华东师大版数学八年级下册19.1矩形 素养提升练习（含解析）

第19章　矩形、菱形与正方形
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
掌握矩形、菱形、正方形的定义,会用定义进行判定 理解矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系【P66】
掌握矩形、菱形的性质,并能应用性质解决相关问题 探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直【P66】
掌握矩形、菱形的判定定理,能应用判定定理解决相关问题 探索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形【P66】
掌握正方形的性质与判定定理,理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系 正方形既是矩形 ,又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系【P66】
19.1　矩形
基础过关全练
知识点1　矩形的定义与性质
1.(2023河南新乡长垣期中)关于矩形的性质,以下说法不正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.四个角都相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
2.(2023江苏常州清潭中学期中)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠AOD=110°,则∠CDE的大小是(　　)
A.55° B.40° C.35° D.20°
3.【教材变式·P100T2】(2022河南信阳潢川期中)一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°,每条对角线的长为 16 cm,则这个矩形较短边的长为(　　)
A.2 cm B.4 cm C.8 cm D.16 cm
4.(2023辽宁大连金州期中)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,连结CE,△DEC的周长为(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13
5.(2023湖南湘西凤凰月考)已知一矩形的两边长分别为7 cm和12 cm,其中一个内角的平分线分长边为两部分,这两部分的长分别为(　　)
A.6 cm和6 cm B.7 cm和5 cm
C.4 cm和8 cm D.3 cm和9 cm
6.(2023湖北咸宁温泉中学期中)如图,线段BC为等腰△ABC的底边,矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O,若OD=1,则AC=　　　　.
第6题图　 　第7题图
7.【转化思想】(2023湖南株洲中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,已知BC=4,AB=3,则OB的长为　　　　.
8.【方程思想】(2023江苏淮安盱眙期中)如图,矩形ABCD中,点E在AD上,且EB平分∠AEC,若AB=3,AE=1,则△BEC的面积为　　　　.
9.(2022福建泉州实验中学月考)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD=3,AN=4,求四边形BCMN的面积.
10.【新独家原创】【教材呈现】矩形的性质定理2:矩形的对角线相等.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O.
(1)求证:BD=AC;
【性质应用】
(2)根据矩形的性质定理2,可以得到关于直角三角形的一个性质,你认为这个性质是　　　　　　　　　　　　;
【拓展提升】
(3)根据你得到的性质解决以下问题:
如图,在矩形ABCD中,点E为BA延长线上一点,F为CE的中点,以B为圆心,BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G,连结BG.若AB=4,CE=10,求AG的长.
知识点2　矩形的定义判定法
11.(2023山东聊城实验中学二模)如图,在 ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD.BF∥CE,CF∥BE.求证:四边形BECF是矩形.
12.(2023浙江宁波期中)如图,在平行四边形ABCD中,BM,DN分别平分∠ABD,∠CDB.
(1)求证:△ABM≌△CDN;
(2)当AB与BD满足什么数量关系时,四边形BNDM是矩形 请说明理由.
知识点3　矩形的判定定理1
13.(2023广东云浮一中期中)如图,在 ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,点E,F为垂足.求证:四边形AECF是矩形.
14.如图,已知点M,O,N在同一条直线上,OB,OC分别平分∠AOM,∠AON,AB⊥OB,AC⊥OC,垂足分别为B,C,连结BC交AO于点E.
(1)求证:四边形ACOB是矩形;
(2)猜想BC与MN的位置关系,并证明你的结论.
知识点4　矩形的判定定理2
15.(2023河南信阳平桥期末)如图,用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底边都垂直,只需要用绳子分别测量并比较书架的两条对角线AC,BD就可以判断,其推理依据是(　　)
A.矩形的对角线相等
B.矩形的四个角是直角
C.对角线垂直的平行四边形是矩形
D.对角线相等的平行四边形是矩形
16.(2023北京朝阳一模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,AE∥CF,连结AF,CE.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)若∠EAO+∠CFD=180°,求证:四边形AECF是矩形.
能力提升全练
17.(2023上海中考,5,★☆☆)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是(　　)
A.AB∥CD B.AD=BC
C.∠A=∠B D.∠A=∠D
18.【等积变换法】(2023四川内江中考,16,★★☆)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形任意分割成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG=　　　　.
19.【最短距离问题】(2022四川内江中考,25,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=4,点E、F分别是AB、DC上的动点,EF∥BC,则AF+CE的最小值是　　　　.
20.【新考向·开放型试题】(2023湖南岳阳中考,21,★★☆)如图,点M在 ABCD的边AD上,BM=CM,请从以下三个选项中选择一个合适的选项作为已知条件,使 ABCD为矩形:
①∠1=∠2;②AM=DM;③∠3=∠4.
(1)你添加的条件是　　　　(填序号);
(2)添加条件后,请证明 ABCD为矩形.
21.【方程思想】(2022浙江丽水中考,22,★★☆)如图,将矩形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.
(1)求证:△PDE≌△CDF;
(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.
22.(2022吉林期末,23,★★☆)如图,在 ABCD中,F是边CD的中点,过点F作FE∥AD,交AB于点E.连结ED、EC,作CG∥DE,交EF的延长线于点G,连结DG.
(1)求证:四边形DECG是平行四边形;
(2)当DE平分∠ADC时,求证:四边形DECG是矩形.
23.(2023福建厦门华侨中学期末,22,★★☆)在矩形ABCD中,AB=8,BC=15,E、F是对角线AC上的两个点,AE=CF=3.5,动点G、H分别从A、C同时出发,以每秒1个单位长度的速度,分别沿AD、CB运动,运动时间为t秒(0<t<15).
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形;
(2)若四边形EGFH为矩形,请直接写出t的值.
24.(2023黑龙江大庆三模,24,★★☆)如图,四边形ABDE中,∠ABD=∠BDE=90°,C为边BD上一点,连结AC,EC,M为AE的中点,延长BM交DE的延长线于点F,AC交BM于点G,连结DM交CE于点H.
(1)求证:MB=MF;
(2)若AB=BC,DC=DE,求证:四边形MGCH为矩形.
素养探究全练
25.【模型观念】(2023湖北随州中考)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边AB上一动点(不含端点),将△ADM沿直线DM对折,得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时,连结DP,则△CDP的面积为　　　　,DP的最大值为　　　　.
答案全解全析
1.C　矩形的性质有四个角都相等,对角线互相平分且相等,是轴对称图形,故选C.
2.C ∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴∠ODC=∠OCD,∵∠AOD=110°,∴∠DOE=70°,∠ODC=∠OCD=×(180°-70°)=55°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=35°.故选C.
3.C　如图,∵四边形ABCD是矩形,每条对角线的长为16 cm,
∴AC=BD=16 cm,∴AO=BO=8 cm,∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=AO=BO=8 cm,故矩形较短边的长为8 cm.故选C.
4.A　∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=4,AD=BC=6,AO=OC,∵EF⊥AC,∴AE=CE,∴△DEC的周长=CD+DE+CE=CD+DE+AE=CD+AD=4+6=10.故选A.
5.B　如图,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE.当AB=12 cm时,AE=12 cm,不满足题意;当AB=7 cm时,AE=7 cm,则DE=5 cm.故选B.
6.答案　2
解析　∵四边形ADBE是矩形,∴AB=DE=2OD=2,∵AB=AC,∴AC=2.
7.答案　
解析　∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,OB=OD=OA=OC=AC,∵BC=4,AB=3,∴AC===5,∴OB=AC=.
8.答案　
解析　在矩形ABCD中,∠D=90°,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∵EB平分∠AEC,∴∠AEB=∠CEB,∴∠CBE=∠CEB,∴BC=CE,∵CD=AB=3,AE=1,∴DE=AD-AE=BC-1,在Rt△CED中,根据勾股定理得CE2=DE2+CD2,∴BC2=(BC-1)2+32,解得BC=5,∴△BEC的面积=BC·AB=×5×3=.
9.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,DC∥AB,∴∠BAN=∠AMD,
∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°,
在△ABN和△MAD中,
∴△ABN≌△MAD(A.A.S.).
(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD,∵AD=3,∴BN=3,∵BN⊥AM,AN=4,∴AB2=AN2+BN2=42+32=25=52,∴AB=5,∴S矩形ABCD=AD·AB=3×5=15.∵S△ABN=AN·BN=6,∴S△MAD=S△ABN=6,∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=3.
10.解析　(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=90°.又∵AD=DA,∴△ABD≌△DCA(S.A.S),∴BD=AC.
(2)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(3)∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=∠BAD=90°,
在Rt△BCE中,点F为斜边CE的中点,
∴BF=CE=5,∴BG=BF=5,
在Rt△ABG中,AB=4,BG=5,
由勾股定理得AG==3.
11.证明　∵BF∥CE,CF∥BE,
∴四边形BECF是平行四边形,
∵BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,
∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)=×180°=90°,
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-90°=90°,
∴四边形BECF是矩形.
12.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,∠A=∠C,AB∥CD,
∴∠ABD=∠CDB,
∵BM,DN分别平分∠ABD,∠CDB,
∴∠ABM=∠ABD,∠CDN=∠CDB,
∴∠ABM=∠CDN,
又∵∠A=∠C,AB=CD,
∴△ABM≌△CDN(A.S.A.).
(2)当AB=BD时,四边形BNDM是矩形,理由如下:
由(1)可知,△ABM≌△CDN,∴AM=CN,∴AD-AM=BC-CN,即DM=BN,又∵DM∥BN,∴四边形BNDM是平行四边形,又∵AB=BD,BM平分∠ABD,∴BM⊥AD,∴∠BMD=90°,∴四边形BNDM是矩形.
13.证明　∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠AEC+∠EAF=180°.
∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,
∴∠EAF=180°-∠AEC=90°,
∵CF⊥AD,∴∠AFC=90°,
∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°,
∴四边形AECF是矩形.
14.解析　(1)证明:∵OB,OC分别平分∠AOM,∠AON,
∴∠AOB=∠AOM,∠AOC=∠AON,
∴∠AOB+∠AOC=∠AOM+∠AON=(∠AOM+∠AON)=×180°=90°,∴∠BOC=90°,
∵AB⊥OB,AC⊥OC,∴∠ABO=∠ACO=∠BOC=90°,
∴四边形ACOB是矩形.
(2)BC∥MN.
证明:∵四边形ACOB是矩形,∴AE=BE=CE=OE,∴△CEO是等腰三角形,∴∠AOC=∠BCO,∵OC平分∠AON,∴∠AOC=∠CON,∴∠BCO=∠CON,∴BC∥MN.
15.D　推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形.故选D.
16.证明　(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE∥CF,∴∠EAO=∠FCO,∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌△CFO(A.S.A.),∴OE=OF,∴四边形AECF为平行四边形.
(2)∵∠EAO+∠CFD=180°,∠CFO+∠CFD=180°,∴∠EAO=∠CFO,∵∠EAO=∠FCO,∴∠FCO=∠CFO,∴OC=OF,由(1)可知,OA=OC,OE=OF,∴AC=EF,∴四边形AECF是矩形.
能力提升全练
17.C　添加条件∠A=∠B,可证四边形ABCD是矩形,理由:∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°,∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴AB的长为AD与BC间的距离,∵AB=CD,∴CD⊥AD,CD⊥BC,∴∠C=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,故选项C符合题意.
添加其他三个选项中的条件均不能证明四边形ABCD是矩形,故选C.
18.答案　
解析　如图,连结OE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,BC=AD=12,AO=CO=BO=DO,∵AB=5,BC=12,∴AC==13,∴OB=OC=,∴S△BOC=S△BOE+S△COE=OB·EG+OC·EF=S△ABC=××5×12=15,∴×EG+×EF=×(EG+EF)=15,∴EG+EF=.
19.答案　10
解析　如图,延长BC到G,使CG=EF,连结FG,AG,∵EF∥BC,EF=CG,∴四边形EFGC是平行四边形,∴CE=FG,∴AF+CE=AF+FG,∴当A、F、G三点共线时,AF+CE的值最小,为AG的长,由勾股定理得,AG===10,∴AF+CE的最小值为10.
20.解析　(1)①.(或②)
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,AB=DC,∴∠A+∠D=180°,
在△ABM和DCM中,
∴△ABM≌DCM(S.A.S.),∴∠A=∠D,
∴∠A=∠D=90°,∴ ABCD为矩形.
21.解析　(1)证明:由题意得,∠P=∠PDF=∠B=∠ADC=∠C=90°,PD=AB=CD,
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
即∠PDE=∠CDF,
∴△PDE≌△CDF(A.S.A.).
(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,
∴∠EGC=90°,EG=CD=4 cm,
在Rt△EGF中,EG2+GF2=EF2,
∵EF=5 cm,∴GF=3 cm.
设CF=x cm,易得BG=AE=PE=CF=x cm,
∴DF=BF=(x+3)cm,
在Rt△CDF中,CF2+CD2=DF2,
即x2+42=(x+3)2,解得x=.
∴BC=BG+GF+CF=2×+3= cm.
22.证明　(1)∵F是边CD的中点,∴DF=CF.
∵CG∥DE,∴∠DEF=∠CGF.
又∵∠DFE=∠CFG,∴△DEF≌△CGF(A.A.S.),
∴DE=CG,
又∵DE∥CG,∴四边形DECG是平行四边形.
(2)∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠FDE.∵EF∥AD,∴∠ADE=∠DEF.∴∠DEF=∠EDF,∴EF=DF,又∵DF=CF,EF=FG,∴CD=EG,∴平行四边形DECG是矩形.
23.解析　(1)证明:由题意得AE=CF=3.5,AG=CH=t,
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠GAE=∠HCF,
在△AEG和△CFH中,
∴△AEG≌△CFH(S.A.S.),
∴EG=FH,∠AEG=∠CFH,∴∠FEG=∠EFH,
∴EG∥HF,∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)如图,连结GH,过G作GM⊥BC,交BC于M.
在矩形ABCD中,AB=8,BC=15,
∴AC==17,∵AE=CF=3.5,∴EF=10,∵四边形EHFG是矩形,∴GH=EF=10,易知BM=AG=t,MH=15-2t,在Rt△GMH中,由勾股定理得82+(15-2t)2=102,
解得t=或t=,
∴t的值为或时,四边形EGFH为矩形.
24.证明　(1)∵∠ABC=∠CDE=90°,
∴AB∥DF,∴∠ABF=∠F,
∵M为AE的中点,∴AM=ME,
在△ABM和△EFM中,
∴△ABM≌△EFM(A.A.S.),∴MB=MF.
(2)∵AB=EF,AB=BC,DC=DE,
∴BD=BC+CD=AB+DE=EF+DE=DF,
∴△BDF为等腰直角三角形,
∵BM=MF,∴DM⊥BF,∠DBF=∠F=∠BDM=45°,
∵△CDE,△ABC均为等腰直角三角形,
∴∠CED=∠ACB=45°,
∴∠CED=∠F,∠ACB=∠BDM,
∴CE∥BF,AC∥DM,
∴四边形MGCH为平行四边形,
又∵∠GMH=90°,∴四边形MGCH为矩形.
素养探究全练
25.答案　10;
解析　由题图可得△CDP的面积等于矩形ABCD面积的一半,∴△CDP的面积为AD·DC=10.在Rt△APD中,DP=,∴当AP最大时,DP最大.由翻折的性质,得DN=DA=4,∴点N在以D为圆心,4为半径的圆上运动,如图①.易得当射线CN⊥DN时,AP最大,此时点P与点M重合,∠DNC=90°,如图②,∴CN==3.由折叠可知PA=PN.设PA=PN=x,则PB=5-x,CP=3+x.在Rt△PBC中,由勾股定理,得PB2+BC2=PC2,即(5-x)2+42=(3+x)2,∴x=2,∴DP==.