北师大版数学八年级下册4.2 提公因式法 素养提升练习（含解析）

第四章　因式分解
2　提公因式法
基础过关全练
知识点1　公因式　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2022重庆南岸阶段练)单项式3x2y3,9x2y2,6xy2的公因式是(　　)
A.3xy　　　　 B.xy C.3x2y2　　　　D.3xy2
2.把多项式6a2b-3ab2+12a2b2分解因式,应提取的公因式是(　　)
A.ab　　　 　B.3ab2 C.3ab　　　 　D.12a2b2
知识点2　提公因式法分解因式
3.(2023湖南邵阳期中)把a3-4a2分解因式,正确的是(　　)
A.a(a2-4a)　　 　　B.a2(a-4)
C.a(a+2)(a-2)　　　　D.a2(a+4)
4.把多项式-6x2-9x分解因式,结果正确的是(　　)
A.-3(2x2+3x)　　　　B.-3(2x2-3x)
C.-3x(2x-3)　　 　　D.-3x(2x+3)
5.分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是(　　)
A.(x-3)(b2+b)　　　　B.b(x-3)(b+1)
C.(x-3)(b2-b)　　　 　D.b(x-3)(b-1)
6.(2023安徽滁州月考)把-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)分解因式,正确的结果是(　　)
A.(x-y)(-a-b+c)　　　　B.(y-x)(a-b-c)
C.-(x-y)(a+b+c)　　　　D.-(y-x)(a+b-c)
7.(2023浙江温州中考)分解因式:2a2-2a=　　　　.
8.(2023安徽黄山一模)分解因式:-6x2y+9xy3-3xy=　　　　.
9.【新独家原创】若2x2+ax可因式分解为2x(x-2),则常数a为　　　　.
10.分解因式.
(1)21xy-14xz+35x2; (2)15xy+10x2-5x;
(3)(2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b); (4)(x-2)2-x+2;
(5)a2(x-2a)2-a(2a-x)2; (6)15b(2a-b)2+25(b-2a)3.
11.【新考法】张老师出了这样一道题目:把多项式3(x-y)3-(y-x)2分解因式,并请甲、乙两名同学在黑板上演算.
甲演算的过程:
3(x-y)3-(y-x)2=3(x-y)3+(x-y)2=(x-y)2·[3(x-y)+1]=(x-y)2(3x-3y).
乙演算的过程:
3(x-y)3-(y-x)2=3(x-y)3-(x-y)2=(x-y)2·(3x-3y).
他们的计算正确吗 若不正确,请你写出正确答案.
能力提升全练
12.(2023陕西西安长安一中第一次月考,6,★★☆)已知ab=2,a-2b=3,则4ab2-2a2b的值是(　　)
A.6　　　　B.-6　　　　C.12　　　　D.-12
13.(2022辽宁本溪期中,13,★☆☆)计算:4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=　　　　.
14.(2023四川凉山州中考,19,★★★)已知x2-2x-1=0,则3x3-10x2+5x+
2 027的值等于　　　　.
15.(2022辽宁本溪期中,21,★☆☆)因式分解:
(1)-24x3+12x2-28x;
(2)6(m-n)3-12(m-n)2.
16.(2022江西萍乡湘东期中,15,★★☆)因式分解:
(1)a(m-n)+b(n-m);
(2)(a-3)2+2a-6.
素养探究全练
17.【应用意识】阅读理解:把多项式am+an+bm+bn分解因式.
解法一:am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=
(m+n)(a+b).
解法二:am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=
(m+n)(a+b).
根据阅读理解的内容,回答问题.
(1)分解因式:m2x-3m+mnx-3n;
(2)已知a,b,c为△ABC的三边长,且a3-a2b+5ac-5bc=0,试判断△ABC的形状.
18.【运算能力】如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12 321,从最高位到个位依次排出的一串数字是1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是1,2,3,2,1,因此12 321是一个“和谐数”.再如22,545,3 883,345 543,……,都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”,任意一个四位“和谐数”都能被11整除吗 说明理由.
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字为x(1≤x≤4,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x之间的函数关系式.
答案全解全析
基础过关全练
1.D　∵3,9,6的最大公约数为3,共有字母x,y的最低次数分别为1,2,∴3x2y3,9x2y2,6xy2的公因式为3xy2.故选D.
2.C　∵6,3,12的最大公约数为3,共有字母a,b的最低次数均为1,∴把多项式6a2b-3ab2+12a2b2分解因式,应提取的公因式是3ab.故选C.
3.B　a3-4a2=a2(a-4),故选B.
4.D　-6x2-9x=-3x(2x+3),故选D.
5.B　b2(x-3)+b(x-3)=b(x-3)(b+1).故选B.
6.B　-a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)=(x-y)(-a+b+c)=(y-x)(a-b-c),故选B.
7.2a(a-1)
解析　2a2-2a=2a(a-1).故答案为2a(a-1).
8.-3xy(2x-3y2+1)
解析　-6x2y+9xy3-3xy=-3xy(2x-3y2+1).故答案为-3xy(2x-3y2+1).
9.-4
解析　∵2x(x-2)=2x2-4x=2x2+ax,∴a=-4.故答案为-4.
10.解析　(1)21xy-14xz+35x2=7x(3y-2z+5x).
(2)15xy+10x2-5x=5x(3y+2x-1).
(3)(2a+b)(3a-2b)-4a(2a+b)
=(2a+b)(3a-2b-4a)
=(2a+b)(-a-2b)
=-(2a+b)(a+2b).
(4)(x-2)2-x+2=(x-2)2-(x-2)=(x-2)(x-2-1)
=(x-2)(x-3).
(5)a2(x-2a)2-a(2a-x)2=a(x-2a)2(a-1).
(6)15b(2a-b)2+25(b-2a)3
=15b(b-2a)2+25(b-2a)3
=5(b-2a)2[3b+5(b-2a)]
=5(b-2a)2(8b-10a)
=10(b-2a)2(4b-5a).
11.解析　不正确.正确的过程如下:
3(x-y)3-(y-x)2
=3(x-y)3-(x-y)2
=(x-y)2[3(x-y)-1]
=(x-y)2(3x-3y-1).
能力提升全练
12.D　∵a-2b=3,∴2b-a=-3,∴4ab2-2a2b=2ab(2b-a)=2×2×(-3)=-12.故选D.
13.2 022
解析　4.3×202.2+7.6×202.2-1.9×202.2=202.2×(4.3+7.6-1.9)=202.2×10=2 022.
14.2 023
解析　由x2-2x-1=0得x2=2x+1,x2-2x=1,
∴3x3-10x2+5x+2 027
=3x(2x+1)-10x2+5x+2 027
=6x2+3x-10x2+5x+2 027
=-4x2+8x+2 027
=-4(x2-2x)+2 027
=-4×1+2 027
=2 023,
故答案为2 023.
15.解析　(1)原式=-4x(6x2-3x+7).
(2)原式=6(m-n)2(m-n-2).
16.解析　(1)原式=a(m-n)-b(m-n)=(a-b)(m-n).
(2)原式=(a-3)2+2(a-3)=(a-3)(a-3+2)
=(a-3)(a-1).
素养探究全练
17.解析　(1)原式=m(mx-3)+n(mx-3)
=(mx-3)(m+n).
(2)∵a3-a2b+5ac-5bc=0,
∴a2(a-b)+5c(a-b)=0,
∴(a-b)(a2+5c)=0,
∵a,b,c为△ABC的三边长,
∴a2+5c≠0,∴a-b=0,∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
18.解析　(1)任意写出3个四位“和谐数”即可,如:2 552,1 881,6 336.(答案不唯一,只要千位上的数字与个位上的数字相同,百位上的数字与十位上的数字相同即可).
任意一个四位“和谐数”都能被11整除.
理由:设一个四位“和谐数”个位上的数字为a(1≤a≤9且a为自然数),十位上的数字为b(0≤b≤9且b为自然数),则这个四位“和谐数”可表示为1 000a+100b+10b+a.∵1 000a+100b+10b+a=1 001a+110b=11×91a+11×10b=11(91a+10b).
∴1 000a+100b+10b+a能被11整除,
即任意一个四位“和谐数”都能被11整除.
(2)∵三位“和谐数”的个位上的数字为x,十位上的数字为y,
∴这个三位“和谐数”可表示为100x+10y+x.
∵100x+10y+x=99x+11y+2x-y=11×(9x+y)+(2x-y),这个三位“和谐数”能被11 整除,且x,y是自然数,
∴2x-y能被11整除,∵1≤x≤4,0≤y≤9,∴2x-y=0,
∴y与x之间的函数关系式为y=2x(1≤x≤4且x为自然数).