA=4+2,
∴r≥4+2.