新人教A版选择性必修第一册2024版高中数学第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式（练习+课件）（4份打包）

(共47张PPT)
第二章　直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.3　点到直线的距离公式
2.3.4　两条平行直线间的距离
学习目标 素养要求
1．掌握点到直线的距离公式，明确公式中各字母表示的含义 直观想象
2．掌握两条平行直线间距离的定义 直观想象
3．能利用点到直线的距离公式、两条平行直线间的距离公式解决问题 数学运算
| 自 学 导 引 |
　　　　点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离
1．定义：点到直线的________的长度．
2．图示
3．公式：d＝______________．
垂线段　
【答案】A　
【预习自测】
在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？
【答案】提示：在使用公式时，只适用于直线方程的一般式．
微思考
　　　　两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
1．定义：夹在两条平行线间的________的长．
2．图示
垂线段　
3．求法：转化为点到直线的距离．
4．公式：d＝________________．
【答案】C　
【预习自测】
2．P，Q分别为3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任一点，则|PQ|的最小值为________．
【答案】3　
【答案】提示：两条平行直线的方程都是一般式，并且x，y的系数分别对应相等．
微思考
| 课 堂 互 动 |
【答案】(1)B　(2)x＋y－1＝0或7x＋y＋5＝0
应用点到直线的距离公式应注意的三点
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
【答案】C　
【答案】(1)C　(2)2x－y＋1＝0
【答案】1或－9　
两条平行直线间距离的三种求法
(1)直接利用两条平行线间的距离公式．
(2)在一条直线上任取一点，利用点到直线的距离公式求解(一般要选特殊的点，如直线与坐标轴的交点、坐标为整数的点)．
(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①当两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②当两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|．
2．已知两条不同直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0．若l1∥l2，求实数a的值，并求此时直线l1与l2之间的距离．
题型3　距离公式的综合应用
角度1　计算三角形面积
已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于 (　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】C
角度2　求直线方程
已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．
【例题迁移】　(改变问法)求过本例中正方形中心且与原点距离最大的直线方程．
解：由例题知，正方形中心坐标为P(－1，0)，
则与OP垂直的直线到原点的距离最大，因为kOP＝0.
所以此时所求直线方程为x＝－1.
距离公式综合应用的三种常用类型
(1)最值问题：①利用对称转化为两点之间的距离问题；②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离；③利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值．
(2)求参数问题：利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．
(3)求方程的问题：立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．
4．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
错解分析：错误的根本原因是忽视直线过原点的情况造成漏解，以及距离公式的错用．
防范措施：
1．分类讨论思想的正确应用
解题时，分类讨论是常用的数学思想方法之一，正确把握分类讨论的标准是解题的关键，如本题直线过原点与不过原点时，直线方程的形式是不一样的，所以必须分情况讨论．
2．公式的正确应用
解题时，正确应用公式、性质是解题得分的前提，如本题中若距离公式不能正确应用，则解答无法继续或必然出现错误结果．
| 素 养 达 成 |
1．点到几种特殊直线的距离
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|.
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|.
(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝|y0－b|.
(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.
3．对两条平行直线间的距离公式的理解
(1)求两条平行直线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式．
(2)利用公式求平行直线间的距离时，两条直线的方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等．
(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．
①两条直线都与x轴垂直时，若l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；
②两条直线都与y轴垂直时，若l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.
【答案】C　
2．(题型2)已知直线2x＋y－2＝0与直线4x＋my＋6＝0平行，则它们之间的距离为________．
3．(题型2)已知直线l与两条直线l1：3x－y＋4＝0和l2：3x－y－2＝0平行且距离相等，则直线l的方程为________．
【答案】3x－y＋1＝0　
【答案】－1或19　
5．(题型3)已知△ABC的三个顶点的坐标是A(1，1)，B(2,3)，C(3，－2)．
(1)求BC边所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．2．3.3　点到直线的距离公式
2．3.4　两条平行直线间的距离
A级——基础过关练
1．直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0的距离是 (　　)
A． B． C． D．
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于 (　　)
A． B．－
C．－ D．或－
3．若直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为 (　　)
A．3x－4y＋5＝0
B．4x－3y＋2＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0
D．x＝1或3x－4y＋5＝0
4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是 (　　)
A．[－11，－1] B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
5．已知正方形的两边所在直线方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0，则正方形的面积为
(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为 (　　)
A．x＝1或x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＝1或x－y－1＝0
7．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为 (　　)
A．3 B．－17 C．－3 D．17
8．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________．
9．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．
10．已知△ABC三边所在直线方程lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30).
(1)判断△ABC的形状；
(2)当BC边上的高为1时，求m的值．
B级——能力提升练
11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为 (　　)
A．3 B．2 C． D．4
12．(多选)两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则对顶角的角平分线所在直线的方程可能为 (　　)
A．7x－4y＋9＝0 B．x－2y－1＝0
C．8x＋14y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
13．在△ABC中，A(1，0)，B(0，－2)，点C在函数y＝x2的图象上，则△ABC面积的最小值为________．
14．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax＋y＝1，且l1⊥l2，则l1的倾斜角为________，原点到l2的距离为________．
15．两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的变化范围；
(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．
2．3.3　点到直线的距离公式
2．3.4　两条平行直线间的距离
A级——基础过关练
1．直线3x＋4y－2＝0和直线6x＋8y＋1＝0的距离是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A　【解析】6x＋8y＋1＝0可化为3x＋4y＋＝0，由两条平行直线间的距离公式，得＝.
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于 (　　)
A． B．－
C．－ D．或－
【答案】D　【解析】由＝1，解得m＝或－.
3．若直线l过点A(1，2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l的方程为 (　　)
A．3x－4y＋5＝0
B．4x－3y＋2＝0
C．2x－y＝0或x＋2y－5＝0
D．x＝1或3x－4y＋5＝0
【答案】D　【解析】当直线l过点A(1，2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．当直线l过点A(1，2)且斜率存在时，由题意设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线l的距离为1，所以＝1，解得k＝.所以所求直线l的方程为y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线l的方程为x＝1或3x－4y＋5＝0.
4．若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2的距离不大于，则k的取值范围是 (　　)
A．[－11，－1] B．[－11，0]
C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞)
【答案】C　【解析】y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0，由题意，得＝≤，且k＋2≠－4，即k≠－6，得－5≤k＋6≤5，即－11≤k≤－1且k≠－6.
5．已知正方形的两边所在直线方程分别为x－y－1＝0，x－y＋1＝0，则正方形的面积为
(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B　【解析】由条件知两直线平行，则正方形的边长为这两条平行直线间的距离，即边长d＝＝，所以正方形的面积为2.故选B.
6．直线l在x轴上的截距为1，且点A(－2，－1)，B(4，5)到l的距离相等，则l的方程为 (　　)
A．x＝1或x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＝1或x－y－1＝0
【答案】D　【解析】当l⊥x轴时，符合要求，此时l的方程为x＝1；当l不垂直于x轴时，设l的斜率为k，则l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.因为点A，B到l的距离相等，所以＝，所以|1－3k|＝|3k－5|，解得k＝1.所以l的方程为x－y－1＝0.综上，l的方程为x＝1或x－y－1＝0.
7．(多选)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2，则m＋n的可能值为 (　　)
A．3 B．－17 C．－3 D．17
【答案】AB　【解析】由题意得n≠0，－＝，所以n＝－4，所以l2：2x－4y－6＝0，即x－2y－3＝0.由两条平行直线间的距离公式，得＝2，解得m＝7或m＝－13，所以m＋n＝3或m＋n＝－17.
8．设点P在直线x＋3y＝0上，且P到原点的距离与P到直线x＋3y－2＝0的距离相等，则点P的坐标是________．
【答案】或　【解析】设P(－3y，y)，则＝，y＝±.当y＝时，x＝－，所以P；当y＝－时，x＝，所以P.
9．已知直线l1：2x－y＋a＝0，l2：4x－2y－1＝0，若直线l1，l2的距离等于，且直线l1不经过第四象限，则a＝________．
【答案】3　【解析】由直线l1，l2的方程可知，直线l1∥l2.在直线l1上选取一点P(0，a)，依题意得l1与l2的距离为＝，整理得＝，解得a＝3或a＝－4.因为直线l1不经过第四象限，所以a≥0，所以a＝3.
10．已知△ABC三边所在直线方程lAB：3x－2y＋6＝0，lAC：2x＋3y－22＝0，lBC：3x＋4y－m＝0(m∈R，m≠30).
(1)判断△ABC的形状；
(2)当BC边上的高为1时，求m的值．
解：(1)直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，
所以kAB·kAC＝－1.
所以直线AB与AC互相垂直，故△ABC为直角三角形．
(2)解方程组得即A(2，6).
由点到直线的距离公式得d＝＝，
当d＝1时，＝1，即|30－m|＝5，
解得m＝25或m＝35.
B级——能力提升练
11．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为 (　　)
A．3 B．2 C． D．4
【答案】A　【解析】由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，所以点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.故选A.
12．(多选)两条直线l1：3x＋4y＋1＝0和l2：5x＋12y－1＝0相交，则对顶角的角平分线所在直线的方程可能为 (　　)
A．7x－4y＋9＝0 B．x－2y－1＝0
C．8x＋14y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
【答案】AC　【解析】设P(x，y)是所求直线上的任意一点，则点P到l1，l2的距离相等，即＝，整理得所求直线的方程为7x－4y＋9＝0或8x＋14y＋1＝0.故选AC.
13．在△ABC中，A(1，0)，B(0，－2)，点C在函数y＝x2的图象上，则△ABC面积的最小值为________．
【答案】　【解析】|AB|＝＝，直线AB的方程为x＋＝1，即2x－y－2＝0.设C(a，a2)，则点C到直线AB的距离d＝，所以S△ABC＝|AB|·d＝|a2－2a＋2|＝[(a－1)2＋1]≥.所以当a＝1时，△ABC的面积最小，最小值为.
14．已知直线l1：x＋y－1＝0，l2：ax＋y＝1，且l1⊥l2，则l1的倾斜角为________，原点到l2的距离为________．
【答案】120°　　【解析】因为l1：x＋y－1＝0，所以k1＝－.又因为倾斜角的范围是[0，π)，所以α＝120°.因为l1⊥l2，所以k2＝＝－a.所以l2：x－3y＋3＝0.所以原点到l2的距离为d＝＝.
15．两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕着点A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
(1)求d的变化范围；
(2)当d取最大值时，求两条直线的方程．
解：(1)方法一，①当两条直线的斜率都不存在时，两直线分别为x＝6和x＝－3，此时d＝9.
②当两条直线的斜率都存在时，设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，
则即
而d＝＝，
两边平方整理得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.
由于k∈R，所以Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，
整理得4d2(d2－90)≤0，
所以0<d≤3.
方法二，结合图形可知，当两条平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝3最大，当两条直线都过A，B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合，
所以0<d≤3.
(2)当d＝3时，因为kAB＝＝，kAB·k＝－1，所以k＝－3.
故两条直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.(共62张PPT)
第二章　直线和圆的方程
2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
2.3.2　两点间的距离公式
学习目标 素养要求
1.结合教材实例会求两条直线的交点坐标 数学运算
2.掌握两点间的距离公式及应用 数学运算
3.掌握两点间的距离公式并会简单应用 数学运算
| 自 学 导 引 |
　　　　两条直线的交点坐标
Aa＋Bb＋C＝0　
若点P(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A，B满足什么关系？
【答案】提示：若点P(1，－1)在直线Ax＋By＝0上，则A－B＝0，所以A＝B．
微思考
【预习自测】
　　　　两条直线的位置关系
无数个　
相交　
平行　
若两条直线的方程组成的二元一次方程组有解，则两条直线是否相交于一点？
【答案】提示：不一定．两条直线是否相交，取决于联立两条直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个解，则两条直线重合．
微思考
【预习自测】
　　　　两点间的距离公式
条件 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
结论 ____________________________
特例 点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝____________
【答案】A
　
【预习自测】
2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为________．
【答案】1或－5　
【解析】由两点间距离公式，得(－2－a)2＋(－1－3)2＝52，所以(a＋2)2＝32，所以a＋2＝±3，即a＝1或a＝－5．
当两点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐标轴上时，两点间的距离公式还适用吗？
【答案】提示：适用．当两点都在x轴上时，|AB|＝|x1－x2|；当两点都在y轴上时，|AB|＝|y1－y2|．
微思考
【预习自测】
| 课 堂 互 动 |
题型1　求两条直线的交点
　　　　(1)已知直线l1的方程为Ax＋3y＋C＝0，直线l2的方程为2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为 (　　)
A．4 B．－4
C．±4 D．与A有关
(2)直线l1：2x＋3y＝12与直线l2：x－2y－4＝0的交点坐标为________．
(3)已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．
两条直线相交的判定方法
方法一 联立直线方程解方程组，若有一解，则两条直线相交
方法二 两条直线斜率都存在且斜率不等
方法三 两条直线的斜率一个存在，另一个不存在
1．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0．
题型2　过两条直线交点的直线的问题
　　　　求过两条直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；
(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直．
【例题迁移1】　(改变问法)本例条件不变，若直线l在x轴上的截距为－3，求直线l的方程．
【例题迁移2】　(交换条件)把本例的条件“x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0”改为“2x＋3y－5＝0和3x－2y－3＝0”，其他条件不变，结果又如何？
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程．
2．已知直线l经过两条直线x－y＋5＝0，x＋y－3＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0，求直线l的方程．
题型3　平面内两点间距离公式的应用
　　　　已知点A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x－2y＋2＝0上．
(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
利用两点间的距离公式求参数的值的方法及技巧
(1)方法：常用方法是待定系数法，即先设出所求点的坐标，利用两点间的距离公式建立方程，然后利用方程的思想求解参数．
(2)技巧：解决此类问题时，常常需要结合图形，来直观地找出点与点、点与线、线与线的位置关系，然后利用相关性质转化成我们熟悉的问题．
3．(同类练)把本例三角形所满足的条件改为已知点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断此三角形的形状，并求其面积．
4．(变式练)已知点A(－1,2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使得|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
5．(拓展练)△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，已知A，B，C三点在同一直线上，用坐标法证明|AE|＝|CD|．
证明：如图，以B为坐标原点，直线AC为x轴，建立平面直角坐标系．
题型4　对称问题
已知点A(0，1)，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：x－2y＋2＝0关于直线l1的对称直线的方程．
条件①：点A关于直线l1的对称点B的坐标为(2，－1)；
条件②：点B的坐标为(2，－1)，直线l1过点(2，1)且与直线AB垂直；
条件③：点C的坐标为(2，3)，直线l1过点(2，1)且与直线AC平行．
常用对称的特例
(1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b).
(2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b).
(3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a).
(4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a).
(5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b).
(6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b).
6．已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程．
方法二，设Q(x，y)为直线l′上任意一点，
则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，
因为Q′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
规范解答　直线恒过定点问题
　　　　已知直线l：3x＋λy－2＋2λx＋4y＋2λ＝0．
(1)求证：直线l过定点；
(2)求过(1)的定点且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程．
审题指导：
答题规则说明：
(3)得关键分：对于③④计算出直线的斜率是关键；
(4)得常规分：对于⑤化为一般式是常规要求．
| 素 养 达 成 |
3．判断两条直线位置关系的方法
(1)利用方程组解的个数，将“形”的问题转化成“数”的问题．
(2)利用斜截式方程中斜率和截距的关系．
(3)利用一般式中系数的关系．
4．过两条直线交点的直线系方程
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数，不包含l2).
②直线关于直线对称
求直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的方法：转化为点关于直线对称．在l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点坐标求出l2的方程．
【答案】C　
【答案】C　
【答案】A　
【解析】由(m＋1)(m－1)＋4＝m2＋3≠0，得方程组有唯一的解．
4．(题型3)已知点A(4,12)，P在x轴上，若|PA|＝13，则点P的坐标为________．
【答案】(9,0)或(－1,0)　
5．(题型2)已知直线l1：x－y＋4＝0，与l2：2x＋y－1＝0相交于点P，求满足下列条件的直线方程：
(1)过点P且过原点；
(2)过点P且平行于直线l3：x－2y－1＝0．2．3.1　两条直线的交点坐标
2．3.2　两点间的距离公式
A级——基础过关练
1．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是 (　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为 (　　)
A．4 B．－4
C．4或－4 D．与A的取值有关
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝ (　　)
A． B．2 C．3 D．
4．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是 (　　)
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
5．过两条直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是
(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝ (　　)
A．1 B． C． D．2
7．(多选)两条直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有 (　　)
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
8．(2022年三湘名校期中)过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－2的直线l的方程为________．
9．若直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________．
10．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
B级——能力提升练
11．已知直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，垂足为(2，p)，则p－m－n的值为
(　　)
A．－6 B．6 C．4 D．10
12．(多选)(2022年唐县开学)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为 (　　)
A．x＝2 B．x＝3
C．y＝1 D．y＝2
13．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于点B，且|AB|＝5，则直线l1的方程为__________．
14．已知直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0，则直线l1与l2的交点坐标为__________；过直线l1与l2的交点且与直线x－y－1＝0平行的直线方程为____________．
15．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．
2．3.1　两条直线的交点坐标
2．3.2　两点间的距离公式
A级——基础过关练
1．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是 (　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B　【解析】因为|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，所以此三角形为等腰三角形．
2．已知直线l1：Ax＋3y＋C＝0与l2：2x－3y＋4＝0，若l1，l2的交点在y轴上，则C的值为 (　　)
A．4 B．－4
C．4或－4 D．与A的取值有关
【答案】B　【解析】因为两条直线的交点在y轴上，且直线2x－3y＋4＝0与y轴的交点是，所以点在直线Ax＋3y＋C＝0上，则A×0＋3×＋C＝0，解得C＝－4.
3．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝ (　　)
A． B．2 C．3 D．
【答案】B　【解析】设A(x，0)，B(0，y)，因为AB的中点是P(2，－1)，所以＝2，＝－1.所以x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2).所以|AB|＝＝2.
4．已知△ABC的顶点A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长是 (　　)
A．2 B．3＋2
C．6＋3 D．6＋
【答案】C　【解析】|AB|＝＝3，|BC|＝＝3，|AC|＝＝3，则△ABC的周长为6＋3.
5．过两条直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是
(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0
C．2x－y＋7＝0 D．3x－y－5＝0
【答案】B　【解析】由得交点(－1，4).因为所求直线与3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率k＝，所以y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0.
6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝ (　　)
A．1 B． C． D．2
【答案】B　【解析】kAB＝＝b－a＝1，所以|AB|＝＝.
7．(多选)两条直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有 (　　)
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
【答案】ABD　【解析】由题知，三条直线相交于同一个点时，此时m＝0，此时不能构成三角形；直线(m＋2)x－y＋m＝0，整理得m(x＋1)＋(2x－y)＝0，由解得即直线(m＋2)x－y＋m＝0经过定点(－1，－2)，当直线(m＋2)x－y＋m＝0的斜率k＝m＋2＝0，即m＝－2时，此时直线y＝－2，x＋y＝0与x轴不能构成三角形；当直线(m＋2)x－y＋m＝0与直线x＋y＝0平行时，即m＝－3时，三条直线不能构成三角形．综上，两直线(m＋2)x－y＋m＝0，x＋y＝0与x轴相交不能构成三角形的m的取值为0，－2或－3.
8．(2022年三湘名校期中)过两条直线l1：x＋y－2＝0与l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－2的直线l的方程为________．
【答案】4x＋2y－7＝0　【解析】由得所以直线l的方程为y－＝－2，即4x＋2y－7＝0.
9．若直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为________．
【答案】　【解析】由解得即两直线的交点坐标为.又因为交点在第四象限，则解得－<a<2.
10．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
解：解方程组得交点P(1，1).
(1)若直线与l1平行，因为k1＝2，所以斜率k＝2，
所以所求直线为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)若直线与l2垂直，因为k2＝，
所以斜率k＝－＝－，
所以y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
B级——能力提升练
11．已知直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，垂足为(2，p)，则p－m－n的值为
(　　)
A．－6 B．6 C．4 D．10
【答案】C　【解析】因为直线2x＋my－1＝0与直线3x－2y＋n＝0垂直，所以2×3＋(－2)m＝0，解得m＝3.由垂足在两条直线上可得解得p＝－1，n＝－8，所以p－m－n＝4.
12．(多选)(2022年唐县开学)已知直线l经过点P(3，1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为 (　　)
A．x＝2 B．x＝3
C．y＝1 D．y＝2
【答案】BC　【解析】若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段AB的长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；若直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，解得A，解得B，由|AB|＝5，得＋2＝52，解得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.故选BC.
13．已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于点B，且|AB|＝5，则直线l1的方程为__________．
【答案】x＝1或3x＋4y＋1＝0　【解析】由于点B在l上，可设点B的坐标为(x0，－2x0＋6).由|AB|2＝(x0－1)2＋(－2x0＋7)2＝25，化简得x02－6x0＋5＝0，解得x0＝1或5.当x0＝1时，AB的方程为x＝1；当x0＝5时，AB的方程为3x＋4y＋1＝0.综上，直线l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
14．已知直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0，则直线l1与l2的交点坐标为__________；过直线l1与l2的交点且与直线x－y－1＝0平行的直线方程为____________．
【答案】(2，3)　x－y＋1＝0　【解析】由解得所以交点坐标为(2，3).∵所求直线与直线x－y－1＝0平行，则所求直线的斜率为1，由点斜式方程可得y－3＝1×(x－2)，整理得x－y＋1＝0，∴直线方程为x－y＋1＝0.
15．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值．
解：以BC所在直线为x轴，以线段BC的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示．
因为正三角形ABC的边长为a，
所以B，C，A.
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝x2＋＋＋y2＋＋y2
＝3x2＋3y2－ay＋
＝3x2＋3＋a2≥a2，
当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立，
故所求最小值为a2，此时点P的坐标为，是正三角形ABC的中心．