浙教版数学八年级下册5.2.1菱形的性质素 养提升练习（含解析）

第5章　特殊平行四边形
5.2　菱形
第1课时　菱形的性质
基础过关全练
知识点1　菱形的定义
1.【新独家原创】【新考法】如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,过点E作AB的平行线,交AD于点F,求证:四边形ABEF是菱形.(先补全图形,再解答)
2. 如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD为菱形.
知识点2　菱形的性质
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,∠1=∠2,AB=6,则AB+BC=(　　)
A.3　B.6　C.12　D.24
　
4.(2022浙江宁波鄞州期末)已知菱形ABCD的对角线AC=2,BD=4,则菱形ABCD的面积是(　　)
A.4　B.6　C.8　D.12
5.【一题多解】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠OAB=30°,则∠CBD=　　　　°.
6.【一题多变·已知菱形一对角线长与一边长,求菱形面积】如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=8,AD=5,则菱形ABCD的面积等于　　　　.
[变式1·已知菱形对角线一半的长,求菱形面积]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中OA=1,OB=2,则菱形ABCD的面积为　　　　.
变式1图 变式2图
[变式2·已知菱形邻边中点连线长,求菱形面积]如图,菱形ABCD中,点E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,EF=2,FG=4,则菱形ABCD的面积为　　　　.
7.【一题多变·对角线交点在原点,求点的坐标】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD对角线的交点与坐标原点O重合,菱形的边长为2,∠DAB=60°,则点A的坐标为　　　　.
[变式1·一顶点在原点,求点的坐标]如图,菱形OABC的边OA在平面直角坐标系中的x轴上,∠AOC=60°,OA=4,则点C的坐标为　　　　.
　　
[变式2·三个顶点在坐标轴上,求点的坐标]如图,四边形ABCD为菱形,点A(-3,0),点D(0,4),点B在x轴的正半轴上,则点C的坐标为　　　　.
8.【教材变式·P119例1】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=BD=4,求AC的长.
能力提升全练
9.【含60°角的菱形】(2023浙江丽水中考,7,★★☆)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB= 60°,则AC 的长为(　　)
A.　B.1　C.　D.
　
10.(2023浙江杭州外国语学校期中,5,★★☆)如图,菱形ABCD中,边CD的垂直平分线交对角线BD于点E,交CD于点F,连结AE.若∠ABC=50°,则∠AEB的度数为(　　)
A.30°　B.40°　C.50°　D.60°
11.【易错题】(2023浙江绍兴中考,14,★★☆)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=40°,连结AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,交直线AD于点E,连结CE,则∠AEC的度数是　　　　.
12.(2022浙江金华中考改编,24(1),★★☆)如图,在菱形ABCD中,点E从点B出发沿BC方向向终点C运动.过点E作EF⊥BC交AB于点F,在EF的右侧作矩形EFGH,若点G在AC上,求证:FA=FG.
素养探究全练
13.【几何直观】(2022浙江宁波中考)图1,图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,线段AB的端点均在格点上,分别按要求画出图形.
(1)在图1中画出等腰三角形ABC,且点C在格点上;(画出一个即可)
(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABDE,且点D、E均在格点上.
图1　图2
第5章　特殊平行四边形
5.2　菱形
第1课时　菱形的性质
答案全解全析
基础过关全练
1.证明　如图,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠1=∠2.
∵EF∥AB,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AE平分∠BAD,∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3,∴AB=BE.
∴四边形ABEF是菱形.
2.证明　∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA,
∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC,
∴∠BCA=∠BAC,
∴AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形.
3.C　∵在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠1=∠2,∴AD=AB=6.
∴四边形ABCD是菱形.
∴BC=AB=6,∴AB+BC=12.
4.A　∵菱形ABCD中,AC=2,BD=4,∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×2×4=4,故选A.
5.答案　60
解析　解法一:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC平分∠BAD,BD平分∠ABC,AD∥BC.
∴∠BAD=2∠OAB,∠ABC=2∠CBD,∠BAD+∠ABC=180°.
∵∠OAB=30°,∴∠BAD=2∠OAB=60°.
∴∠ABC=120°.
∴∠CBD=60°.
解法二:∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BD平分∠ABC,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠CBD=∠OBA,
∵∠OAB=30°,∴∠OBA=60°,
∴∠CBD=60°.
6.答案　24
解析　∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO=4,
∴OA===3,
∴AC=2OA=6,
∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×8=24.
[变式1]答案　4
解析　∵四边形ABCD是菱形,OA=1,OB=2,
∴AC=2OA=2,BD=2OB=4,AC⊥BD,
∴=AC·BD=×2×4=4.
[变式2]答案　16
解析　如图,连结BD、AC,
∵点E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,
∴EF是△ABC的中位线,FG是△BDC的中位线,
∴AC=2EF=4,BD=2FG=8,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴=AC·BD=×4×8=16.
7.答案　(-3,0)
解析　∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,AC⊥BD,OB=OD,∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形,
∴BD=AD=2,∴OD=.
∴OA===3,
∴点A的坐标为(-3,0).
[变式1]答案　(2,2)
解析　过C作CD⊥OA于D,连结AC,如图:
∴∠ODC=90°,
∵四边形OABC是菱形,∴OC=OA=4,
∵∠AOC=60°,
∴△AOC是等边三角形.
∴D为OA的中点,
∴OD=2,∴CD==2,
∴点C的坐标为(2,2).
[变式2]答案　(5,4)
解析　∵点A(-3,0),点D(0,4),
∴OA=3,OD=4,
∵∠AOD=90°,∴AD==5.
∵四边形ABCD为菱形,∴CD=AD=5,CD∥AB,
∴∠CDO=90°,即CD⊥OD,∴点C的坐标为(5,4).
8.解析　∵四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,
∴AC⊥BD,OB=BD,AO=AC.
∵AB=BD=4,∴OB=2,
∴AO===2,∴AC=4.
能力提升全练
9.D　如图,连结BD,BD与AC相交于点O,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,AO=AC,BO=BD,AC⊥BD,
∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AB=1,∴BO=,
∴AO===.∴AC=.
10.C　如图,连结CE.
∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC,
∵∠ABC=50°,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=25°,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,AB∥CD,
∴∠BDC=∠ABD=25°,
∵点E在线段CD的垂直平分线上,
∴EC=ED,∴∠ECD=∠EDC=25°,
∴∠BEC=∠ECD+∠EDC=50°.
在△ABE与△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS),
∴∠AEB=∠BEC=50°.故选C.
11.答案　10°或80°
解析　当点E在AD的延长线上时,如图,由作法可知AC=AE,
∴∠AEC=∠ACE.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC平分∠BAD.
∵∠BAD=40°,
∴∠CAE=20°.
∴∠AEC=∠ACE=×(180°-∠CAE)=80°.
当点E在DA的延长线上时(点E'处),如图,
∵AE'=AC,∠CAD=20°,
∴∠AE'C=∠ACE'=10°.
综上所述,∠AEC的度数是10°或80°.
易错点　易对“交直线AD于点E”理解不透彻,导致不分情况讨论而漏解.
12.证明　∵四边形ABCD是菱形,
∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,
∵四边形EFGH为矩形,
∴FG∥BC.∴∠AGF=∠ACB,
∴∠AGF=∠FAG,∴FA=FG.
素养探究全练
13.解析　(1)答案不唯一,如:
(2)如图: