江西省南昌市重点中学2023-2024高一上学期12月月考（二）数学试题（含答案）

南昌二中2023—2024学年度上学期
高一数学月考（二）
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.命题“，”的否定为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是（ ）
A.（） B.（）
C.（） D.（，且）
4.已知函数是定义在上的偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
5.已知，，，则，，的大小关系为（ ）（课本P128T3）
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，，对，，且有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
7.在某地区高一年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试.为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为.按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）.已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（ ）
A.样本容量
B.图中
C.估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分
D.若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是等
8.已知函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各结论中正确的是（ ）
A.与表示同一函数
B.函数的定义域是，则函数的定义域为
C.设，则“”是“”的必要不充分条件
D.“函数的图象过点”是“”的充要条件
10.过市场调查分析，某地区半年的前个月内，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：，，则哪几个月的需求量超过3万件？（ ）（课本P144T2改编）
A.4月 B.3月 C.2月 D.1月
11.空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A.若，则为偶函数
B.若，，则函数的零点为0和
C.若，则函数的最小值为2
D.若为奇函数，且使成立，则的最小值为
12.设，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D.的最小值为2
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若，则函数的图像不经过第______象限.（课本P127T11（1））
14.已知，，且，则的最小值为______.
15.已知，.若对，总存在使得成立，则实数的取值范围为______.
16.若函数存在最大值，则实数的取值范围为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）（1）计算：的值：（课本P108T5（2）+P107T6（6））
（2）已知，，且，求的值.（课本P95T1）
18.（本小题12分）已知函数.（课本P94T8改编）
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）解不等式.
19.（本小题12分）南昌的西瓜脆甜爽口，汁多肉厚，其实在南昌还有一种香瓜也非常好吃，由于个小产量也少，往往供不应求，所以不被大家熟悉.南昌某种植园在香瓜成熟时，随机从一些香瓜藤上摘下100个香瓜，称得其质量分别在，，，，（单位：克）中，经统计绘制频率分布直方图如图所示：
（1）在样本中，按分层抽样从质量在中的香瓜中随机抽取了个香瓜，其中质量在中的香瓜有6个，求的值：
（2）估计这组数据的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表）；
（3）某个体经销商来收购香瓜，同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，用样本估计总体，该种植园中大概共有香瓜2万个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有香瓜以5元/500克收购；方案②：对质量低于350克的香瓜以3元/个收购，对质量高于或等于350克的香瓜以5元/个收购.请分别计算两种方案获得的利润，并说明种植园选择哪种方案获利更多？
20.（本小题12分）习近平指出，倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生话中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型（，）给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后的函数模型：
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过.试问：至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标？（参考数据：取）
21.（本小题12分）如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”.
（1）已知具有“性质”，且当时，，求在的最大值；
（2）已知定义在上的函数具有“性质”，当时，.若函数有8个零点，求实数的取值范围.
22.（本小题12分）已知函数，函数图象与的图象关于对称.
（1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
南昌二中2023—2024学年度上学期
高一数学月考（二）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D A C B B C A AD BCD ABD AC
13.四 14.12 15. 16.
1.【答案】D 2.【答案】D 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】B
6.【答案】B 解：因为是定义在上的奇函数，则是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以在上单调递增，在上单调递减，，，解得：.
7.【答案】C 解：对于A，成绩落在的频率为，
又∵成绩落在内的人数为16，∴，故A错误；
对于B，由频率分布直方图可得，，
解得，故B错误；
对于C，估计全体学生该学科成绩的平均分为：（分），故C正确；
对于D，∵，，
∴等成绩的最低分落在，
设该学科成绩为等的最低分数为，则，解得，
虽然，但79.75是估计值，是一个区间，有可能出现没有学生考到79分的情况（学生成绩均为正整数），这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是等，D错误，故选：C.
8.【答案】A 解：作函数的图象如下：
由图象知：要关于的方程有6个不同的实数根，
设，则关于的方程在有两个不同的实数根，
因此，解得，所以实数的取值.
9.【答案】AD 解：对于A，
因为与定义域，解析式一致，故A正确；
对于B，分母不能为0，所以，又，得，
所以的定义域为故B不正确；
对于C，若，则或，
所以“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，若函数的图象过点，则，
若，则当时，，即函数的图象过点，
“函数的图象过点”是“”的充要条件，故D正确.故选：AD.
10.【答案】BCD 解：；时，得，
所以.
11.【答案】ABD 解：若，，则，
所以，所以是偶函数，A正确；
若，，，由得或，
所以函数的零点为0和，C正确；
若，设时，显然，C错误；
若为奇函数，则恒成立，即，
整理得恒成立，即，所以，
从而可转化为，
令，则，即，
其中当时，，所以，
显然，所以的最小值为，D正确.故选ABD.
12.【答案】AC 解：构造函数，则，
因为函数在上为单调递增函数，则在上为单调递减函数，
所以在上为单调递减函数，所以，即，，故选项A正确，选项B错误；因为，，所以，故选项C正确；
因为，当且仅当时取等号，由题意可知，故，故选项D错误.故选AC.
13.【答案】四
14.【答案】12 解：因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，此时的最小值为12.
15.【答案】 解：，当时，，
当时，，对，总存在使得成立，
即，，即，
得，，当时，.
综上可知，实数的取值范围为.
16.【答案】 解：①当时，函数在上单调递减，因此不存在最大值；
②当时，，当时，，故函数存在最大值；
③当时，故函数在上单调递增，在上单调递减，
故时，，
当时，函数在上单调递增，此时.于是时函数存在最大值.解得.
④当时，函数在上单调递减，.
在上单调递增，此时.
故当，解得，故；
综上，时函数存在最大值.
17.解：（1）
；
（2）因为，，所以，得；
所以.
18.解：（1）的定义域为，且，所以为奇函数；
（2）在上是奇函数且是减函数，
由不等式得；
所以，即得.
19.解：（1）按分层抽样，，所以；
（2）由频率分布直方图知，各区间频率为0.17，0.20，0.30，0.25，0.08，
这组数据的平均数：；
（3）方案①：根据题意可知20000个香瓜中：
200克的有个，300克的有：个，
400克的有：个，500克的有：个，
600克的有：个，
元；
方案②质量低于350克的香瓜有个，
质量高于或等于350克的香瓜有个，
元，且，
综上，种植园选择方案②获利更多.
20.解：（1）由題意得，，所以当时，，
即，解得，
所以（），
故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为（）.
（2）由题意可得，整理得分
两边同时取常用对数，得，整理得，
将代入，可得，所以，
又因为，所以，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
21.【答案】解：（1）∵具有“性质”∴对恒成立，
∴是偶函数，∴当时，，
∴当时，；
当时，.
（2）函数具有“性质，则，
当时，，所以当时，
，于是
函数有8个零点，令，
则有两个不等的实数根，，且，
所以，所以.所以的取值范围为.
22.【答案】解：依题意，
（1）在上单调递减，
令，则在上单调递增，且对恒成立.
∴，且，∴.故的取值范围为.
（2）依题意有，且，∴.
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
∴，∴在上恒成立，
当时不等式成立，所以必须在上恒成立，∴.
令，，，而在上单调递增，
∴，∴.
综上：的取值范围为.