广东省深圳市龙岗区亚迪学校2023年中考数学四模试卷（含答案）

2023年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学四模试卷
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每题3分，共计30分）
1．（3分）下列四个实数中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．4 C．1 D．﹣
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）在2023年3月5日的一次政府工作报告中，提到国内生产总值增加到121万亿元，五年年均增长5.2%．用科学记数法表示121万亿元为（　　）
A．121×1012 B．12.1×1013
C．1.21×1014 D．0.121×1015
4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a 3a＝6a2
5．（3分）如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（　　）
A．90° B．100° C．120° D．140°
6．（3分）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（3分）下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三个顶点距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．三角形的外角和为360°
D．是一个分数
8．（3分）如图，用三角支架固定空调外机，已知OA⊥AB，∠AOB＝α，BO＝0.4米，则点O到墙面距离OA为（　　）
A．0.4sinα米 B．0.4cosα米 C．米 D．米
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x3﹣4xy2＝　 　．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有一个根为2，则m的值为　 　．
13．（3分）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　 　．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 　 　．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度为　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18，19，20题各8分，第21题9分，第22题10分，共55分。）
16．（5分）计算：|﹣2|+2cos30°﹣（﹣）2+（﹣）﹣2．
17．（7分）先化简，再求值；，其中，x＝+2，y＝﹣2．
18．（8分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有　 　名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　 　．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
19．（8分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
20．（8分）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
21．（9分）如图，在并联电路中，电源电压为U总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝）．已知R1为定值电阻，当R变时，路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．
（1）【问题理解】
定值电阻R1的阻值为 　 　Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．
①列表：下表列出I总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝　 　．
R … 3 4 5 6 …
I2＝ … 2 1.5 1.2 1 …
I总＝1+ … 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向 　 　平移 　 　个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
22．（10分）问题背景：如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：＝．
尝试应用：如图2，在 ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值．
2023年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学四模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项正确，每题3分，共计30分）
1．（3分）下列四个实数中，最小的是（　　）
A．﹣2 B．4 C．1 D．﹣
【解答】解：∵5＞4，
∴＞2，
∴﹣＜﹣2，
∴﹣＜﹣2＜1＜4，
∴最小的数是﹣，
故选：D．
2．（3分）下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误．
故选：B．
3．（3分）在2023年3月5日的一次政府工作报告中，提到国内生产总值增加到121万亿元，五年年均增长5.2%．用科学记数法表示121万亿元为（　　）
A．121×1012 B．12.1×1013
C．1.21×1014 D．0.121×1015
【解答】解：121万亿＝1.21×102×104×108＝1.21×1014．
故选：C．
4．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a+a＝a2 B．（3a2）3＝9a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a 3a＝6a2
【解答】解：A、原式＝2a，不符合题意；
B、原式＝27a6，不符合题意；
C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝6a2，符合题意．
故选：D．
5．（3分）如图，已知a∥b，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若∠1＝40°，则∠ACB的度数是（　　）
A．90° B．100° C．120° D．140°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠CBA＝∠1＝40°，
根据基本作图可知：MN垂直平分AB，
∴CA＝CB，
∴∠CBA＝∠CAB＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣2×40°＝100°．
故选：B．
6．（3分）在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱x，乙带钱y，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设甲需带钱x，乙带钱y，
根据题意，得：，
故选：D．
7．（3分）下面命题正确的是（　　）
A．三角形的内心到三个顶点距离相等
B．方程x2＝14x的解为x＝14
C．三角形的外角和为360°
D．是一个分数
【解答】解：A、三角形的内心到三边的距离相等，故原命题错误，不符合题意；
B、方程x2＝14x的解为x＝14和x＝0，故原命题错误，不符合题意；
C、三角形的外角和为360°，正确，符合题意；
D、是一个无理数，不是一个分数，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，用三角支架固定空调外机，已知OA⊥AB，∠AOB＝α，BO＝0.4米，则点O到墙面距离OA为（　　）
A．0.4sinα米 B．0.4cosα米 C．米 D．米
【解答】解：∵OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°．
在Rt△AOB中，
∵cos∠AOB＝，
∴OA＝cos∠AOB BO
＝cosα×0.4
＝0.4cosa（米）．
故选：B．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），与y轴交于（0，2），抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+c＝b，故本选项正确；
②由对称轴为x＝1，一个交点为（﹣1，0），
∴另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确；
③由对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确；
④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于（0，2），
∴c＝2，
∵a＜0，
∴c﹣a＞2，故本选项正确；
故选：D．
10．（3分）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是（﹣10，8），点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形AOBC为矩形，且点C（﹣10，8），
∴AC＝OB＝8，AO＝BC＝10，∠C＝∠A＝∠EOB＝90°，
∵△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，
∴CD＝DE，BC＝BE＝10，
在Rt△OBE中，OE＝＝＝6，
设AD＝m，则CD＝DE＝8﹣m，
∵∠ADE+∠AED＝∠AED+∠OEB＝90°，
∴∠ADE＝∠OEB，
∵∠A＝∠AOB，
∴△ADE∽△OEB，
∴，即，
解得m＝3，
∴DE＝8﹣3＝5，
在Rt△BDE中，DE＝5，BE＝10，
∴tan∠DBE＝＝，
另一种思路：OE＝6，则AE＝4，
在Rt△ADE中，（8﹣m）2+42＝m2，
解得m＝5，所以DE＝5，
在Rt△BDE中，BE＝10，
∴tan∠DBE＝＝，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：x3﹣4xy2＝　x（x+2y）（x﹣2y）　．
【解答】解：原式＝x（x2﹣4y2）＝x（x+2y）（x﹣2y），
故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）
12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有一个根为2，则m的值为　8　．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有一个根为2，
∴22﹣6×2+m＝0，
解得，m＝8，
故答案为：8．
13．（3分）在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为　　．
【解答】解：平均数＝（7+8+10+8+9+6）＝8，
所以方差S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2]＝．
故答案为．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的边OA在y轴上，OB在x轴上，反比例函数y＝（k≠0）与斜边AB交于点C、D，连接OD，若AC：CD＝2：3，S△OBD＝，则k的值为 　5　．
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，过点C做CF⊥OA于点F，如图，
设D（m，n），则DE＝m，OE＝n，
∵点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝mn．
∵DE⊥OA，CF⊥OA，
∴DE∥CF，
∴△ACF∽△ADE，
∴，
∵AC：CD＝2：3，
∴AC：AD＝2：5，
∴，
∴CF＝m．
∵点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴C（m，n），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+n．
令y＝0，则x+n＝0，
∴x＝m，
∴B（m，0）．
∴OB＝m．
∵S△OBD＝，
∴OB OE＝，
∴m n＝，
∴mn＝5，
∴k＝mn＝5．
故答案为：5．
15．（3分）如图，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度为　　．
【解答】解：如图基本图形，将△ABE绕点B顺时针旋转90°，
则点A与点C重合，点E旋转至点N，△ABE≌△CBN
∴AE＝CN
作∠EBM＝45°，点M在CD边上，则∠EBM＝45°
则在△EBM和△NBM中
∴△EBM≌△NBM（SAS）
∴EM＝NM＝MC+CN＝MC+AE
∵正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，
∴AE＝CN＝2，DC＝AD＝BC＝AB＝6
设MC＝x，则EM＝2+x，DM＝6﹣x，DE＝4，由勾股定理得
42+（6﹣x）2＝（2+x）2
解得x＝3，即MC＝3，
∴BM＝＝3，BE＝＝
延长BE，交CD的延长线于点P，
易证△BAE∽△PDE
∴＝
∴＝
∴PE＝4，
∵F是BE的中点，
∴EF＝BE＝
∴PF＝5，PB＝6
∵∠EFH＝∠EBM＝45°
∴BM∥FH
∴△PFH∽△PBM
∴＝
∴＝
∴FH＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18，19，20题各8分，第21题9分，第22题10分，共55分。）
16．（5分）计算：|﹣2|+2cos30°﹣（﹣）2+（﹣）﹣2．
【解答】解：原式＝2﹣+2×﹣3+4
＝2﹣+﹣3+4
＝3．
17．（7分）先化简，再求值；，其中，x＝+2，y＝﹣2．
【解答】解：原式＝[+] （x+y）
＝ （x+y）
＝，
当x＝+2，y＝﹣2时，
原式＝
＝
＝．
18．（8分）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：
（1）该校八年级共有　500　名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　108°　．
（2）请将图1中的条形统计图补充完整．
（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？
（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．
【解答】解：（1）该校八年级共有学生人数为200÷40%＝500（名）；“优秀”所占圆心角的度数为360°×＝108°；
故答案为：500，108°；
（2）“一般”的人数为500﹣150﹣200﹣50＝100（名），补全条形统计图如图1
（3）15000×＝1500（名），
即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，
∴必有甲同学参加的概率为＝．
19．（8分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠OPA＝∠C，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠A，
∴∠A＝∠C；
（2）解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，
∴PB＝＝2，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2，
解得BC＝10，
∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
20．（8分）为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．
（1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元；
（2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用．
【解答】解：（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是1.2x元，
由题意得：﹣＝500，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，
∴1.2x＝12，
答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元；
（2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本（1000﹣a）本，
由题意得：，
解得：600≤a≤750，
设订购两种读本的总费用为w元，
由题意得：w＝12a+10（1000﹣a）＝2a+10000，
∵2＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝600时，w有最小值为2×600+10000＝11200，
此时，1000﹣600＝400，符合题意，
答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元．
21．（9分）如图，在并联电路中，电源电压为U总＝6V，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝）．已知R1为定值电阻，当R变时，路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．
（1）【问题理解】
定值电阻R1的阻值为 　6　Ω．
（2）【数学活动】
根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．
①列表：下表列出I总与R的几组对应值，请写出m的值：m＝　2.5　．
R … 3 4 5 6 …
I2＝ … 2 1.5 1.2 1 …
I总＝1+ … 3 m 2.2 2 …
②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．
（3）【数学思考】
观察图象发现：函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向 　上　平移 　1　个单位而得到．
（4）【数学应用】
若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴R1＝6，
（2）①当R＝4时，，
∴，
∴m＝2.5，
②先描出点（3，3），（4，2.5），（5，2.2），（6，2），再顺次连接这些点即可画出所求函数图象，
（3）当R＝6，I1＝1，I总＝2，
当R＝3时，I1＝2，I总＝3，
当R＝2时，I1＝3，I总＝4，
结合图象，所以函数I总＝1+的图象是由的图象向上平移1个单位．
（4）由函数与方程的关系可知，
当k＜0时，的函数图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴，
化简得：kx2+5x﹣6＝0Δ＝b2﹣4ac＝25+24k＝0，
∴，
当k＞0时，的函数图象在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；
∴，
化简得：kx2+7x+6＝0Δ＝b2﹣4ac＝49﹣24k＝0，
∴，
当k＝0时，的图象恰好有两个交点．
∴k＝0或或．
22．（10分）问题背景：如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：＝．
尝试应用：如图2，在 ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值．
【解答】解：问题背景：
证明：∵AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，
∴B＝∠C＝90°，∠BAE＝∠CED＝90°﹣∠AEB，
∴∠BAE＝∠CED，
∴△ABE∽△ECD，
∴＝．
尝试应用：在AB边取点G，使GE＝BE，如图2，
则∠B＝∠BGE，
又∵∠B+∠C＝180°，∠BGE+∠AGE＝180°，
∴∠AGE＝∠C，
由题意可知：AE＝AD＝BC＝2BE，EF＝FD，
∠B＝∠D＝∠AEF，
又∵∠B+∠BAE＝∠AEF+∠FEC，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△AGE∽△ECF，
∴＝，
又∵GE＝BE，AE＝BC＝2BE，EF＝FD，
∴＝＝．
拓展创新：作FM＝FD，FN⊥AD，如图3，
∴∠D＝∠FMD，
∵∠FMD+∠AMF＝180°，
∠C+∠D＝180°，
∴∠AMF＝∠C，
∵∠CFE+∠AFE＝∠MAF+∠D，
∠AFE＝∠D，
∴∠CFE＝∠MAF，
∴△AMF∽△FCE，
∴＝＝3，
设AM＝x，FM＝FD＝3x，则AD＝CD＝3x+2，MD＝2x+2，ND＝x+1，
∵∠AFE＝∠D，∠AEF＝∠FND＝90°，
∴△AEF∽△FND，
则＝＝，
即＝，
∴x＝5，
∴cos∠AFE＝＝＝．