雅礼集团2023-2024学年第二学期12月联考
高二年级 数学试卷
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考
证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题。在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意答题要求。
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；
5. 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数z满足： (z i)(1 i) 2，则 z （ ）．
A．1 B．2 C． 5 D．3
2，函数 y f (x)与函数 y 2 x 1 1图像关于直线 x 2对称，则 f (4)的值为（ ）
A，1 B, 1 C,2 D,-2
3，直线 l1 : (a
2 4)x y 1 0,直线l2 : x (a 2)y 3 0，则直线 l1 l2是a 3的（ ）
A.充分不要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件 D，即不充分也不必要条件
4， cos9750的值为（ B ）
6 2 2 6 2 6 6 2
A, B, C, D,
4 4 4 4
x 2 y 2 y 2 x 2
5，椭圆 2 1，与双曲线 1有相同焦点，则 a的值为（ ）a 4 a 2
A,1 B,2 C,3 D,4
6，若集合 A {(x, y) x 2 y 2 a}(a 0)，集合 B {(x, y) x y 2 ，若 A B中有8个元素,则 a值
可能为（ ）
A,2 B,3 C,4 D,5
7，公比不为1等比数列{a } 1012n 的前 n项和为 Sn ,前 n项积为Tn S2024 x,T2024 y ,若数列{an}各项为正，
则数列{ 1 }的前 2024项和为（ ）
an
x1012 y1012 y x
A， B, C， D,
y x x y
x 2 y 2
8，双曲线 2 2 1左右焦点分别为F1 ,F2 ,过点 F2 做直线 l1与双曲线右支交于A,B两点，弦AB的中垂a b
线交X轴于P，若 AB PF2 则该双曲线渐近线方程为（ ）,
A， x 2y 0 B, 2x y 0 C， 3x y 0 D， x 3y 0
3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9，直线 l : y m(x 1) 3与直线 x y 2 0的交点位于第一象限，则直线 l的倾斜角 可能是（
）
5 5
A, B, C D,
6 4 18 12
x 2 y 2
10，已知曲线 1(m R)，则下列说法正确的为（ ）
m 2 4 m
A，若该曲线是双曲线方程，则m 4,或m 2
B，若m (2,4)则该曲线为椭圆
3 12
C，若该曲线离心率为 ，则m
2 5
D，若该曲线为焦点在Y轴上双曲线，则离心率 e (1, 2)
11，等差数列{an}的前n项和为 Sn ,若 a4 3，且 a6 ,a7 ,a10 成等比数列，则下列正确的是（ ）
A, an 2n 11 B,当 n 5时， Sn 为最小值
C,若Sn 0，则n最小值为10， D，若 Sn an，则 n 1或n 11
12，三棱柱 A1B1C1 ABC中，面ABC是边长为2的等边三角形，M为线段 AA1上任意点（不与 AA1重合）
则下列正确的是（ ）
A,若N为AC中点，P为平面 A1ACC1上任意点，且 PNC 2 PAC ，三棱椎A—PBC体积最大值为 3
3 13
B,若侧面 A1ACC1为菱形， A1AC , A1B 3 ,则 BC1与面 A1ACC1所成角的正弦值为3 26
C，若三棱柱 A1B1C1 ABC体积为9，则四棱椎M—B1BCC1体积为6
D，若 AA1 面ABC，当面MB1C 面B1BCC1，且 MB1C是面积为3的等腰直角三角形，则三棱柱
A1B1C1 ABC
40
的外接球的表面积为
3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13，向量 a (1,2, x),向量b (2x,4, 1)，若 a b，则 x的值为__ __
14，直线 l : x 2y 1 0与圆C: x 2 (y 3)2 9相交于A,B两点，则 ABC面积为_____
x 2 2x, x 0
15，若函数 f (x) ，则 f [ f (x)] 0的解集为:_____
log 2 x, x 0
16，数列{an}满足： an ( 1)
n an 1 n（ n N
）,则数列{an}前60项和为_______
3
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17，（本小题10分）如图，圆柱O1O底面直径 AB长为4，C是圆O上一点，且点C为圆弧AC中点
（1）求证：平面平面A1AC 平面A1BC
（2）若该圆柱的体积为 4 2 ， 求平面 A1BC与平面 B1BC夹角的余弦值.
18，（本小题 12分） 已知数列{an 1}为等比数列，且 a2 5,a5 33
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设 Sn 是数列{an}的前 n项和，若 Sn 19 n a
2
n ，求出所有 n值
3
19，（本小题12分）已知圆M过点（4,0），（1， 3），（2,2）三个点。
（1）求圆M的标准方程
（2）过圆M外点P向圆M引两条切线，且切点分别为A,B两点，求：PA PB最小值
a a S
20，（本小题满分12分）已知数列 an 的前n项和为 Sn，且满足： 1 n n2 n
1）求证：数列{an}为等差数列
a ,a 4 2） 2 6 ，数列{bn}满足：bn tan(a ) tan(a )，求数列{b }前100项和3 3 n n 1 n
3
21，（本小题12分） 已知函数 f (x) sin x 2cos x
1）若 x0 为函数 f (x)一个零点，求 cos 2x0
2)锐角 ABC中，角A,B,C对应边分别为 a,b,c， f (A) cos A 0 ,BC边上的高为2，求 ABC面积范围。
22 2．（本小题满分12分）若点 ( p,1)）在抛物线 x 2py( p 0)
，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过Y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的
中点，求 EMN面积最小值。
3雅礼集团2023-2024学年第二学期12月联考
高二年级 数学试卷
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题。在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意答题要求。
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足：，则（ ）
A.1 B.2 C. D.3
2.函数与函数图像关于直线对称，则的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.直线：，直线：，则直线是的（ ）
A.充分不要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.的值为（ ）
A. B. C. D.
5.椭圆，与双曲线有相同焦点，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6.集合，集合，若中有8个元素，则值可能为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.公比不为1等比数列的前项和为，前项和为，，，若数列各项为正，则数列的前2024项和为（ ）
A. B. C. D.
8.双曲线左右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，弦的中垂线交轴于，若，则该双曲线渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角可能是（ ）
A. B. C. D.
10.已知曲线，则下列说法正确的为（ ）
A.若该曲线是双曲线方程，则，或
B.若则该曲线为椭圆
C.若该曲线离心率为，则
D.若该曲线为焦点在轴上双曲线，则离心率
11.等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列，则下列正确的是（ ）
A. B.当时，为最小值
C.若，则最小值为10 D.若，则或
12.三棱柱中，面是边长为2的等边三角形，为线段上任意点（不与重合）则下列正确的是（ ）
A.若为中点，为平面上任意点，且，三棱锥体积最大值为
B.若侧面为菱形，，，则与面所成角的正弦值为
C.若三棱柱体积为9，则四棱锥体积为6
D.若面，当面面，且是面积为3的等腰直角三角形，则三棱柱的外接球的表面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.向量，向量，若，则的值为________.
14.直线：与圆：相交于，两点，则的面积为________.
15.若函数，则的解集为________.
16.数列满足：，则数列前60项和为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）如图，圆柱底面直径长为4，是圆上一点，且点为圆弧中点.
（1）求证：平面平面平面；
（2）若该圆柱的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本小题12分）已知数列为等比数列，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是数列的前项和，若，求出所有值.
19.（本小题12分）已知圆过点，，三个点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为，两点，求最小值.
20.（本小题12分）已知函数.
（1）若为函数一个零点，求.
（2）锐角中，角，，对应边分别为，，，，上的高为2，求面积范围.
21.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足：.
（1）求证：数列为等差数列；
（2），，数列满足：，求数列的前100项和.
22.（本小题满分12分）若点在抛物线.
（1）求抛物线的方程；
（2）过轴上点作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于，，，，且，分别是线段，的中点，求面积的最小值.
1雅礼集团2023-2024学年第二学期12月联考
高二年级 数学试卷
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考
证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题。在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意答题要求。
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；
5. 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．已知复数z满足： (z i)(1 i) 2，则 z （ C ）．
A．1 B．2 C． 5 D．3
2，函数 y f (x) y 2 x 1与函数 1图像关于直线 x 2对称，则 f (4)的值为（ A）
A，1 B, 1 C,2 D,-2
3，直线 l1 : (a
2 4)x y 1 0,直线l2 : x (a 2)y 3 0，则直线 l1 l2是a 3的（B ）
A.充分不要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件 D，即不充分也不必要条件
4， cos9750的值为（ B ）
6 2 2 6 2 6 6 2
A, B, C, D,
4 4 4 4
x 2 y 2 y 2 x 2
5，椭圆 2 1，与双曲线 1有相同焦点，则 a的值为（A ）a 4 a 2
A,1 B,2 C,3 D,4
6，若集合 A {(x, y) x 2 y 2 a}(a 0)，集合 B {(x, y) x y 2 ，若 A B中有8个元素,则 a值
可能为（B ）
A,2 B,3 C,4 D,5
7，公比不为1等比数列{an}的前 n
1012
项和为 Sn ,前 n项积为Tn S2024 x,T2024 y ,若数列{an}各项为正，
则数列{ 1 }的前 2024项和为（D ）
an
x1012 y1012 y x
A， B, C， D,
y x x y
x 2 y 2
8，双曲线 2 2 1左右焦点分别为F1 ,F2 ,过点 F2 做直线 l1与双曲线右支交于A,B两点，弦AB的中垂a b
线交X轴于P，若 AB PF2 则该双曲线渐近线方程为（ C ）,
A， x 2y 0 B, 2x y 0 C， 3x y 0 D， x 3y 0
3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9，直线 l : y m(x 1) 3与直线 x y 2 0的交点位于第一象限，则直线 l的倾斜角 可能是（BC
）
5 5
A, B, C D,
6 4 18 12
x 2 y 2
10，已知曲线 1(m R)，则下列说法正确的为（ AD ）
m 2 4 m
A，若该曲线是双曲线方程，则m 4,或m 2
B，若m (2,4)则该曲线为椭圆
3 12
C，若该曲线离心率为 ，则m
2 5
D，若该曲线为焦点在Y轴上双曲线，则离心率 e (1, 2)
11，等差数列{an}的前n项和为 Sn ,若 a4 3，且 a6 ,a7 ,a10 成等比数列，则下列正确的是（ ABD ）
A, an 2n 11 B,当 n 5时， Sn 为最小值
C,若Sn 0，则n最小值为10， D，若 Sn an，则 n 1或n 11
12，三棱柱 A1B1C1 ABC中，面ABC是边长为2的等边三角形，M为线段 AA1上任意点（不与 AA1重合）
则下列正确的是（ BCD ）
A,若N为AC中点，P为平面 A1ACC1上任意点，且 PNC 2 PAC ，三棱椎A—PBC体积最大值为 3
3 13
B,若侧面 A1ACC1为菱形， A1AC , A1B 3 ,则 BC1与面 A1ACC1所成角的正弦值为3 26
C，若三棱柱 A1B1C1 ABC体积为9，则四棱椎M—B1BCC1体积为6
D，若 AA1 面ABC，当面MB1C 面B1BCC1，且 MB1C是面积为3的等腰直角三角形，则三棱柱
A1B1C1 ABC
40
的外接球的表面积为
3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13，向量 a (1,2, x),向量b (2x,4, 1)，若 a b，则 x的值为__-8__
14，直线 l : x 2y 1 0 2 2与圆C: x (y 3) 9相交于A,B两点，则 ABC面积为_____2 5
x 2 2x, x 0
15，若函数 f (x) ，则 f [ f (x)] 0的解集为:______ (0,1), (2, ), ( ,1 2) _
log 2 x, x 0
16，数列{an}满足： an ( 1)
n a n n N n 1 （ ）,则数列{an}前60项和为_______870
3
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17，（本小题10分）如图，圆柱O1O底面直径 AB长为4，C是圆O上一点，且点C为圆弧AC中点
（1）求证：平面平面A1AC 平面A1BC
（2）若该圆柱的体积为 4 2 ， 求平面 A1BC与平面 B1BC夹角的余弦值.
1)证明：由题意可知道： AA1 圆O所在面
因为 BC 圆O面
所以 AA1 BC
又因为AB是圆O直径，C为圆弧上一点
所以 AC BC
而AC AA1 A,
AC, AA1 面A1AC
所以 BC A1AC 又因为 BC A1BC 所以面A1AC 面A1BC
2）如图以O为原点，OC,OB,OO1分别为，x,y,z轴建立空间直角坐标系
C(2,0,0),B(0,2,0), A(0, 2,0), A1 (0, 2, 2)易知 AC 面B1BC ,设面B1BC 法向量 n AC (2,2,0)
n BC 0
设面 A1BC的法向量 n2 (x, y, x) BC (2, 2,0),BA1 (0, 4, 2)
2
所以 n2 (1,1,2 2)
n2 BA1 0
n1 n2
则面B1BC
5
与面 A1BC的夹角 ， cos
n1 n 52
18，（本小题 12分） 已知数列{an 1}为等比数列，且 a2 5,a5 33
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设 Sn 是数列{an}的前 n项和，若 Sn 19 n a
2
n ，求出所有 n值
b
1）设bn a
3
n 1，则bn为等比数列，则b2 a2 1 4,b5 a5 1 32， q
5 8,则q 2
b2
b 2n ,则a b 1 2n所以 n n n 1
sn a1 a2 a3 an (2
1 1) (22 1) (2n 1) (21 22 23 ) n 2n 1 2 n
3）
2 n 1 n 2 n
所以 sn 19 n an ，化简有： 2 2 n 19 n (2 1) ,则4 16.所以n 1,或n 2
3
19，（本小题12分）已知圆M过点（4,0），（1， 3），（2,2）三个点。
（1）求圆M的标准方程
（2）过圆M外点P向圆M引两条切线，且切点分别为A,B两点，求：PA PB最小值
1）设圆的一般式：x 2 y 2 Dx Ey F 0，三个点代入有
4D F 16 0
2 2
2D 2E F 8 0 ,J解方程得到：D 4,E 0,F 0 ,所以圆的标准方程为 (x 2) y 4
D 3E F 4 0
设PM x(x 2).则PA PB x 2 4,
sin APM 2 , cos APB 1 2sin 2 APM 8 1
x x 2
2） 2 2
PA PB PA PB cos APB (x 2 4)(1 8 ) (x 4)(x 8)所以： 2 x x 2
32
x 2 2 12 2 32 12 8 2 12x
a a S
20，（本小题满分12分）已知数列 an 的前n项和为 Sn，且满足： 1 n n2 n
1）求证：数列{an}为等差数列
2） a2 ,a
4
6 ，数列{bn}满足：bn tan(an ) tan(an 1 )，求数列{bn}前100项和3 3
1）当n 1,等式成立
当n 2时：2sn n(a1 an ),
2sn 1 (n 1)(a1 an 1 ),所以（2 - n)an a1 (n 1)an 1 ,化简得：2an an 1 an 1
所以数列{an}为等差数列
2）由于数列{an}为等差数列，
a n (3n 2)12
tan(an 1 tan(a )tan(a nn 1 an ) 得 tan(a ) tan(a ) tan(a ) tan(a ) 11 tan(a ) tan(a n n 1 n 1 nn n 1 )
则b1 b2 b3 b99 b100 tan(a2 ) tan(a1 ) 1 tan a3 tan a2 1 tan(a101 ) tan(a100 ) 1
tan(a1 ) tan(a
101 ) 100 tan tan
301
100 tan tan(25 ) 100 100
12 12 12 12
3
21，（本小题12分） 已知函数 f (x) sin x 2cos x
1）若 x0 为函数 f (x)一个零点，求 cos 2x0
2)锐角 ABC中，角A,B,C对应边分别为 a,b,c， f (A) cos A 0 ,BC边上的高为2，求 ABC面积范围。
1 cos 2 x sin 2 x 1 tan 2 x
1)sin x0 2cos x
0 0 0 3
0 0, tan x0 2,cos 2x0 cos 2 x0 sin 2 xx 1 tan
2 x0 5
3）
A ,BC 2 2 2 4
4 tan B tanC sin B sinC 2 sin(2B ) 1
4
锐角
ABC 中，B （ ， ）
4 ,2
s 1 4 2 BC [4 2 4,2)
2 2 sin(2B ) 1
4
22．（本小题满分12分）若点 ( p,1) 2）在抛物线 x 2py( p 0)
，
（1）求抛物线C的方程；
（2）过Y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的
中点，求 EMN面积最小值。
1) x 2 4y
2）由题意可知道直线斜率是存在的，设直线
y k1x b
AB: y k1x b x 2 4k x 4b 0 x x 4k y y 4k 2 2b
x
2 4y 1 1 2 1, 1 2 1
EM 4k 21 4k
4
1 .
同理：EN 4k 22 4k
4
2
所以点M (2K1 ,2K
2
1 b) ,则
s 1 EN 1 E M 2 k1 1 k
2
1 2 2 k2 1 k
2
2 2 (1 k 2 )(1 k 21 2) )2 2
2 1 k 2 31 k2 1 4
3
