苏科版数学八年级下册9.2 中心对称与中心对称图形 素养提升练习（含解析）

第9章　中心对称图形——平行四边形
9.2　中心对称与中心对称图形
基础过关全练
知识点1　中心对称的定义及其性质
1.下列各组图形中,△A'B'C'与△ABC成中心对称的是(　　)
A
B
C
D
2.已知△ABC和△DEF关于点O成中心对称,相应的对称点如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.AO=BO
B.BO=EO
C.点A关于点O的对称点是点D
D.点D在BO的延长线上
3.【新独家原创】如图,已知AB=4,AC=,∠BAC=90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,求AE的长.
知识点2　中心对称作图
4.【教材变式·P61T1】如图,在Rt△ABC中,O是AB的中点,用无刻度的直尺和圆规,画△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'.
5.(2023江苏扬州期中)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC,且A(-3,2),B(-1,4),C(0,2).
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1;
(2)平移△ABC得到△A2B2C2,若点A的对应点A2的坐标为(-5,-2),则点B的对应点的坐标是　　　　;
(3)将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°,直接写出旋转后点A的对应点的坐标;
(4)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标:　　　　.
知识点3　中心对称图形及其性质
6.【新独家原创】下列说法错误的是(　　)
A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点
B.中心对称图形一定有对称轴
C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分
D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形的面积平分
7.(2023广西玉林月考)如图,直线a垂直b于点O,曲线C为以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2,则阴影部分的面积为　　　　　.
能力提升全练
8.【数学文化】(2023浙江湖州期中,2,★☆☆)下面的图形是用数学家名字命名的,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　　)
A.赵爽弦图　B.笛卡儿心形线
C.科克曲线　D.斐波那契螺旋线
9.(2020江苏淮安中考,5,★☆☆)在平面直角坐标系中,点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(　　)
A.(2,3)　 B.(-3,2)　
C.(-3,-2)　D.(-2,-3)
10.(2023河北衡水二模,8,★☆☆)三个全等的等边三角形按图1所示的位置摆放,现添加一个完全相同的等边三角形,使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图2),则添加的等边三角形所放置的位置是(　　)
图1　　图2
A.①　B.②
C.③　D.④
11.(2023安徽六安月考,11,★☆☆)若点M(a+1,2b-3)与点N(2a+1,b-1)关于原点对称,则a-b=　　　　.
12.(2022贵州黔西南州期中,16,★☆☆)如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,有以下结论:①点A与点A'是对称点;②BO=B'O;③AB∥A'B';④∠ACB=∠C'A'B',其中正确结论的个数为　　　　.
13.(2023江苏苏州月考,22,★☆☆)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在格点上.请解答下列问题:
(1)将△ABC向左平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,画出平移后的△A1B1C1;
(2)将△DEF绕D点逆时针旋转90°,画出旋转后的△DE1F1;
(3)△A1B1C1与△DE1F1是否关于某点成中心对称 若是,画出对称中心M.
14.【新考法】(2022吉林中考模拟,19,★★☆)图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,各图中已有两个小等边三角形涂上了灰色.
(1)在图①中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为轴对称图形,但不是中心对称图形;
(2)在图②中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形为中心对称图形,但不是轴对称图形;
(3)在图③中,再涂灰两个小等边三角形,使得整个涂色部分图形既是中心对称图形,又是轴对称图形.
图①
图②
图③
素养探究全练
15.【推理能力】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图①,在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD长的取值范围.小明在组内经过交流合作,得到了如下的解决方法:延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系可得2<AE<8,则1<AD<4.
感悟　解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
根据上述信息,请你解决下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF>EF;
(2)在(1)的条件下,若∠A=90°,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
答案全解全析
基础过关全练
1.D　选项A,两图形间的变换是平移变换;选项B,两图形成轴对称;选项C,两图形间的变换是旋转变换,旋转的角度不为180°,不是中心对称;选项D,两图形成中心对称.故选D.
2.D　AO=EO,BO=DO,但不能确定AO=BO,BO=EO,故A、B不符合题意;
C.点A关于点O的对称点是点E,故本选项不符合题意;D.点D在BO的延长线上,故本选项符合题意,
故选D.
3.答案　5
解析　∵△DEC与△ABC关于点C成中心对称,∴△DEC≌△ABC,∴∠D=∠BAC=90°,DC=AC=,DE=AB=4,∴AD=3.在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2=42+32=25,∴AE=5.
4.解析　如图,△A'B'C'即为所作.
5.解析　(1)如图,△A1B1C1即为所作.
(2)如图,∵点A(-3,2)经过平移后得到点A2(-5,-2),∴△ABC的平移方式为向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度.
点B(-1,4)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度后的对应点坐标为(-3,0).
故答案为(-3,0).
(3)如图,△A'B'C'是△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°后得到的图形,∴旋转后点A的对应点的坐标为(2,3).
(4)如图,A1(3,-2),A2(-5,-2),C1(0,-2),C2(-2,-2),连接B1B2,C1C2,分别作B1B2和C1C2的垂直平分线,
∵旋转中心为线段B1B2和线段C1C2的垂直平分线的交点,∴旋转中心的坐标为(-1,-2).
故答案为(-1,-2).
6.B　A.线段是中心对称图形,对称中心是线段中点,故A中说法正确;
B.中心对称图形不一定是轴对称图形,所以不一定有对称轴,故B中说法错误;
C.中心对称图形上任意一对对应点连线都经过对称中心,且被对称中心平分,故C中说法正确;
D.过对称中心的任意一条直线,将中心对称图形分成能互相重合的两部分,因此这两部分的面积相等,故D中说法正确.故选B.
7.答案　6
解析　如图,作AE⊥b于点E,则四边形ABOE为长方形.
∵曲线C是以点O为对称中心的中心对称图形,点A的对称点是A',A'D⊥b,
∴图形①与图形②面积相等,
∴阴影部分的面积=长方形ABOE的面积=3×2=6.
故答案为6.
能力提升全练
8.C　A.不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项错误;B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;C.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故此选项正确;D.既不是轴对称图形,又不是中心对称图形,故此选项错误,故选C.
9.C　点(3,2)关于原点对称的点的坐标是(-3,-2),故选C.
10.D　将等边三角形放置在④的位置,可得中心对称图形,故选D.
11.答案　-2
解析　∵点M(a+1,2b-3)与点N(2a+1,b-1)关于原点对称,∴a+1+2a+1=0,2b-3+b-1=0,∴3a+2=0,3b-4=0,∴3a-3b+6=0,∴a-b=-2.故答案为-2.
12.答案　3
解析　∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,
∴点A与点A'是对称点,BO=B'O,AB∥A'B',
故①②③正确,根据已知条件无法证明∠ACB=∠C'A'B',故④错误,故答案为3.
13.解析　(1)如图,△A1B1C1即为所求作.
(2)如图,△DE1F1即为所求作.
(3)△A1B1C1与△DE1F1关于某点成中心对称.点M如图所示.
14.解析　答案不唯一,根据轴对称和中心对称定义作图即可.
(1)如图①所示,整个涂色部分图形是轴对称图形,但不是中心对称图形.
(2)如图②所示,整个涂色部分图形是中心对称图形,但不是轴对称图形.
(3)如图③所示,整个涂色部分图形既是轴对称图形,又是中心对称图形.
图①
图②
图③
素养探究全练
15.解析　(1)证明:如图,延长FD到点G,使得DG=DF,连接BG、EG(或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD,连接EG),易知△CFD≌△BGD,
∴CF=BG,∵DE⊥DF,DF=DG,∴EF=EG.在△BEG中,BE+BG>EG,∴BE+CF>EF.
(2)BE2+CF2=EF2.证明:若∠A=90°,则∠EBC+∠FCB=90°,∵∠FCD=∠DBG,∴∠EBC+∠DBG=90°,即∠EBG=90°,∵在Rt△EBG中,BE2+BG2=EG2,EF=EG,BG=FC,∴BE2+CF2=EF2.