参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A C B A C B D
填空题
0.24 ；
；
y1>y2>y3 ；
45°；
0或-8 ；
5，.
解答题
（6分）
（1）解： ，
，
；
（2）解： ，
，
，
，
．
（6分）
解：
，
该抛物线顶点坐标是：
∴向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点
（原函数上取一点，再给出平移方法）
（6分）
（8分）
（1）根据题意，树状图如下：
∴随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为5的情况共有4种
∴两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
（2）根据（1）的结论，随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为奇数的情况有8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种
∴甲胜的概率，乙胜的概率，
∴甲胜的概率大于乙胜的概率
∴这不是个公平的游戏.
（8分）
证明：
由折叠性质可得：，，
∴，
∴，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）证明：由折叠性质可得：，
由（1）得：，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴
（10分）
解：（1）连接AB，如图，
，
，
，
，
．
（2），由（1）知为等边三角形，
，
，
连，，作于，则∠AOC=30°，
，
∴的面积=，
（10分）
（1）解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
由（1）得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为1米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
（3）解：由（1）可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在x轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米．
（12分）
（1）如图，过点O作于点M，作于点N．
，
，
∴OM=ON,
平分．
（2）由（1）可知，∠OAD=∠OAB，
，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴，
，
解得，
∵，
∴，
，，
CD=1.5，
（3）延长BD交圆于点E，连接CE,设，
，
， ，
∵∠ACE=∠ABO,
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE，
∴参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A A C B A C B D
二、填空题
11. 0.24 ；
12. 5 1；
13. y1>y2>y3 ；
14. 45°；
15. 0或-8 ；
409
16. 5， .
2
三、解答题
17. （6 分）
（1）解：∵ 2: = 5: 3，
∴ 5 = 6，
∴ = 6； ……3 分，不检验不扣分
5
2 ∵ 2 （ ）解： = ，
2 3
∴ 3 = 2 2 ，
∴ 3 = 4 2 ，
∴ 2 = ，
∴ = 1． ……3 分
2
18. （6 分）
解： = 2 2 + 8 6
= 2( 2 4 ) 6
= 2( 2 4 + 4) 6 + 8
= 2( 2)2 + 2， ……3 分
∵该抛物线顶点坐标是：(2,2) ……1 分，抛物线上任取一点均可
∴向左平移 2 个单位，向下平移 2 个单位，图象过原点 ……2 分
（原函数上取一点，再给出平移方法）
19. （6 分）
20. （8 分）
（1）根据题意，树状图如下：
……3 分
∴随机地一次摸取两张纸牌，共有 12 种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为 5 的情况共有 4 种
4 1
∴两次摸取纸牌上数字之和为 5 的概率= = ；
12 3
……2 分
（2）根据（1）的结论，随机地一次摸取两张纸牌，共有 12 种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和
为奇数的情况有 8 种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有 4 种
= 8 = 2∴甲胜的概率 ，乙胜的概率= 4 = 1，
12 3 12 3 ……2 分
∴甲胜的概率大于乙胜的概率
……1 分
∴这不是个公平的游戏.
21. （8 分）
（1）证明：
由折叠性质可得：∠ = ∠ = 90°， = ，
∴∠ = ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ = 90°，
∵点 M 是 的中点，
∴ = = ，
∵ = ，
Rt △ ≌ Rt △ HL ……3 分∴ ，
∴∠ = ∠ ，
……1 分
∴ 平分∠ ；
（2）证明：由折叠性质可得：∠ = ∠ ，
由（1）得：∠ = ∠ ，
∵∠ +∠ + ∠ + ∠ = 180°，
∴∠ +∠ = 90°， ……1分
∵∠ = 90°，
∵∠ +∠ = 90°，
……1 分
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ = 90°， ……1 分
∴△ ~△ ……1 分
22. （10 分）
解：（1）连接 AB，如图，
∵ = ，
∴ + = + ，
∴ = ， ……2 分
∴ ∠ = ∠ ， ……1 分
∴ = ． ……1 分
（2）∵ ∠ = 60°，由（1）知△ 为等边三角形，
∴ ∠ = 60°， ……1 分
∵ = 3
∴ = 30°， ……1 分
连 ， ， 作 ⊥ 于 ，则∠AOC=30°，
∴ = 1 ，
2
∴△ 的面积=9， ……2 分
∴ 阴影 = 扇形 △ = 3 9 ……2 分
23. （10 分）
（1）解：∵抛物线 1表达式为 = 2 2
3
，且经过点 , 3 ，
2 8
2
∴ 3 = 3 2 × 3，
8 2 2
解得： = 1， ……2 分
2
∴ 1抛物线 1的函数表达式为： = 2 + ……1分2
（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：
1
由（1）得，抛物线 1的函数表达式为 = 2 + ，2
∵ = 1 2 + = 1 2 2 = 1 1 2 + 1，
2 2 2 2 ……2分
∴ 1抛物线 1的顶点坐标为 1, ，2
∵ 处离地面的距离为 1 米，
∴球在运动中离地面的最大高度为 1 + 1 = 3 < 2，
2 2 ……1分
∴最大高度未达到要求；
（3 1）解：由（1）可知， = ，
2
∵抛物线 3表达式为 = 2 + ，
∴
2
对称轴为直线 = ，顶点坐标为 , ， ……1 分
2 2 4
∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，
∴
2
+ 1 ≥ 2，
4
∴ ≥ 2或 ≤ 2，
∵对称轴在 x 轴负半轴，
∴ < 0，
∴ ≤ 2， ……1分
∵ 3点 的横坐标为 ，
2
∴ = 9 3 ，4 2
∴ = 2 9 3 3当 时， 有最小值，最小值为 × 2 = ，4 2 4 ……1分
∴ 3点 离地面的高度至少为 1 + = 1.75米．
4 ……1 分
24. （12 分）
（1）如图，过点 O 作 ⊥ 于点 M，作 ⊥ 于点 N．
∵ = ，
⊥ ， ⊥
∴OM=ON, ……2分
∴ 平分∠ ． ……1 分
（2）由（1）可知，∠OAD=∠OAB，
∵ = ，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OAD=∠OBA，
∵∠ADO=∠BDA
∴△ △ ， ……2 分
∴ = ，
∴ 6 = 解得 = 4， ……1 分
+5 6
∵△ △ ，
= ∴ ，
5 4 ……1 分= ， = 7.5，
6
……1 分
CD=1.5，
（3）延长 BD 交圆于点 E，连接 CE,设 = = = ，
∵ = ，
∴ = ， = ， ……1 分
∵∠ACE=∠ABO,
……1 分
由（2）得，∠OAD=∠OBA，
∴∠ACE=∠DAO,
∴OA∥CE， ……1分
= = mr = m∴
r mr 1 ……1 分2023学年第一学期九年级学情调研 数学卷
命题学校：
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．
1．下列各组数中，成比例的是（ ）
A．1，，， B．1，4，2，
C．5，6，2，3 D．，，1，
2．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中发生可能性最大的是（ ）
A．朝上一面的点数大于2 B．朝上一面的点数为3
C．朝上一面的点数是2的倍数 D．朝上一面的点数是3的倍数
4．若扇形的半径为3，圆心角为，则此扇形的弧长是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，点D，E分别在边上．若，，则的长为（ ）
B． C． D．3
6．如图，在中，弦AC与半径OB交于点D，连接OA，BC．若，，则的度数为（ ）
A．110° B．112° C．120° D．132°
7．二次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
8．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是的弦，点是上的动点（不与点，重合），过点作垂直于的弦．若设的半径为，，，则弦的长（ ）
A．与，， 的值均有关 B．只与， 的值有关
C．只与 的值有关 D．只与， (或，)的值有关
10．函数图象与有交点，且满足，则 的取值范围是（ ）
A． B． 或2
C． D． 或
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．任意抛掷一只纸杯200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯口朝上”的概率为 ．
12．设点是线段的黄金分割点，那么线段的长是 ．
13．已知，点A（1，y1），B（0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数y＝x24x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
14．如图，为的直径，，为的中点，过作∥交于，连接，则的度数为 ．
15．在二次函数y=ax22ax+b中，当0 ≤ x ≤3时，2 ≤ y ≤6，则ab = ．
16．如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有A，B，C，D，E五盏装饰灯．为了估测该水池的大小，观测员在A，D两点处发现点A，E，C和D，E，B均在同一直线上，沿AD方向走到F点，发现．测得米，米，米，则所在圆的半径为 米，所在圆的半径为 ．米．
三、解答题：本题有8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分6分)计算：
(1)已知，求x． (2)已知，求的值．
18．(本题满分6分)
请将二次函数化为的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.
19．(本题满分6分)图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上.只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图.(不要求写画法，但需保留作图痕迹．)
(1)在图中画出线段的中点；
(2)在图中画出线段上的一点，使：：．
20．(本题满分8分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
(1)计算摸取的两张纸牌上数字之和为5的概率；
(2)甲、乙两人进行游戏，如果摸取的两张纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果摸取的两张纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
21．(本题满分8分)如图，矩形中，，点M是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于E，连接．
(1)求证：平分；
(2)求证：△EMC∽△MAB.
22．(本题满分10分)如图，，是上的点，为外一点，连结，，分别交于点，，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为6，，，求图中阴影部分的面积．
23．(本题满分10分)排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在处将球垫偏，之后又在A、两处先后垫球，球沿抛物线运动（假设抛物线、、在同一平面内），最终正好在处垫住，处离地面的距离为1米．如图所示，以为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？
24．(本题满分12分)如图，在锐角三角形ABC中，，是的外接圆，连结AO，BO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO平分；
（2）若的半径为5，，求DC的长；
（3）若，求的值（用含m的代数式表示）．
九年级数学卷2023 学年第一学期九年级学情调研 数学卷
命题学校：
一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符
合题目要求．
1．下列各组数中，成比例的是（ ）
A．1， 2， 3， 6 B．1，4，2， 8
C．5，6，2，3 D． 2， 6，1， 3
2．二次函数 = 2 + 2 1的图象与 y轴的交点坐标是（ ）
A．( 2,0) B．(0, 2) C．( 1,0) D．(0, 1)
3．任意抛掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后，下列事件中发生可能性最大的是（ ）
A．朝上一面的点数大于 2 B．朝上一面的点数为 3
C．朝上一面的点数是 2的倍数 D．朝上一面的点数是 3的倍数
4．若扇形的半径为 3，圆心角为 60°，则此扇形的弧长是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
5 2．如图，△ 中，点 D，E分别在边 , 上．若 = = ， = 2，则 的长为（ ）
3
A 1 B 3． ． C 4． D．3
3 4 3
6．如图，在⊙ 中，弦 AC与半径 OB交于点 D，连接 OA，BC．若∠ = 60°，
∠ = 116°，则∠ 的度数为（ ）
A．110° B．112° C．120° D．132°
7．二次函数 = 2 2 3( < 0)的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限.
8．一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．3: 2 B．1: 3 C．1: 2 D． 2: 3
9．如图， 是⊙ 的弦，点 是 上的动点（不与点 ， 重合），过点 作垂直
于 的弦 ．若设⊙ 的半径为 ， = ， = ，则弦 的长（ ）
A．与 ， ， 的值均有关 B．只与 ， 的值有关
C．只与 的值有关 D．只与 ， (或 ， )的值有关
4
10．函数图象 = ( )2 5与 y 有交点( 0, 0)，且满足 1 ≤ 0 ≤ 2，则 的取值范围是（ ）x
A．2 3 ≤ ≤ 2 B．0 ≤ ≤ 3或 2 3 ≤ ≤ 2 + 3
C．0 ≤ ≤ 2 + 3 D．0 ≤ ≤ 2 3或 2 ≤ ≤ 2 + 3
九年级数学卷 第 1 页 共 4 页
二、填空题：本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分．
11．任意抛掷一只纸杯 200次，经过统计发现“杯口朝上”的次数为 48次，则由此可以估计这只纸杯出现“杯
口朝上”的概率为 ．
12．设点 是线段 的黄金分割点( > )， = 2，那么线段 的长是 ．
13．已知，点 A（ 1，y1），B（ 0.5，y2），C（4，y3）都在二次函数 y＝x2 4x+c的图象上，则 y1，y2，
y3的大小关系是 ．
14 ．如图， 为⊙ 的直径， = 2 ， 为 的中点，过 作 ∥ 交
于 ，连接 ，则∠ 的度数为 ．
15．在二次函数 y=ax2 2ax+b中，当 0 ≤ x ≤3时， 2 ≤ y ≤6，则 ab = ．
16．如图，某公园有一月牙形水池，水池边缘有 A，B，C，D，E五盏装饰
灯．为了估测该水池的大小，观测员在 A，D两点处发现点 A，E，C和 D，
E，B均在同一直线上，沿 AD方向走到 F点，发现∠ = 90°．测得 = 9.6
米， = = 8 米， = 2.4米，则 所在圆的半径为 米，
所在圆的半径为 ．米．
三、解答题：本题有 8 小题，共 66 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本题满分 6分)计算：
2 : x 5 :3 y 2y x x(1)已知 ，求 x． (2)已知 ，求 的值．
2 3 y
18．(本题满分 6分)
请将二次函数 = 2 2 + 8 6化为 = ( )2 + 的形式，并给出一种平移方式，使平移后的
图象过原点.
九年级数学卷 第 2 页 共 4 页
19．(本题满分 6分)图①、图②均是 6 × 6的正方形网格，每个小
正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上.只用无刻度的
直尺按下列要求在给定的网格中画图.(不要求写画法，但需保留作
图痕迹．)
(1)在图①中画出线段 的中点 ； 图① 图②
(2)在图②中画出线段 上的一点 ，使 ： = 4：5．
20．(本题满分 8分)在一个不透明的口袋中装有 4张相同的纸牌，它们分别标有数字 1，2，3，4，随机地
摸取两张纸牌，请用列表或画树状图的方法解决下列问题．
(1)计算摸取的两张纸牌上数字之和为 5的概率；
(2)甲、乙两人进行游戏，如果摸取的两张纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果摸取的两张纸牌上数字
之和为偶数，则乙胜．这个游戏公平吗？请说明理由．
21．(本题满分 8分)如图，矩形 中， < 2 ，点 M是 的中点，连接 ．将△ 沿着 折
叠后得△ ，延长 交 于 E，连接 ．
(1)求证： 平分∠ ；
(2)求证：△EMC∽△MAB.
22．(本题满分 10分)如图， ， 是⊙ 上的点， 为⊙ 外一点，连结 ， ，分别交⊙ 于点 ， ，
且 = ．
（1）求证： = ；
2 （ ）若⊙ 的半径为 6，∠ = 60°， = 3 ，求图中阴影部分的面积．
九年级数学卷 第 3 页 共 4 页
23．(本题满分 10分)排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为 2米．某次模拟测试
中，某生第一次在 处将球垫偏，之后又在 A、 两处先后垫球，球沿抛物线 1 → 2 → 3运动（假设抛
物线 1、 2、 3在同一平面内），最终正好在 处垫住， 处离地面的距离为 1米．如图所示，以 为坐标
3 3 3
原点 1米为单位长度建立直角坐标系， 轴平行于地面水平直线 ，已知点 , ，点 的横坐标为 ，
2 8 2
抛物线 1表达式为 = 2 2 和抛物线 3表达式为 = 2 2 + ( ≠ 0)．
(1)求抛物线 1的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处 离地面的高度至少
为多少米？
24．(本题满分 12分)如图，在锐角三角形 ABC中， = ，⊙ 是△ 的外接圆，连结 AO，BO，
延长 BO交 AC于点 D．
（1）求证：AO平分∠ ；
（2）若⊙ 的半径为 5， = 6，求 DC的长；
3 （ ）若 = ，求 的值（用含 m的代数式表示）．
九年级数学卷 第 4 页 共 4 页
