江西省上饶市清源学校2023-2024学年高一上学期12月考试数学试题
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．已知，且，则的最小值为（ ）
A．8 B． C．9 D．
3．函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．已知经过125年的质量衰减为最初的，则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ）
A．250 B．375 C．500 D．1000
7．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）
A．60 B．80 C．100 D．120
8．已知甲、乙、丙、丁四人进行乒乓球比赛，比赛规则为：将四人随机均分为组，同组人先进行一场比赛，组胜者再进行决赛．若所有人在比赛中获胜的概率均为，则甲、乙在决赛中相遇的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．下列四个结论中，正确的结论是（ ）
A．“所有平行四边形都是菱形”是全称量词命题
B．已知集合，均为实数集的子集，且，则
C．，有，则实数的取值范围是
D．“”是“”的充分不必要条件
10．已知的定义域为且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于对称 D．
11．已知，且满足，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
12．下列说法正确的是（ ）
A．若事件和事件互斥，则
B．若事件和事件对立，则
C．若，则事件和事件独立
D．若三个事件、、两两独立，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知全集为，集合，则的补集可用区间表示为 .
14．设函数，当时，恒有成立，则的最小值为 .
15．为了解黄浦区全体高二学生“小三门”的选科情况，区教育局共联络了950名黄浦区在读高二学生进行调查，在这项调查中，样本量是 .
16．小鹿同学抛一枚质量均匀的硬币，抛了2023次都是正面朝上，那他抛第2024次正面朝上的概率为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．设已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
18．已知函数，，
(1)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．
19．已知函数，函数的图象经过点．
(1)若，求函数的最大值；
(2)若对，且，都有成立，求实数的取值范围．
20．已知函数.
(1)解方程；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
21．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
样本分数段
频数 5 10 20 a 25 10
频率 0.05 0.1 0.2 b 0.25 0.1
(1)求频数分布表中a和b的值，并求样本成绩的中位数和平均数；
(2)已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
22．已知，且方程有两个相等的实根．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)判断在区间上的单调性并证明．
数学参考答案
1．D
【分析】根据存在量词命题的否定即可求解.
【详解】由题意：“，”的否定为“，”，故D项正确.
故选：D.
2．C
【分析】首先化简等式为，再利用“1”的妙用，变形为，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】由可知，，
所以，
当，即时，等号成立，
联立，得，
所以当时，的最小值为.
故选：C
3．A
【分析】先求出定义域，进而根号下配方求出值域.
【详解】令得，，故定义域为，
.
故选：A
4．A
【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案.
【详解】将两边平方，得，即，
所以.
故选：A.
5．C
【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.
【详解】函数，则.
故选：C
6．C
【分析】根据题意列方程得到，然后将代入解得即可.
【详解】由题意得，解得，
令，则，解得.
故选：C.
7．C
【分析】根据频率之和为计算值，根据成绩落在的人数为10，成绩落在频率为列方程求
【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得.
故选：C
8．B
【分析】由各人进入决赛的可能性相同，用列举法由古典概型概率公式可得.
【详解】因为所有人在比赛中获胜的概率均为，所以甲、乙、丙、丁四人进入决赛的可能性相等.
所以进入决赛可能出现的情况有
（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），共6种情况，
甲乙在决赛中相遇的情况只有（甲乙）1种，
故由古典概型概率公式知，甲、乙在决赛中相遇的概率为.
故选：B.
9．ACD
【分析】根据全称量词命题定义可判断A；作出韦恩图结合集合的运算可判断B；根据命题为真列出不等式求解即可判断C；根据充分不必要条件可判断D.
【详解】对于A，因为命题中含有量词“所有”，故该命题为全称量词命题，故符合题意；
对于B，如图设全集，集合，集合如图所示，根据运算得，故B不符合题意；
对于C，，有成立，则，
解得，故C符合题意；
对于D，满足的数一定满足，所以充分性满足，
而满足的数不一定满足，所以必要性不满足，
即“”是“”的充分不必要条件，故D符合题意.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】由已知奇偶性得出函数的图象关于点对称且关于直线对称，再得出函数的单调性，然后由对称性变形判断ABC，结合单调性判断D．
【详解】为奇函数，为偶函数，
所以的图象关于点对称且关于直线对称，故C正确；
所以，，，
，所以是周期函数，4是它的一个周期．
，
，故B正确；
，是偶函数，A正确；
对任意的，且，都有，即时，
，所以在是单调递增，
，，，
，∴，故D错．
故选：ABC．
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性、单调性和周期性，再利用这些性质逐项分析即可.
11．BD
【分析】观察等式，借助函数，有，结合函数单调性可得，而后逐一检验选项即可得.
【详解】由，则，
则，
令，则有，
由，故在上单调递增，
故，则，
，由，故无最大值，故A错误；
，当且仅当时等号成立，故B正确；
，由，故无最大值，故C错误；
，当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：BD.
【点睛】本题关键点在于观察出等式可借助同构思想，设出函数，将原等式转换成，结合单调性从而得出.
12．ABC
【分析】利用独立事件的概率公式相关知识，由于互斥事件的性质得A正确，相互独立事件基本知识可得B正确，对于D首先分析题意再进行公式运算即可得出答案.
【详解】对于A:由于互斥事件的性质得，若事件A,B互斥，则.故A正确.
对于B:由于相互独立事件基本知识可得：.故B正确.
对于C:由于，可得事件和事件独立.故C正确.
对于D:满足
所以事件A，B，C 两两独立，但是
故D 错误.故选D.
故选：ABC.
13．
【分析】根据补集的概念直接求解出结果.
【详解】因为全集为，集合，
所以，
故答案为：.
14．
【分析】将化为，和比较系数，求得x的值，结合恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意得，
令，解得或，
当时，，即，
当时，，则，
验证：时，，，即时，
取到最小值，
故答案为：
15．950
【分析】根据样本量的定义即可求解.
【详解】由题意可知样本量为：950
故答案为：950
16．/0.5
【分析】独立事件概率互不影响，所以他不论抛多少次，正面朝上的概率都是固定的.
【详解】每次抛硬币都是独立的，
所以他不论抛多少次，正面朝上的概率都是，
故答案为：.
17．【详解】（1）当时，集合，
因为，
所以；
（2）由，得.
①当时，即，解得，此时，符合题意；
②当时，即，解得，
所以，解得；
所以实数a的取值范围是.
18．【详解】（1）因为在区间上恒成立，
即，恒成立．
等价于在区间上恒成立，
又因为，则，
可得
，
当且仅当，即时等号成立，
故实数的取值范围为：．
（2）设在内的值域为A，在内的值域为B，
若对任意的，存在，使得，则，
当时，，即，
取，可得，解得；
又因为，
若，且，可知在上单调递增，
此时在上的最大值为，最小值为，
即，符合题意；
综上，实数的取值范围为：．
19．【详解】（1）因为，所以，解得，
又因为（且）经过点，所以，解得，
所以，
所以（），
又因为在上单调递增，
所以当时，取得最大值为．
（2）因为且，不妨设，则
所以，
设，则在上单调递增，
，
①当时，在单调递减，不成立，
②当时，函数的对称轴为，
因为在上单调递增，
所以，解得，
③当时，，解得，
综上，.
20．【详解】（1）由题，
解得.
（2）依题意，存在，使成立，
即存在，使成立，
由于，所以，函数在上单调递减，最小值为，
所以，
所以.
（3）函数在上单调递增，
依题意，不等式对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立，
二次函数的开口向上，
对称轴为，在对称轴两侧左减右增，所以：
①当时，函数在上单调递增，
所以，又，
所以；
②当，即时，
则，
整理得（舍去）.
③不等式组无解.
综上所述，的取值范围是.
21．【详解】（1）解：（1）由，解得，则，
由，所以，
由成绩在的频率为，所以中位数为，
平均数为．
（2）解：由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，
故，
则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
22．【详解】（1）得有两个相等的实根，
所以，解得，此时，，符合题意，
所以，
，
所以函数图象的对称中心为；
（2）在区间上单调递增，证明如下，
由（1），
设，，
因为，所以，，
所以，
所以在区间上单调递增.
