江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024高三上学期12月月考数学试题（含答案）

丰城市第九中学2023-2024学年高三上学期12月月考
数学试卷
时间：120分钟 试卷总分：150分
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.1
5.设点的坐标分别是，直线相交于点，且它们的斜率之积是，点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.设为等差数列的前项和，设甲：，乙：是单调递减数列，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在平面直角坐标系中，双曲线的左 右焦点分别为，点是双曲线右支上一点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，若函数有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分）
9.已知分别为直线的方向向量（不重合），分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，若，则下列结论正确的是（ ）
A.的图象关于直线对称 B.
C.的图象关于点对称 D.
11.已知与，以下结论正确的有（ ）
A.与有且仅有2条公切线
B.若直线与分别切于相异的两点，则
C.若分别是与上的动点，则的最大值为16
D.与的一条公切线斜率为
12.已知是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是它们的一个交点，则以下判断正确的有（ ）
A.面积为
B.若，则
C.若，则的取值范围为
D.若，则的取值范围为
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.已知，则的最小值为__________.
14.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么__________.
15.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为__________.
16.表面积为的球面上有四点且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则棱锥体积的最大值为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（本大题共10分）已知函数.
（1）若，求的值；
（2）当时，的解集为，求.
18.（本大题共12分）已知为等差数列，为等比数列，的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19.（本大题共12分）已知的内角的对边分别为，已知.
（1）求角；
（2）如图，若点在边上，，为垂足，，求长.
20.（本大题共12分）如图，在棱长是2的正方体中，分别为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
21.（本大题共12分）如图，过点的直线与圆相交于两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为.
（1）当点坐标为时，求直线的方程；
（2）求四边形面积的最大值.
22.（本大题共12分）已知函数.
（1）若在单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点，且，求证：
丰城市第九中学2023-2024学年高三上学期12月月考
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C C A B D AD BC BD ABD
13. 14.12 15. 16.27
7.B 解：如图示，连结.因为为等边三角形，所以
.
所以.因为，所以.
又，所以，所以.
在中，，所以.
由双曲线的定义可得：，即
所以离心率.故选：A.
8.D 解：作出函数的图象如图，
由图可知，函数
有零点，即有根，与
在上有交点，则的最小值为，
设过原点的直线与的切点为
，由得，则切线方程为，把
代入，可得，即切线斜率为，即的取值范围是，
故选D.
10.BC 解：对于选项：由函数的图像关于对称，根据函数的图象变换，可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，所以错误；
对于选项B：由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，可得，则，所以正确；
又因为函数为偶函数，即，所以，可得，所以函数关于中心对称，所以正确；
所以，所以，所以错误.故选BC.
11.BD 解：由题意可知：的圆心，半径的圆心，半径，
对于选项C：因为，当且仅当四点共线时，等号成立，所以的最大值为10，故错误；对于选项因为，则与外切，所以与有且仅有3条公切线，故错误；
对于选项B D：若直线与分别切于相异的两点，显然直线的斜率存在且不为0，根据对称性，不妨设直线的与轴交点为，斜率为，如图所示，
连接，过作，垂足为，
可知四边形为矩形，且，
在Rt中，可得，所以，
直线的斜率，故正确；故选：.
12.ABD 解：设，
不妨设点是在第一象限内的交点，则，
，所以，
在中，由余弦定理可得：，
即，一方面，
所以，此时面积为
另一方面，，
所以，此时面积为
，对于A，因为
，所以，故A正确；对于B，因为且，
所以，所以，所以
，所以，又，所以，故B正确；当时，由得，即，所以，所以，对于，令，
则，所以，故C错误；对于，记，则，函数是对勾函数，在上单调递增，所以，即的取值范围为，故D正确.
16.解：设球的半径为，因为球的表面积为，所以有.
设的中心为，则，所以，
则，棱锥的底面积为定值，
欲使其体积最大，应有到平面的距离取最大值，又平面平面，
所以由球的性质可知：当在平面上的射影是的中点时，点到平面的距离取最大值，而，显然有平面平面，
因此，过做，于是有，
，则到平面的距离的最大值为.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤）
17.解：（1），则，即解得：或.
（2）当时，，解得：，
所以.
所以，解得：且
所以解集且.
18.解：（1）设的公差为的公比为，
由已知可得，则，即.
，又，
，解得，即.
（2）由（1）知，
令①，
①式两边同乘得：②，
错位相减得
则.
19.解：（1）因为，
由正弦定理可得，
则，即，所以，
又为三角形内角，所以；
（2）因为，所以为等腰三角形，且角为一个底角，
所以角，
又，所以为中点，则；
在中，，
由正弦定理可得，，
所以，
因此在Rt中，.
20.解：（1）以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
分别为的中点，
.
，
又平面平面
平面.
（2），
设平面的法向量为，
则，
取，可得，所以，
所以平面的法向量，
点到平面的距离.
21.解：（1）当时，直线的斜率为，
与垂直，直线的斜率为，
直线的方程为，即.
（2）当直线与轴垂直时，
四边形的面积
当直线与轴不垂直时，设直线方程为，
即
则直线方程为，即
点到直线的距离为
则四边形面积
令（当时，四边形不存在）
四边形面积的最大值为.
22.解：（1）函数的定义域为，则，
若单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，
又在上单调递减，
于是，所以，
故实数的取值范围为.
（2）证明：，
则，
依题意可得是方程的两个不同的根，
于是，即，
又，则.
要证，
只需证，
即证
因为，所以，
从而，
令，则，
设，则
令，解得：（舍去），
由，得，由，得，
于是在上单调递增，在上单调递减，
即在上单调递增，在上单调递减，
而，于是在上，，
因此在上单调递增，
从而，
综上所述，，所以原命题得证.
的取值范围是.