第五章 分式与分式方程
4 分式方程
基础过关全练
知识点1 分式方程的概念
1.(2022河南郸城第二实验中学月考)关于x的方程:
①=4中,
是分式方程有 (填序号).
知识点2 解分式方程
2.关于x的分式方程=1的解为x=4,则m的值为( )
A.-2 B.2 C.-1 D.1
3.(2023山西大同一模)解分式方程时,去分母正确的是( )
A.1-2(x-2)=1+x B.1-2(x-2)=-1+x
C.1-2(x-2)=-1-x D.-1-2(x-2)=1+x
4.(2023甘肃武威中考)方程的解为( )
A.x=-2 B.x=2
C.x=-4 D.x=4
5.已知关于x的分式方程的解是负数,那么m的取值范围是( )
A.m6且m≠9
C.m>3 D.m>6
6.【一题多变】(2022安徽合肥瑶海期末)若关于x的分式方程有增根,则m= .
[变式]若关于x的分式方程无解,则m= .
7.(2022江苏无锡江阴期末)解方程:
(1)=1.
知识点3 列分式方程解决实际问题
8.【爱国主义教育】(2023安徽阜阳统考)学校在清明节组织了部分团员到烈士陵园去扫墓,上午8点大部分同学和老师骑自行车先行,40 min后,两位老师和两位同学乘坐携带花篮的小汽车后行(行驶路线相同).已知小汽车的速度是自行车速度的3倍,学校与烈士陵园相距15 km,结果小汽车早20 min到达烈士陵园.设自行车的速度为x km/h,则下列所列方程正确的是( )
A.=40+20
C.
9.【教材变式·P129例3】为参加县中学生田径运动会,学校运动队购买了一批数量相等的氢气球(个)和彩带(条),其中购买氢气球用了40元,购买彩带用了35元.已知每个氢气球比每条彩带贵0.5元,求每个氢气球和每条彩带各多少元.
10.【爱国主义教育】(2023四川乐山中考)为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时,由于志愿者的加入,实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务,则原计划每天种植梨树多少棵
11.(2022湖南永州冷水滩月考)某广场筹建之初的一项挖土工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,每施工一天,需付甲工程队工程款2.4万元,付乙工程队工程款1.8万元,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:
方案一:甲队单独完成这项工程,刚好按规定工期完成;
方案二:乙队单独完成这项工程要比规定工期多用6天;
方案三:若由甲、乙两队合作做5天,剩下的工程由乙队单独做,也正好按规定工期完工.
(1)求出完成这项工程的规定时间;
(2)如果你是工程领导小组的组长,为了节省工程款,同时又能如期完工,你将选择哪一种方案 说明理由.
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12.【换元法】(2023上海中考,2,★☆☆)在分式方程=5中,设=y,则可得到关于y的整式方程为( )
A.y2+5y+5=0 B.y2-5y+5=0
C.y2+5y+1=0 D.y2-5y+1=0
13.【跨学科·语文】(2023云南中考,11,★★☆)阅读,正如一束阳光.孩子们无论在哪儿,都可以感受到阳光的照耀,都可以通过阅读触及更广阔的世界.某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发,参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍,乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设乙同学的速度是x米/分钟,则下列方程正确的是( )
A.=4
B.=4
C.=4
D.=4
14.(2022重庆中考A卷,11,★★★)若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤-2,且关于y的分式方程-2的解是负整数,则所有满足条件的整数a的值之和是( )
A.-26 B.-24
C.-15 D.-13
15.【新考法】(2023河北中考,18,★★☆)根据下表中的数据,可知a的值为 ,b的值为 .
x结果代数式 2 n
3x+1 7 b
a 1
16.【跨学科·体育与健康】(2022山东菏泽中考,19,★★☆)某健身器材店计划购买一批篮球和排球,已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍,若用3 600元购进篮球的数量比用3 200元购进排球的数量少10个.
(1)篮球、排球的进价分别为每个多少元
(2)该健身器材店决定用不多于28 000元购进篮球和排球共300个进行销售,则最多可以购买多少个篮球
17.(2023四川德阳中考,23,★★★)2022年8月27日至29日,以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行.大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题,着力实现会展聚集带动产业聚集.其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区,规划面积4.82平方千米,计划2025年基本建成.若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程,已知该项工程由甲工程队单独施工需要18个月完成,若由乙工程队先单独施工2个月,再由甲、乙两工程队合作施工10个月也恰好完成.承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元,向乙工程队支付施工费用5万元.
(1)乙工程队单独完成这项工程需要几个月
(2)为保证该工程在两年内完工,且尽可能减少成本,承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工,并将该工程分成两部分,甲工程队完成其中一部分工程用了a个月,乙工程队完成另一部分工程用了b个月,已知甲工程队施工时间不超过6个月,乙工程队施工时间不超过24个月,且a,b均为正整数,则甲、乙两工程队实际施工的时间安排有几种方案 哪种方案所支付的费用最低
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18.【运算能力】(2023河北保定十七中期末)阅读材料:对于非零实数a,b,若关于x的分式的值为零,则x1=a,x2=b,又因为-(a+b),所以关于x的方程x+=a+b的解为x1=a,x2=b.
(1)理解应用:方程的解为x1= ,x2= ;
(2)知识迁移:若关于x的方程x+=7的解为x1=a,x2=b,求a2+b2的值;
(3)拓展提升:若关于x的方程=k-x的解为x1=t+1,x2=t2+2,求k2-4k+4t3的值.
19.【模型观念】(2022湖南怀化中考)去年防洪期间,某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣(单位:件)和雨鞋(单位:双),其中购买雨衣用了400元,购买雨鞋用了350元,已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元.
(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元.
(2)为支持今年防洪工作,该超市今年的雨衣和雨鞋的单价在去年的基础上均下降了20%,并按套(一件雨衣和一双雨鞋为一套)优惠销售.优惠方案:若一次购买不超过5套,则每套打九折;若一次购买超过5套,则前5套打九折,超过部分每套打八折.设今年该部门购买了a套,购买费用为W元,请写出W关于a的函数关系式.
(3)在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时,最多可购买多少套
答案全解全析
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1.②④⑤
解析 根据分式方程的定义可知②④⑤是分式方程.
2.D 将x=4代入=1中得,=1,解得m=1,故选D.
3.C 等式两边同时乘(x-2)得,1-2(x-2)=-(1+x),即1-2(x-2)=-1-x,故选C.
4.A 去分母得2(x+1)=x,解得x=-2,经检验,x=-2是原方程的解,故选A.
5.D 去分母得x=2(x-3)+m,解得x=6-m,∵x≠3,∴m≠3,∵的解为负数,∴6-m6,故选D.
6.-2
解析 去分母,得x-3=2(x-1)+m,
由分式方程有增根,得x-1=0,∴x=1,
把x=1代入x-3=2(x-1)+m,得1-3=2×(1-1)+m,解得m=-2.故答案为-2.
[变式] 答案 -2或
解析 去分母,得x-3=2m(x-1)+m①,
(1)当分式方程有增根时,此分式方程无解,此时x=1,
把x=1代入①,得1-3=m,解得m=-2;
(2)将①整理得(2m-1)x=m-3,
当2m-1=0,即m=时,①无解,即分式方程无解.
综上,当m=-2或时,原分式方程无解.
7.解析 (1)去分母得2x=5(x+3),
解得x=-5,
检验:把x=-5代入x(x+3),得x(x+3)=-5×(-5+3)=10≠0,
∴分式方程的解为x=-5.
(2)去分母得(x+1)2-4=x2-1,
解得x=1,
检验:把x=1代入x2-1,得x2-1=0,
∴x=1是增根,故分式方程无解.
8.C ∵自行车的速度为x km/h,∴小汽车的速度为3x km/h,由题意可得,故选C.
9.解析 设每条彩带x元,则每个氢气球(x+0.5)元,
根据题意,得,
解得x=3.5.
经检验,x=3.5是所列方程的解,且符合题意.
所以x+0.5=4.
答:每条彩带3.5元,每个氢气球4元.
10.解析 设原计划每天种植梨树x棵,
由题意可知=2,
解得x=500,
经检验,x=500是原方程的解,且符合题意.
答:原计划每天种植梨树500棵.
11.解析 (1)设完成这项工程的规定时间为x天,则甲工程队需x天完成这项工程,乙工程队需(x+6)天完成这项工程,
根据题意得5×=1,
解得x=30,
经检验,x=30是原方程的解,且符合题意.
答:完成这项工程的规定时间为30天.
(2)选择方案三.理由如下:
方案一需付工程款:2.4×30=72(万元);
方案二不能如期完工,不符合题意;
方案三需付工程款:2.4×5+1.8×30=66(万元).
∵72>66,∴选择方案三.
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12.D ∵=y,∴原方程可变形为y+=5,去分母得y2+1=5y,即y2-5y+1=0.故选D.
13.D ∵乙同学的速度是x米/分钟,∴甲同学的速度为1.2x米/分钟,根据题意得=4.故选D.
14.D 解不等式①得x≤-2,解不等式②得x-2,解得a>-11,解方程-2得y=,∵-2的解是负整数,且y≠-1,∴a-11,∴a=-8或a=-5,故满足条件的整数a的值之和是-8-5=-13,故选D.
15.;-2
解析 当x=n时,3x+1=b,即3n+1=b,当x=2时,=a,即a=,当x=n时,=1,即=1,解得n=-1,经检验,n=-1是分式方程的解,∴b=3×(-1)+1=-2.故答案为;-2.
16.解析 (1)设每个排球的进价为x元,则每个篮球的进价为1.5x元,
根据题意得-10,解得x=80,
经检验,x=80是原分式方程的解,且符合题意.
∴1.5x=120.
答:每个篮球的进价为120元,每个排球的进价为80元.
(2)设该健身器材店购进篮球a个,则购进排球(300-a)个,
根据题意,得120a+80(300-a)≤28 000,
解得a≤100.
答:该健身器材店最多可以购进篮球100个.
17.解析 (1)设乙工程队单独完成这个工程需要x个月,则=1,解得x=27,
经检验,x=27是原方程的解,且符合题意.
答:乙工程队单独完成这项工程需要27个月.
(2)由题意可得=1,∴3a+2b=54,∴a=18-b,
∵a≤6,b≤24,∴解得18≤b≤24,
∵a,b都为正整数,∴b为3的倍数,
∴
∴甲、乙两工程队实际施工的时间安排有3种方案.
方案①:安排甲工程队工作6个月,乙工程队工作18个月,所需费用为6×8+18×5=138(万元);
方案②:安排甲工程队工作4个月,乙工程队工作21个月,所需费用为4×8+21×5=137(万元);
方案③:安排甲工程队工作2个月,乙工程队工作24个月,所需费用为2×8+24×5=136(万元).
∵136<137<138,
∴安排甲工程队工作2个月,乙工程队工作24个月,所需支付的费用最低,为136万元.
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18.解析 (1)∵x+=a+b的解为x1=a,x2=b,
∴的解为x=5或x=.
故答案为5;.
(2)∵方程x+=7的解为x1=a,x2=b,
∴a+b=7,ab=3,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=49-6=43.
(3)方程=k-x可变形为x-1+=k-1,
设y=x-1,则y+=k-1,
∴y1·y2=6,y1+y2=k-1,y1=x1-1,y2=x2-1,
∵x1=t+1,x2=t2+2,∴y1=t+1-1=t,y2=t2+2-1=t2+1,
∴t(t2+1)=6,t+t2+1=k-1,
∴k=t+t2+2,t3+t=6,
∴k2-4k+4t3
=k(k-4)+4t3
=(t+t2+2)(t+t2-2)+4t3
=t4+6t3+t2-4
=t(t3+t)+6t3-4
=6t+6t3-4
=6(t3+t)-4
=6×6-4
=32.
19.解析 (1)设每双雨鞋x元,则每件雨衣(x+5)元,由题意得,解得x=35,经检验,x=35是原分式方程的根,且符合题意.
∴x+5=40.
答:每件雨衣40元,每双雨鞋35元.
(2)当0≤a≤5时,W=(35+40)×(1-20%)×0.9a=54a,
当a>5时,
W=(35+40)×(1-20%)×0.9×5+(35+40)×(1-20%)×0.8×(a-5)=48a+30.
综上,W=
(3)∵320>54×5,∴购买的套数可超过5,
∴48a+30≤320,解得a≤≈6.042.
答:在(2)的情况下,今年该部门购买费用不超过320元时,最多可购买6套.
