北师大版数学八年级下册1.1.1三角形的全等与等腰(等边)三角形的性质 素养提升练习（含解析）

第一章　三角形的证明
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
掌握并应用全等三角形的判定 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;三边分别相等的两个三角形全等.证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【P65】
通过实例了解反证法 通过实例体会反证法的含义【P68】
证明并掌握等腰三角形的性质定理和判定定理 探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形【P65】
探索并证明等边三角形的性质定理和判定定理 探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形【P65】
证明并应用直角三角形的性质定理和判定定理 探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题【P65,P66】
掌握并应用判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理【P66】
了解逆命题的概念,能识别两个互逆的命题 了解原命题及其逆命题的概念,会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立【P67】
证明并应用线段垂直平分线的性质定理和判定定理 探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上【P65】
证明并应用角平分线的性质定理和判定定理 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上【P65】
1　等腰三角形
第一课时　三角形的全等与等腰(等边)三角形的性质
基础过关全练
知识点1　全等三角形的性质和判定　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图,△ABC≌△DEC,点E在线段AB上,若∠AED+∠BCE=52°,则∠ACD的度数为(　　)
A.25°　　　　B.26°　　　　C.27°　　　　D.28°
2.【新考向·开放性试题】如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件:　　　　,使得△ABC≌△DEF.
3.(2023四川宜宾中考)已知:如图,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
知识点2　等腰三角形的性质定理及其推论
4.【一题多变·已知等腰三角形的两边,求周长】(2023广东深圳第一次调研)已知等腰三角形的两条边长分别为4和8,则它的周长为(　　)
A.16　　　　B.20 C.16或20　　　　D.14
[变式·已知周长,确定边长](2023辽宁本溪十二中第一次月考)等腰△ABC中,AC=2BC,周长为60,则BC的长为(　　)
A.15　　　　 B.12 C.15或12　　　　D.以上都不正确
5.【一题多解】(2022山西吕梁期末)如图,△ABC中,AC=BC,CD⊥AB,点E,F,G是CD上任意三点,若AB=3,CD=4,则图中阴影部分的面积为(　　)
A.12　　　　B.6　　　　C.3　　　　D.1.5
6.【新独家原创】如图,AB=AC,∠C=65°,直线l1∥l2,∠1=20°,则∠2=　　　　°.
7.【教材变式·P7T1】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上(不与点A,点C重合),连接BD,BD=AB.
(1)当∠CBD=30°时,求∠ABD的度数;
(2)若AB=5,BC=6,求AD的长.
知识点3　等边三角形的性质定理
8.如图,过等边△ABC的顶点A作射线,若∠1=20°,则∠2的度数是(　　)
A.100°　　　　B.80°　　　　C.60°　　　　D.40°
9.如图,等边△ABC的边长为1 cm,D、E分别是AB、AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A'处,且点A'在△ABC外部,则阴影部分的周长为　　　　cm.
【一线三等角模型】(2023广东深圳联考期中)如图,△ABC为等边三角形,点D为BC边上一点,先将三角板60°角的顶点与D点重合,平放三角板,再绕点D转动三角板,三角板60°角的两边分别与边AB、AC交于点E、点F,当DE=DF时,如图2所示.求证:△BDE≌△CFD.
11.如图,在等边三角形ABC中,AE=CD,AD、BE交于点P,BQ⊥AD于点Q,求∠PBQ的度数.
12.如图,在等边△ABC中,AB=12 cm,现有M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边按顺时针方向运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次回到B点时,M,N同时停止运动,设运动时间为t(s).
(1)当t为何值时,M,N两点重合 两点重合在什么位置
(2)【分类讨论思想】当点M,N在BC边上运动时,是否存在AM=AN的时刻 若存在,请求出此时点M,N运动的时间;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
基础过关全练
B　∵△ABC≌△DEC,∴∠ABC=∠DEC,∠ACB=∠DCE,
∴∠ACD=∠BCE.∵∠AED+∠DEC+∠CEB=180°,∠CEB+
∠ABC+∠BCE=180°,∴∠AED=∠BCE.∵∠AED+∠BCE=52°,
∴∠AED=∠BCE=×52°=26°.∴∠ACD=∠BCE=26°.
2.AB=DE(答案不唯一)
解析　由已知条件可以得到两组角对应相等,只需添加一组边对应相等即可证得△ABC≌△DEF,如添加AB=DE(答案不唯一).
3.证明　∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
∵AF=DC,∴AF+CF=DC+CF,即AC=DF,
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS),∴∠B=∠E.
4.B　当4为腰长,8为底边长时,4+4=8,不能构成三角形,故4不能为腰长;当4为底边长,8为腰长时,三角形的三边长分别为4,8,8,能构成三角形,此时三角形的周长为4+8+8=20.综上可知,该等腰三角形的周长为20.故选B.
[变式]　B　当AC=AB时,2BC+2BC+BC=60,则BC=12;当BC=AB时,∵AC=2BC,∴BC+AB=AC,此时不能构成三角形.故选B.
C　解法一(面积法):∵AC=BC,CD⊥AB,∴AD=BD,
∵S△ACE=CE·AD,S△BCE=CE·BD,∴S△ACE=S△BCE,
同理可得S△AEF=S△BEF,S△AFG=S△BFG,S△AGD=S△BDG,
∴S阴影=S△ABC=×3×4=3,故选C.
解法二(对称性):根据等腰三角形的对称性可得阴影部分的面积等于△ABC面积的一半,即S阴影=×3×4=3.故选C.
6.70
解析　∵AB=AC,∴∠B=∠C=65°,∴∠A=180°-∠B-∠C=50°,∵l1∥l2,∴∠3=∠1=20°,∴∠2=∠3+∠A=70°.
7.解析　(1)设∠ABD=x°,∵AB=AC,∠CBD=30°,
∴∠ABC=∠C=(x+30)°,∴∠ADB=∠CBD+∠C=30°+(x+30)°=x°+60°,∵BD=AB,∴∠ADB=∠BAC=(x+60)°,在△ABD中,∠BAD+∠ADB+∠ABD=180°,∴(x+60)+(x+60)+x=180,解得x=20,即∠ABD=20°.
(2)如图,过点B作BM⊥AC于点M,
易知AB=AC=BD=5,设AM=m,则CM=5-m,∵BM⊥AC,BD=AB,
∴AD=2AM=2m,
∵在Rt△ABM与Rt△CBM中,BM2=AB2-AM2=BC2-CM2,
∴52-m2=62-(5-m)2,∴m=,∴AD=2m=.
8.A　∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠1=20°,∴∠3=180°-∠1-∠B=180°-20°-60°=100°,∴∠2=100°.故选A.
9.3
解析　将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A'处,所以AD=A'D,AE=A'E,则阴影部分的周长=BC+BD+CE+A'D+A'E=
BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC=3 cm.
10.证明　∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°,
∵∠BDF=∠BDE+∠EDF=∠CFD+∠C,∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠CFD,
在△BDE和△CFD中,
∴△BDE≌△CFD(AAS).
模型解读　本题属于同侧一线三等角模型,根据等量代换得到一组等角,再用“ASA”或“AAS”判定三角形全等.
11.解析　∵△ABC为等边三角形,
∴AC=BC=AB,∠C=∠BAC=60°.
在△ACD和△BAE中,
∴△ACD≌△BAE,∴∠CAD=∠ABE.
∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°,
∴∠ABE+∠BAP=60°,∴∠BPQ=60°.
∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°,∴∠PBQ=90°-60°=30°.
12.解析　(1)由题意得t×1+12=2t,解得t=12,
∴当t=12时,M,N两点重合,
此时两点在点C处重合.
(2)当点M、N在BC边上运动时,存在AM=AN的时刻.
①由(1)知,12秒时M、N两点在点C处重合,即AM=AN.
②如图,假设AN=AM,
则∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵△ACB是等边三角形,
∴∠C=∠B,AC=AB,在△ACM和△ABN中,
∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,
当点M、N在BC边上运动时,
CM=(t-12)cm,NB=(36-2t)cm,
∵CM=NB,∴t-12=36-2t,解得t=16.
∴当点M、N在BC边上运动,且运动时间为12秒或16秒时,AM=AN.