北师大版2023年九年级下册第2章 二次函数 单元测试卷 含解析

北师大版2023年九年级下册第2章《二次函数》单元测试卷
满分100分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，不是二次函数的是（　　）
A．y＝1﹣2x2 B．y＝2（x﹣1）2+3
C． D．y＝（x﹣3）2﹣x2
2．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+4
4．把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣4 B．y＝3（x+2）2﹣4
C．y＝3（x﹣2）2+4 D．y＝3（x+2）2+4
5．设二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示，则该二次函数的表达式为（　　）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A．y＝2x2﹣x+2 B．y＝x2﹣2x+2
C．y＝﹣2x2﹣5x+2 D．y＝﹣x2+2x+2
6．一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2+ax+1的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
8．在平面直角坐标系中，已知函数y＝x2+4x+4的图象与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），则a的值为 　 　．
12．若函数y＝（m﹣1）xm2+1+3x的图象是抛物线，则m值为 　 　．
13．已知二次函数y＝（m﹣2）x2的图象开口向下，则m的取值范围是　 　．
14．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+6，则此运动员将铅球推出的距离是 　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形AOBC的周长为a，则△ABC的周长为 　 　（用含a的代数式表示）．
16．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　 　．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0）、B（﹣1，0）两点．
（1）求出这条抛物线的函数表达式；
（2）求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数的图象．
①把如表补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 …
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
19．（8分）18岁的中国选手谷爱凌在北京冬奥会比赛中夺得3枚金牌，被誉为“雪上公主”．谷爱凌从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
（1）求S关于t的函数表达式；
（2）根据图象，求当滑行时间为6s时，滑行距离为多少米？
20．（8分）如图，抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为C，连接AC、BC，试求△ABC的面积．
21．（10分）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．
（1）分别用含x的代数式表示BC与S；
（2）若S＝54，求x的值；
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？
22．（12分）如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1．
（1）a＝　 　；
（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值；
（3）在抛物线上是否存在Q，使得∠QOB+∠BCO＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．
北师大版2023年九年级下册第2章 二次函数 单元测试卷
答案与解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列函数中，不是二次函数的是（　　）
A．y＝1﹣2x2 B．y＝2（x﹣1）2+3
C． D．y＝（x﹣3）2﹣x2
【分析】根据二次函数的定义：形如y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数且a≠0），逐一判断即可解答．
【解答】解：A、y＝1﹣2x2，是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝2（x﹣1）2+3，是二次函数，故B不符合题意；
C、y＝（x+4）（x﹣3）＝（x2+x﹣12）＝x2+x﹣6，是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝（x﹣3）2﹣x2＝﹣6x+9，是一次函数，故D符合题意；
故选：D．
2．抛物线的顶点坐标是（　　）
A． B．（﹣1，﹣3） C．（﹣1，3） D．（1，﹣3）
【分析】由抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2﹣3的顶点坐标是（1，﹣3）．
故选：D．
3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+2 B．y＝（x﹣1）2﹣2
C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+4
【分析】根据完全平方公式变形，把一般式化为顶点式，得到答案．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x+1﹣2
＝（x﹣1）2﹣2，
故选：B．
4．把抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后的解析式为（　　）
A．y＝3（x﹣2）2﹣4 B．y＝3（x+2）2﹣4
C．y＝3（x﹣2）2+4 D．y＝3（x+2）2+4
【分析】根据二次函数平移的规律“左加右减，上加下减”的法则即可得到答案．
【解答】解：根据二次函数图象平移的规律可知，抛物线y＝3x2向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后的解析式为y＝3（x+2）2﹣4．
故选：B．
5．设二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0，b是实数）已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示，则该二次函数的表达式为（　　）
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 5 m n 2 p …
A．y＝2x2﹣x+2 B．y＝x2﹣2x+2
C．y＝﹣2x2﹣5x+2 D．y＝﹣x2+2x+2
【分析】根据表格代入两组数据进行求解函数解析式即可．
【解答】解：由表格可得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+2．
故选B．
6．一次函数y＝ax+1与二次函数y＝ax2+ax+1的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数的图象，二次函数的图象即可分析判断得出答案．
【解答】解：∵二次函数的解析式为：y＝ax2+ax+1，
∴对称轴为，故A和B错误；
当a＞0，一次函数y＝ax+1过第一、二、三象限，
二次函数图象开口向上，对称轴为，故C正确，D错误，
故选：C．
7．在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣7上有A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，若抛物线开口向下，则y1、y2和y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y2＜y3
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可求得y1、y2和y3的值，比较大小即可．
【解答】解：
∵A（﹣4，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣7上，
∴y1＝16a+8a﹣7＝24a﹣7，y2＝4a﹣4a﹣7＝﹣7，y3＝9a﹣6a﹣7＝3a﹣7，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴24a＜3a＜0，
∴24a﹣7＜3a﹣7＜﹣7，
∴y1＜y3＜y2，
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，已知函数y＝x2+4x+4的图象与坐标轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】首先根据根的判别式判定与x轴的交点，然后令x＝0，判定与y轴的交点，即可得解．
【解答】解：把y＝0代入得：x2+4x+4＝0，
∵Δ＝42﹣4×4＝0，
∴该函数与x轴有一个交点，
当x＝0时，y＝﹣9，
∴该函数与y轴有一个交点，
∴该函数与坐标轴有两个交点．
故选：C．
9．如图所示的公路隧道其截面为抛物线型，线段OA表示水平的路面，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，则抛物线对应的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意得出A（10，0），P（5，9），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，把P（5，9）代入得y＝a（x﹣5）2+9，再把A（10，0）代入求出a的值，即可得出抛物线表达式．解题的关键是掌握用待定系数法求函数表达式的方法和步骤，以及二次函数的顶点式．
【解答】解：∵OA＝10m，抛物线的顶点P到OA的距离为9m，
∴A（10，0），P（5，9），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k，
把P（5，9）代入得：y＝a（x﹣5）2+9，
把A（10，0）代入得：0＝a（10﹣5）2+9，
解得：，
∴抛物线表达式为．
故选：D．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况判断②，根据对称性求得x＝2时的函数值小于0，判断③；根据x＝﹣1时的函数值，结合b＝﹣2a，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥．
【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线：，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），则a的值为 　2　．
【分析】本题考查了二次函数图象上的点．将点（﹣1，2）代入函数表达式中，解方程可得a值．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2经过点（﹣1，2），
∴a＝2，
故答案为：2．
12．若函数y＝（m﹣1）xm2+1+3x的图象是抛物线，则m值为 　﹣1　．
【分析】根据二次函数的定义得到m﹣1≠0且m2+1＝2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值．
【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）xm2+1+3x的图象是抛物线，
∴m﹣1≠0且m2+1＝2，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
13．已知二次函数y＝（m﹣2）x2的图象开口向下，则m的取值范围是　m＜2　．
【分析】根据图象的开口方向得到m﹣2＜0，从而确定m的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2的图象开口向下，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
14．如图，某运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y＝﹣x2+x+6，则此运动员将铅球推出的距离是 　3m　．
【分析】根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令y＝0求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离．
【解答】解：∵y＝﹣x2+x+6，
∴当y＝0时，0＝﹣x2+x+6，
解得x1＝3，x2＝﹣2（不合题意舍去），
∴此运动员将铅球推出的距离是3m，
故答案为：3m．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝﹣2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与A、B重合）．若四边形AOBC的周长为a，则△ABC的周长为 　a﹣4　（用含a的代数式表示）．
【分析】把求四边形AOBC的周长转化为求（△ABC的周长+OB）的值，从而可得答案．
【解答】解：∵对称轴为直线x＝﹣2，抛物线经过原点、与x轴负半轴交于点B，
∴OB＝4，
∵由抛物线的对称性知AB＝AO，
∴四边形AOBC的周长为AO+AC+BC+OB＝△ABC的周长+OB＝a．
∴△ABC的周长为a﹣4；
故答案为：a﹣4．
16．函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 　﹣1或　．
【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2三种情况讨论，根据函数最大值时列方程求出a的值．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x＝﹣＝a，
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为4﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
解得：a＝或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
因此有2a﹣1＝6，解得a＝，符合题设；
综上，a＝﹣1或a＝．
故答案为：﹣1或．
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣5，0）、B（﹣1，0）两点．
（1）求出这条抛物线的函数表达式；
（2）求出这个抛物线的顶点坐标和对称轴．
【分析】（1）依据题意，由待定系数法，将A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入解析式，即可得解；
（2）依据题意，由（1）所求解析式进行计算即可得解．
【解答】解：（1）把A（﹣5，0），B（﹣1，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2+6x+5．
（2）由题意，∵抛物线为y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴此抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣4），对称轴是直线x＝﹣3．
18．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）画出函数的图象．
①把如表补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … ﹣3 …
②在所给的直角坐标系中，画出此函数图象．
（2）根据所画的图象直接写出当y＜0时，x的取值范围．
【分析】（1）将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3即可求解，
（2）由函数图象即可得出结论．
【解答】解：（1）①将x＝1、﹣1、﹣2、﹣3分别代入二次函数y＝x2+2x﹣3，
解得y＝0、﹣4、﹣3、0，
表格补充如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
画出图象如下图：
（2）由图象可知：
当y＜0时，则﹣3＜x＜1，
故答案为：﹣3＜x＜1．
19．（8分）18岁的中国选手谷爱凌在北京冬奥会比赛中夺得3枚金牌，被誉为“雪上公主”．谷爱凌从山坡上滑下，其滑行距离S（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图所示：
（1）求S关于t的函数表达式；
（2）根据图象，求当滑行时间为6s时，滑行距离为多少米？
【分析】（1）设s与t的函数关系式为s＝at2+bt+c，根据点的坐标利用待定系数法求出函数关系式；
（2）将t＝6代入函数关系式中即可求解．
【解答】解：（1）∵滑行距离s与滑行时间t之间的关系可以近似地用二次函数刻画，
∴设s与t的函数关系式为s＝at2+bt+c，
根据图象可知，该抛物线过点（0，0），（2，14），（4，48），
∴，
解得：，
∴s与t的函数关系式为；
（2）当t＝6时，，
即当滑行时间为6s时，滑行距离为102米．
20．（8分）如图，抛物线与直线交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为C，连接AC、BC，试求△ABC的面积．
【分析】（1）将两个函数关系式联立，组成方程组求解即可得A，B两点的坐标；
（2）由二次函数解析式可得顶点坐标，然后作CD∥y轴且交直线于点D，利用S△ABC＝S△ACD+S△BCD即可求解．
【解答】解：（1），解得 或
∴A（2，1），；
（2）过点C作CD∥y轴交直线于点D，
∵，
∴顶点C（4，﹣1），
x＝4时，
∴D（4，2），
∴CD＝3，
∴．
21．（10分）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米．
（1）分别用含x的代数式表示BC与S；
（2）若S＝54，求x的值；
（3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？
【分析】（1）根据矩形的性质列式求出BC，再根据矩形面积公式求出S即可；
（2）根据（1）所求得到方程﹣3x2+33x＝54，解方程并检验即可得到答案；
（3）先求出S＝﹣3（x﹣6）2+108，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，BC＝33﹣3x，
∴S＝AB BC＝x（33﹣3x）＝﹣3x2+33x；
（2）由题意得，﹣3x2+33x＝54，
∴x2﹣11x+18＝0，
解得，x1＝2，x2＝9，
∵墙长为12米，
∴33﹣3x≤12，
∴x≥7，
∴x1＝2应舍去，
∴x的值为9；
（3）S＝x（33+1.5×2﹣3x）＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，
∵墙长为12米，
∴，
∴8≤x≤11，
∵a＝﹣3＜0，
∴开口向下，
∴当x≥6，S着x的增大而减小，
∴当x＝8时，S有最大值，最大值为：8×（36﹣3×8）＝96．
22．（12分）如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．对称轴为直线x＝﹣1．
（1）a＝　﹣3　；
（2）点P为直线AC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥AC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点G，求PE+PG的最大值；
（3）在抛物线上是否存在Q，使得∠QOB+∠BCO＝45°，若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即可求解；
（2）由PE+PG＝（1+）PG＝（1+）（﹣x2﹣3x），即可求解；
（3）在△ARC中，AR＝3﹣1＝2，AC＝3，∠RAC＝45°，求出tan∠ACR＝＝＝tan∠QOB，得到直线OQ的表达式为：y＝±x，即可求解；
（4）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；由S△AMB＝S△MNB，得到AE＝NF，可以证明四边形AEFN是矩形，再证明△AMB≌△NBM（SAS），进而证明M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），则有1﹣t＝t2+2t﹣3，能求出点N的横坐标为﹣4，再设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，得到y＝﹣x﹣3，可求N点坐标．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
解得：a＝﹣3，
故答案为：﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①，
则点A、B、C的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，∠ACO＝∠BAC＝45°＝∠GPE，
则PE＝PG，
设点P（x，x2+2x﹣3），则点G（x，﹣x﹣3），
则PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x，
则PE+PG＝（1+）PG＝（1+）（﹣x2﹣3x），
∵﹣（1+）＜0，则PE+PG有最大值，
当x＝﹣时，PE+PG的最大值为：；
（3）存在，理由：
作点B关于y轴的对称点R（﹣1，0），连接RC，过点R作RT⊥AC于点T，
∵∠ACR+∠RCO＝∠ACB＝∠BCO+∠QOB＝45°，
∴∠QOB＝∠RCA，
在△ARC中，AR＝3﹣1＝2，AC＝3，∠RAC＝45°，
则AT＝RT＝AR＝，则TC＝3＝2，
则tan∠ACR＝＝＝tan∠QOB，
则直线OQ的表达式为：y＝±x②，
联立①②并解得：x＝或（不合题意的值已舍去），
即点Q的横坐标为：或；
（4）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴S△AMB＝×AB×d＝×4×d＝2d，
∵S△MNB＝2d，
∴S△AMB＝S△MNB，
∴BM×AE＝BM×NF，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，
∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB和△NBM中，
，
∴△AMB≌△NBM（SAS），
∴∠ABM＝∠NMB，
∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
又∵AN∥BM，
∴∠ABM＝∠OAC＝45°，
∴∠NMB＝45°，
∴∠ABM+∠NMB＝90°，
∴∠BHM＝90°，
∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，
∵M是抛物线上一点，
∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），
∴1﹣t＝t2+2t﹣3，
∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），
∴点N的横坐标为﹣4，
可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，
∴k＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣3，
当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N的坐标为（﹣4，1）．