期末综合练习卷（拔高卷）2023-2024学年数学九年级上册人教版
一、单选题
1．一只不透明的袋子中装有2个白球和3个黄球，这些球除颜色外都相同．现按下列方案向袋中增加或减少相应颜色的球，将球搅匀，从中任意摸出1个球，能使摸到白球、黄球的概率相等的方案是（ ）
A．增加2个白球 B．减少2个黄球
C．增加1个白球、减少1个黄球 D．增加4个白球、3个黄球
2．已知三角形的两边长为3和6，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．15
3．甲，乙两位同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示．则符合这一结果的试验可能是（ ）
A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任取一个球，取到红球的概率
B．在内任意写出一个整数，能被2整除的概率
C．抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率
4．今年为庆祝共青团成立100周年，教体局举行篮球友谊赛，初赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），据统计，比赛共进行了28场，则一共邀请了多少支球队参加比赛？设一共邀请了支球队参加比赛．根据题意可列方程是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③；④；⑤，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，将函数的图象沿轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（国中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形的对角线交于点O，，将绕着点C旋转得到，则点A与点之间的距离为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
9．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（ ）
A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
10．如图，为的内切圆，，，，点D，E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．8
二、填空题
11．把两张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，然后将上、中、下三段分别混合均匀成三堆，从这三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为 ．
12．若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
13．如图，一次函数的图象交x轴于点A，交y于点B，点P在线段上（不与点A、B重合），过点P分别作和的垂线，垂足为C、D，若矩形的面积为1时，则点P的坐标为 ．
14．已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的的取值范围是 ．
15．如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ．
16．如图，与关于点成中心对称，有以下结论：①点A与点是对称点；②；③；④．其中正确结论的序号为 ．
17．如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点．则图中阴影部分面积是 ．
18．如图，正方形的顶点O在原点，边，分别在x轴和y轴上，点C坐标为，点D是的中点，点P是边上的一个动点，连接，以P为圆心，为半径作圆，设点P横坐标为t，当与正方形的边相切时，t的值为 ．
三、问答题
19．如图所示的等边三角形区域内投针（区域中每个小等边三角形除颜色外完全相同），针随机落在某个等边三角形内（边线忽略不计）
(1)投针一次，针落在图中阴影区域的概率是多少？
(2)要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为，还要涂黑几个小等边三角形？请在图中画出．
20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．如图，是的直径，是的一条弦，且于点E．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
22．已知：二次函数的图象与轴交于，两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值；
(3)若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点坐标．
23．如图，二次函数的图象与y交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点及点B．
(1)求二次函数与一次函数的表达式．
(2)根据图象，写出满足的x的取值范围．
24．正方形中，点F为正方形内的点，绕着点B按逆时针方向旋转90°后与重合．
(1)如图①，若正方形的边长为2，，求证：．
(2)如图②，若点F为正方形对角线上的点（点F不与点A、C重合），试探究之间的数量关系并加以证明．
25．如图所示，在中．，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的面积为．
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，的长度等于．
(3)在（1）中的面积能否等于？说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】分别求出各选项摸到白球和黄球的概率，然后比较即可解答．
【详解】解：A．增加2个白球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，不符合题意；
B．减少2个黄球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，不符合题意；
C．增加1个白球、减少1个黄球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，不符合题意；
D．增加4个白球、3个黄球，摸到白球的概率是，摸到黄球的概率是，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了可能性大小，掌握可能性等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可。
【详解】解：∵，
即（x﹣3）（x﹣4）=0，
∴x﹣3=0或x﹣4=0，
解得：x=3或x=4，
当x=3时，则三角形的三边3+3=6，无法构成三角形，舍去；
当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13，
故选：B．
【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程以及三角形三边关系，熟练掌握解一元二次方程的方法并明确构成三角形的条件是解题的关键．
3．A
【分析】根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
【详解】解：A、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是： ，故该选项符合题意；
B、任在内任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故该选项不符合题意；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故该选项不符合题意；
D、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故该选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，正确计算出各自的概率是解题的关键．
4．C
【分析】设一共邀请了x支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加（x-1）场比赛，则共有 场比赛，可以列出一元二次方程．
【详解】解：设一共邀请了x支球队参加比赛，由题意得，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数=队数×（队数-1）÷2，进而得出方程是解题关键．
5．B
【分析】由抛物线的开口方向及与轴交点的位置，即可得出、，进而可得出，结论①错误；由抛物线的开口方向及对称轴，可得出当时，随的增大而增大，结论②错误；由抛物线对称轴为直线，即可得出，进而可得出，结论③正确；由函数图像与x轴有两个交点，可得出，结论④错误；由当时，可得出，结论⑤正确．综上即可得出结论．
【详解】∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
∴，
∴，结论①错误；
∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，结论②错误；
抛物线对称轴为直线1，
∴，
∴，
∴，结论③正确；
∵函数图像与x轴有两个交点，
∴，结论④错误；
∵当时，，
∴，结论⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．
6．D
【分析】曲线段扫过的面积，则，然后根据平移规律即可求解．
【详解】解：曲线段扫过的面积，
则，
故抛物线向上平移3个单位，则
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出是解题关键．
7．C
【分析】根据旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，得出，再由旋转性质和三角形的外角性质可知．
【详解】∵绕直角顶点顺时针旋转，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，
故选：．
【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
8．C
【详解】根据菱形的性质得到，，再由旋转的性质得到，，则，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【解答】解：∵菱形的对角线交于点O，
∴，，
∴
∵将绕着点C旋转得到，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴点A与点之间的距离为10，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
9．D
【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由可求出，再设出圆的半径为，表示出，根据勾股定理建立关于的方程，解方程直接可得的值，即为圆的直径．
【详解】解：如图，连接，
，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
寸，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是关键．
10．C
【分析】设，，，和圆的切点分别是P，N，M，设，根据切线长定理得到，，，由可构建关于x的方程，求出x的值．可求的周长即是的值，即可求解．
【详解】解：设，，，和圆的切点分别是P，N，M，Q，
设，
根据切线长定理，得，，．
则有，
解得：．
所以的周长．
故选：C．
【点睛】此题主要是考查了切线长定理．根据切线长定理列出方程是关键．
11．/
【分析】先画出树状图，从而可得从这三堆图片中随机各抽出一张的所有等可能的结果，再找出这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：将第一张图片的上、中、下三段分别记为，第二张图片的上、中、下三段分别记为，则有；；三堆，
则画树状图如下：
由图可知，从这三堆图片中随机各抽出一张共有8种等可能的结果，其中，这三张图片恰好组成一张完整风景图片的结果有2种，
则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．
12．且
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，再根据一元二次方程的定义，可得，即可解答．
【详解】解：由题意得，
即，
解得，
根据一元二次方程的定义，可得，
解得，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次根的判别式，熟知根的判别式的符号对应的根的情况是解题的关键．
13．或
【分析】先根据一次函数的解析式求出点和点B的坐标，再设点P的坐标为，从而可得，然后根据矩形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得得到答案．
【详解】解：在中，当时，，当时，，
∴，
∵点P在线段上（不与点A、B重合）
∴可设点P的坐标为，
∵，
∴，
∵矩形的面积为1，
∴，
∴，
解得或，均符合题意，
当时，，则，
当时，，则，
综上所述，点P的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的几何应用、一元二次方程的应用，正确设出点P的坐标，进而表示出的长，进一步根据矩形的面积公式建立一元二次方程是解题关键．
14．或
【分析】本题考查了二次函数与不等式，直接根据函数的图象即可得出结论，能利用数形结合求解是解题的关键．
【详解】∵由函数图象可知，当或时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
∴能使成立的的取值范围是： 或，
故答案为：或．
15．
【分析】抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方，
因此不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据二次函数与一次函数图象的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
16．①②③
【分析】根据中心对称的性质分别判断即可．
【详解】解：由中心对称的性质知，①点A与点是对称点；正确；
②；正确；
由中心对称知， ，
∴
∴；故③正确；
④，故④错误；
故答案为：①②③
【点睛】本题考查中心对称的性质，理解中心对称的定义及性质是解题的关键．
17．
【分析】本题要把不规则的图形通过几何变换转化为规则图形的面积求解．通过观察可知阴影部分的面积正好等于长方形的面积，直接根据相关条件求长方形的面积即可．
【详解】解：连接，
正方形的边长为1，即，
，，
，，
图形是面积等于图形的面积，
长方形的面积．
故答案为：
18．
【分析】由点C的坐标可得出，的长度，结合点D是的中点可得出的长度，当与相切时，在中，利用勾股定理可得出关于的一元一次方程，解之即可求出值．
【详解】解：∵点C坐标为，点是的中点，四边形是正方形，
∴，．
当与相切时，如图1所示．
∵点横坐标为，
∴，
在中，，，，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、坐标与图形性质以及正方形的性质，利用勾股定理找出关于的方程是解题的关键．
19．(1)
(2)还要涂黑2个小正三角形，图见解析
【分析】（1）由图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，利用概率公式计算可得；
（2）要使针落在图中阴影区域的概率为，所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，据此可得．
【详解】（1）解：图中共有16个等边三角形，其中阴影部分的三角形有6个，
∴投针一次，落在图中阴影区域的概率是，
故答案为：；
（2）解：涂黑2个；
∵图形中有16个小等边三角形，要使针落在图中阴影区域的概率为，
∴所以图形中阴影部分的小等边三角形要达到8个，已经涂黑了6个，
∴还需要涂黑2个．
画图如下：
．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
20．(1)每次下降的百分率为
(2)每千克应涨价5元
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
（1）设每次下降的百分率为，根据原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，列出方程进行求解即可；
（2）设每千克应涨价元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程，进行求解即可．
读懂题意，正确的列出方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得：，
解得：（舍去）；
答：每次下降的百分率为；
（2）设每千克应涨价元，由题意，得：，
解得：，
∵要尽快减少库存，
∴，
答：每千克应涨价5元．
21．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）由等边对等角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，最后根据等量代换即可解答；
（2）根据垂径定理可得，设的半径为r，则、结合可得，最后在中运用勾股定理列式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵是的直径，且于点E，，
∴．
设的半径为r，则，．
∵，
∴．
在中，，
∴，解得，
∴的半径为3．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质和定理成为解答本题的关键．
22．(1)
(2)
(3)符合题意的点坐标为：或或或．
【分析】（1）将A、D点代入抛物线方程，即可解出b、c的值，抛物线的解析式可得；
（2）点C、D关于抛物线的对称轴对称，连接，点P即为AC与对称轴的交点，的最小值即为AC的长度，用勾股定理即可求得AC的长度；
（3）求得B点坐标，设点坐标，利用三角形面积公式，即可求出m的值，点的坐标即可求得．
【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过，，
所以，解得．
所以二次函数解析式为；
（2）解：抛物线对称轴，，，
、关于轴对称，连接与对称轴的交点就是点，
此时最小，
；
（3）解：设点坐标，
令，，解得或，
即B点坐标为，
则，
三角形的面积为，
点到的距离为，
故当点纵坐标为时，，解得：，
符合题意的点坐标为：或；
当点纵坐标为时，，解得：或，
符合题意的点坐标为：或，
综上所述：符合题意的点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、两点之间线段最短、勾股定理、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．(1)二次函数解析式为，一次函数解析式为
(2)或．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出一次函数解析式；
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上方或二者的交点处即可写出自变量x的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为，
在中，当时，
∴点C坐标，
∵对称轴为直线，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标，
∵一次函数经过点A、B，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为，
（2）解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方或二者的交点处时，或，
∴不等式，即不等式的x的取值范围为或．
【点睛】本题考查二次函数与不等式、待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
24．(1)见解析
(2)，理由见解析过程
【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由勾股定理的逆定理可证，可得结论；
（2）由正方形的性质和旋转的性质可得，由勾股定理可求解．
【详解】（1）∵绕着点B按逆时针方向旋转90°后与重合，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴；
（2），理由如下：
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∵绕着点B按逆时针方向旋转90°后与重合，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．(1)1秒
(2)2秒
(3)不可能等于，理由见详解
【分析】（1）设P，Q分别从A，B同时出发，x秒后，，，，则，令，列出方程即可求出符合题意得解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）的面积能否等于，只需将，化简该方程后，判断该方程的判别式与0的关系，大于等于0则可以，否则不可以．
【详解】（1）解：设x秒后，的面积为，
此时，，，，
则，
令，即，
整理得：，
解得：或，
当时，，说明此时点Q越过点C，不合要求，舍去，
答：1秒后的面积为；
（2）解：由，得，
整理得，
解方程得：（舍去），，
所以2秒后的长度等于；
（3）解：的面积不可能等于，理由如下：
设
即，整理得，
∵，
∴方程没有实数根，
所以的面积不可能等于．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解，判断某个三角形的面积是否等于一个值，只需根据题意列出方程，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．
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