河南省焦作市博爱县2023-2024高三上学期12月月考数学试题（含答案）

数学参考答案
一、单项选择题
1.答案：A
解析：命题，，则，
所以，解得或
又p是q成立的必要不充分条件，所以，
所以区间D可以为.
2.答案：C
解析:,,,
函数是增函数,,,
,且
又,即,
综上可得,,
故选:C.
3.答案：A
解析：有，
得，，，由于，，所以，，故选A.
4.答案：C
解析:,则,,
则,
故,,
由题意可知,.
故选:C.
5.答案：D
解析：不妨设P位于第一象限，双曲线C的右焦点为，连接，，
O为中点，四边形为平行四边形，，；
设，，则，
由得：，解得：；
在中，，
，
（当且仅当时取等号），
当取得最小值时，双曲线C的离心率.
故选：D.
6.答案：D
解析：方法一：当时，直线AB与直线CD的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB与直线CD平行；当时，，，由，解得，且两直线不重合.综上，m的值为0或1.
方法二：直线AB的一个方向向量为，直线CD的一个方向向量为，因为直线AB与直线CD平行，所以，所以，即，所以解得或1，且直线AB与CD不重合.
7.答案：C
解析：由题知第n个正六边形的面积组成一个等比数列,
其中,,所以,
故,
故选：C.
8.答案：B
解析:,,,
则,令,,
则在上递减,则,
所以在上递增,则,即,
则,令,
则在上递减,则,
所以在上递减,则,即,
故选:B
二、多项选择题
9.答案：ACD
解析：由式，可得，
，则，，
所以，，
又，则，
，，
，，，
则c的值可能为，，.
故选：ACD.
10.答案：AC
解析：解：如图所示,中,,,
,,中,
,,,,
由正弦定理得,
所以故选：AC．
11.答案：AC
解析：由题意，知，，，，，，.，平面，故A正确；
，且，不是平面的法向量，故B不正确；
，，，，又，是平面的一个法向量，故C正确；
，且，不是平面的法向量，故D不正确.
12.答案：AB
解析：设切点为,直线恒过定点,
,,
, ,
,可取,
由导数的几何意义知,,
则,则,
所以,
当时,;当,,故A,B正确,C,D不正确.故选：AB.
三、填空题
13.答案：
解析：当时，直线段过点，，
，此时方程为.
当时，直线段过点，，，
此时方程为.即.
故答案为：.
14.答案：/
解析：的终边过点，则，，
.
故答案为：.
15.答案：
解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,
即,可得尺；
根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的为立方尺；
又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共斛.
故答案为：.
16.答案：
解析:因为,,点M为线段AB的中点,
所以,
所以,
所以,
故答案为:.
四、解答题
17.（10分）答案：（1）最小正周期为，最大值为
（2）在单调递增，在单调递减
解析：（1）
，
则的最小正周期为，
当，即时，取得最大值为；
（2）当时，，
则当，即时，为增函数；
当时，即时，为减函数，
在单调递增，在单调递减.
18.（12分）答案：(1)
(2).
解析：（1）,
当时,,解得.
当时,,
即,
, ,
数列是以1为首项,2为公差的等差数列,
.
（2）因为,所以
当时, ,
,
,
实数的取值范围为.
19.（12分）答案：(1)答案和证明见解析
(2)
解析：（1）过点M作BC的平行线,分别交PB,PC于点E,F,
过E作PA的平行线,交AB于点N,过N作BC的平行线交CD于点Q,
则截面EFQN为所求截面,证明如下：
因为,截面,截面,所以截面,
因为,截面,截面,所以截面.
（2）因为平面ABCD,DA,平面ABCD,所以,
且,所以以D为坐标原点,,,为x,y,z轴建系如图,
则,,,
所以,,
所以,
又因为,所以,
设平面MCD的法向量为,
所以令,,
所以,
设PB与平面MCD所成角为,
则,
整理得,解得（舍）,.
20.（12分）答案：（1）
（2）
解析：（1）设点M的坐标是，点P的坐标是，
因为P是圆上的动点，
所以，
所以点M的轨迹C的方程是.
(2)过点且斜率的直线，
设直线l与曲线C交于点，，
将直线l与曲线C的方程联立，消去y得，
化简得，
解得，，
所以，
即截得的线段的长度是.
21.（12分）答案：（1）
（2）
解析:（1）用a,b分别表示“选择物理”,“选择历史”,用c,d,e,f分别表示选择“选择化学”,“选择生物”,“选择政治”,“选择地理”,则所有选课组合的样本空间为,则,
设M为选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,
则,,
所以选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率为
（2）设甲乙丙每人选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求分别是事件,,,由题意可知,,相互独立,由（1）可得,
记N为甲乙丙三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求,则,因为事件两两互斥,根据互斥事件概率加法公式可得
22.（12分）答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由已知得，，，
则.
因为在上单调递增，所以恒成立，
即，
由于，当且仅当时取等号，
所以，当时，，
仅在时取等号，适合题意，
故.
（2）由（1）可知当，时，，即，
即，可得.
令，则，即，
所以，
即.博爱县2023-2024学年高三上学期12月月考
数 学
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知命题，命题，，若p是q成立的必要不充分条件，则区间D可以为( )
A. B.
C. D.
2.设,,,则a,b,c的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知向量,,,,的夹角为,若存在实数m使得,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线C交于P，Q两点，且，，则当取得最小值时，双曲线C的离心率为( )
A.3 B. C.2 D.
6.已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则实数m的值为( )
A.1 B.0 C.0或2 D.0或1
7.如图,正六边形的边长为2,取正六边形各边的中点,,,,,,作第二个正六边形;然后再取正六边形各边的中点,,,,,,作第三个正六边形;依此方法一直继续下去……,则第2022个正方形的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知,,,其中e为自然对数的底数,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.若存在实数a，b，c满足等式，，则c的值可能为( )
A. B. C. D.
10.甲,乙两楼相距20m,从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为,则下列说法正确的有( )
A.甲楼的高度为 B.甲楼的高度为
C.乙楼的高度为 D.乙楼的高度为
11.在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，则( )
A.平面的一个法向量为 B.平面的一个法向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
12.直线是曲线的切线,则实数a的值可以是( )
A.3π B.π C. D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为________.
14.在平面直角坐标系xOy中，角是以O为顶点，Ox轴为始边，若角的终边过点，则的值等于________.
15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）
16.在空间直角坐标系中,已知,,,点M为线段AB的中点,则________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数.
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）讨论在上的单调性.
18.（12分）已知各项均为正数的数列满足,其中是数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式；
(2)若对任意,且当时,总有恒成立,求实数的取值范围.
19.（12分）如图,四棱锥的底面为正方形,平面ABCD,,M是侧面PBC上一点.
(1)过点作一个截面,使得PA与BC都与平行.作出与四棱锥表面的交线,并证明；
(2)设,其中.若PB与平面MCD所成角的正弦值为,求的值.
20.（12分）如图，设P是圆上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上的一点，且.
（1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被曲线C截得的线段的长度.
21.（12分）新高考实行“”模式,其中“3”为语文,数学,外语这3门必选科目,“1”由考生在物理,历史2门首选科目中选择1门,“2”由考生在政治,地理,化学,生物这4门再选科目中选择2门.已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理,再选科目为化学,生物至少1门.
（1）从所有选科组合中任意选取1个,求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率
（2）假设甲,乙,丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的,求这三人中恰好有一人的选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率.
22.（12分）已知函数.
（1）若函数在区间上为增函数，求a的取值范围；
（2）设，证明：.