福建省莆田重点中学2023-2024高二上12月月考数学试卷(无答案)

莆田重点中学2023-2024上学年高二数学12月月考检测卷
一、单项选择题（共8题，总40分）
1、复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2、在空间直角坐标系中，点，，点B关于y轴对称的点为C，则（ ）
A． B． C． D．2
3、若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于2，则p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4、已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
5、若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6、已知椭圆E的中心在原点，焦点为，，且离心率．过点的直线l与椭圆E相交于A，B两点，且P为的中点，则弦长（ ）
A． B． C． D．
7、在正四棱台中，，点O是底面的中心，若该四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8、已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与C分别在第一、第二象限交于A、B两点，的内切圆半径为r，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4题，总20分）
9、已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆
B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则
10、关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11、已知，，则（ ）
A．与、均有公共点的直线斜率最大为
B．与、均有公共点的圆的半径最大为4
C．向、引切线，切线长相等的点的轨迹是圆
D．向引两切线的夹角与向引两切线你的夹角相等的点的轨迹是圆
12、神舟飞船是中国自行研制、具有完全自主知识产权、达到或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船，神州十七号也于2023年10月26号成功发射．神州飞船采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成。返回舱是宇航员返回地球的座舱，其轴截面可近似看作是半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G．若过原点O的直线与上班椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的长轴长为 B．线段长度的取值范围是
C．的周长为 D．面积的最小值是4
三、填空题（共4题，总20分）
13、双曲线与椭圆有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为______．
14、已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线分别交于A、B两点，则______．
15、已知点、，动点满足直线、的斜率之积为，则的最大值为______．
16、内接于球O的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球O的表面积为______．
四、解答题（17题10分，18-22各12分，总70分）
17、①已知直线l的方向向量与直线的方向向量共线且过点，求直线l的方程；
②求经过点，且圆心在y轴上的圆的标准方程．
18、在中，D为上一点，，，且．
（1）若，求；
（2）若，求．
19、如图，直四棱柱中，底面是菱形，，设，若．
①求的长；
②求三棱锥的体积．
20、在平面直角坐标系中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）设，直线与M的轨迹方程相交于A，B两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点C，证明：直线过定点．
21、如图（1）所示，在中，，过点A作，垂足D在线段上，且，，沿将折起（如图2），点E、F分别为棱、的中点．
①证明；
②若二面角所成角的正切值为2，求二面角所成角的余弦值．
22、已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点P与左、右焦点构成的三角形面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线交椭圆C于P，Q两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知，设和的面积分别为，，求的最大值．