河大附中实验学校 2023 级 12 1 1 1月月考 数学试卷 A．(1, + ∞) B． 0, C． , D． 4 8 4
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题目 e 1 2 18．已知函数 = ，若对任意的正数 、 ，满足 + 2 2 = 0，则 + 的最小值为e +1
要求的.
（ ）
1.命题“ ∈ R， 3 + 1 > 0”的否定是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
A． ∈ R， 3 + 1 < 0 B． R， 3 + 1 ≤ 0
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，在每小题给出的 4 个选项中，有多项符合题目要求，
C． R， 3 + 1 < 0 D． ∈ R， 3 + 1 ≤ 0
全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分.
2. 函数 = log0.2 2 1 + 2 的定义域是( ) 9．已知集合 = ∣ + 1 = 0 , = 1,2 , ∩ = ，则满足条件的实数 可以是（ ）
1 1 ,2 1A. B. ,2
1 ,2 A．0 B． C． 1 D．1 C. D. 2, 2 2 2 2
10．已知函数 = 1 （ > 0，且 ≠ 1），则下列结论正确的是（ ）
x 16
3. 不等式 0 成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
x 5 A．函数 恒过定点 0,1
A. x x 16 B. x 5 x 16 B．函数 的值域为 0, + ∞
C．函数 在区间 0, + ∞ 上单调递增C. x 5 x 16 D. x 5 x 16
D．若直线 = 2 与函数 的图像有两个公共点，则实数 a的取值范围是 0,1
4. 已知 a log1 2023, b log2023 2024, c 2023
2024
，则 a,b,c的大小关系是 （ ） 11．给出以下四个结论，其中正确结论是（ ）
3
A．若关于 x的方程5 = 有负根，则 0 < < 1
A. a b c B.b c a C. b a c D. c a b
B．函数 = 1 + log 2 1 1（其中 > 0，且 ≠ 1）的图象过定点 1,0
2x , x 2 1
5.已知函数 f x ，则 f f 7 的值为（ ）log 2 x , x 2 C．函数 ( ) = log1 6 + 2
2 单调递增区间是 , + ∞
3 2 4
1 1
A. 1 B.2 C.3 D.4 D． log > 1 的解集为 , 12 2
6．已知 是定义在[2 1, + 4]上的奇函数，且当 ≥ 0时， = 2 + + ，则 = 12.已知正实数 x, y满足 x y 1，则
（ ）
A. x y 4xy 0 B. x2 y2 1
A． 2 B． 4 C．4 D．2
log ( 1), > 2 1 1 1
1 4 9
( 1) ( 2) < 0 C. 1 12 D.
7.若 ( ) = 2 1 + 1 , ≤ 2，满足对任意 1 ≠ 2，都有 成立，则 的取 x
y x 1 y 2 1 2 2 2
值范围是（ ）
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三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分. 20. (12 分)
2, 113.若幂函数 = ( )的图像经过点 ，则 (4)= . 已知函数 = lg + 2 lg 2 .
2
(1)求 的定义域；
14.若命题 p： x R，x2 2 m 2 x m 0 为真命题，则实数m的取值范围是
(2)判断 的奇偶性并予以证明；
15.已知 a为正实数，且函数 ( ) = 2 是奇函数．则 f x 的值域为 ．3 +1 (3)求不等式 > 1的解集.
log2 1 , > 116.已知函数 = = ( + 1)2, ≤ 1 ，若关于 x的方程 有 4 个不相等的实数根
1、 2、
3、 4，则 1 + 2 + 3 + 4的取值范围是 .
21. (12 分)
已知二次函数 y f x 满足 f 0 1，且有 f x 1 f x 2x
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（1）求函数 f x 的解析式；
17.（10 分） （2）若函数 g x t 1 x, t R，函数 h x g x f x ，求 h x 在区间 1,1 上的最小值 t .
计算：
1
0 5
(1) 0.027 3 1 10lg3 0.252 0.5 4
81
22.（12 分）
(2) lg 25 lg 2 log4 10 2lg 2 x
函数 f x 3 a x , g x f x 3x 1 3 x3 b
18. (12 分)
（1）当 a 5,b 3时，求满足 f x 3x的 x的值；
已知集合 = { | + 1 ≤ ≤ 2 + 1}, = { | 2 ≤ ≤ 5}
（2）当 a 1,b 1时，若对任意 x R且 x 0 ，不等式 g 2x m g x 10恒成立，求实数m
(1)若 = 3，求（ R ） ∩ ；
(2) 的最大值.若“ ∈ ”是“ ∈ ”充分不必要条件，求实数 a的取值范围.
19. (12 分)
已知函数 是定义在 上的奇函数，当 > 0 时， = 2 +1 + 1
(1)求 的解析式；
(2)解关于 的不等式 ≤ 5．
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12 月数学试卷答案
1. D 2. A 3.B 4.B 5.D 6.A 7.C 8 . C
9．ABC 10.BC 11.ABD 12.AD
1 257
13. 14. 15.(-1,1) 16.(2, ]
4 16
18.【答案】(1){ | 2 ≤ < 4}； (2)( ∞, 2]
【解析】（1）当 = 3时，集合 = { |4 ≤ ≤ 7}，可得 R = { | 7}，
因为 = { | 2 ≤ ≤ 5}，所以( R ) ∩ = { | 2 ≤ < 4}
（2）若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，所以 是 Q的真子集，
当 + 1 > 2 + 1时，即 <0时，此时 = ，满足 是 的真子集，
2 + 1 ≥ + 1
当 ≠ 时，则满足{ 2 + 1 ≤ 5 且不能同时取等号，解得0 ≤ ≤ 2，
+ 1 ≥ 2
综上，实数 的取值范围为( ∞, 2].
2 +1 1, < 0
19.【答案】(1) ( ) = { 0, = 0 (2)( ∞, 1]
2 +1 + 1, > 0
【解析】（1）因为 ( )是定义在 上的奇函数，所以，当 = 0时， (0) = 0，
设 0，∴ ( ) = 2 +1 + 1，
2 +1 1, < 0
∵ ( ) = ( )，∴ ( ) = 2 +1 1，则 ( ) = { 0, = 0 .
2 +1 + 1, > 0
（2）当 > 0时， ( ) = 2 +1 + 1，2 +1 + 1 ≤ 5，
2 +1 ≤ 4， + 1 ≤ 2， ≤ 1，即0 < ≤ 1，
当 = 0时， ( ) = 0，满足不等式 ( ) ≤ 5．
当 < 0时， 2 +1 < 2， 2 +1 + 1 < 1恒成立，满足不等式 ( ) ≤ 5，即 < 0，
综上所述，不等式 ( ) ≤ 5的解集为：( ∞, 1]．
18
20.【答案】(1)( 2,2) (2)奇函数，证明见解析 (3)( , 2)
11
+ 2 > 0
【解析】（1）要使函数 ( )有意义,则{ ，
2 > 0
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解得 2 < < 2，故所求函数 ( )的定义域为( 2,2)；
（2）证明：由（1）知 ( )的定义域为( 2,2)，
设 ∈ ( 2,2)，则 ∈ ( 2,2),
且 ( ) = lg( + 2) lg( + 2) = ( )，故 ( )为奇函数；
+2 +2
（3）因为 ( ) > 1，所以 ( ) = lg > 1，即lg > lg10
2 2
+2 18
可得 > 10，解得 > ,又 2 < < 2，
2 11
18
所以 < < 2，
11
18
所以不等式 ( ) > 1的解集是( , 2)．
11
2
21.【解析】（1）设 f (x) = ax + bx + c(a 0)，由 f (0) =1，得 c =1 (1分)
f (x +1) = f (x) + 2x， a(x +1)2 + b(x +1) +1= ax2 + bx +1+ 2x (2分)
2a +b = b+ 2 a =1 2
(3 分) 故 ，(5分)
f (x) = x x +1
；(6分)
a +b+1=1 b = 1
t t2 t
（2）易知h(x) = x2 + tx +1= (x + )2 +1 ，(7分)（等价于写对称轴 x = ）
2 4 2
x [ 1,1]
t
①当 1时，即t 2时,h(x)在[ 1,1]上单调递增，
2
h(x)min = h( 1) = 2 t;(8分)
t t t
②当 1 1时，即 2 t 2时,h(x)在[ 1, )上单调递减，在[ ，1]上单调递增，
2 2 2
t t 2
h(x)min = h( ) =1 ;(9分)
2 4
t
③当 1时，即t 2时,h(x)在[ 1,1]上单调递减，
2
h(x)min = h(1) = 2 + t.(10分)
2 t , t (2,+ )
t 2
综上所述，h(x)min = 1 , t [ 2,2] (12分)
4
2+ t , t ( , 2)
3x + 5
22.【解析】（1）因为a = 5 ，b = 3时， f (x) = ，(1分)
3x 3
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2
又因为 f (x) = 3x x，所以 (3 ) 4 3x 5 = 0（ x 1）(2分)
所以 (3x 5)(3x +1) = 0，(3 分)
所以3x = 5，(4分) 即 x = log3 5 ；(5分)
3x 1
（2）a = 1，b =1，所以 f (x) =
3x +1
所以 g (x) = 3x + 3 x 1，
2
g (2x) = 32x +3 2x 1= (3x故 +3 x ) 3，(6分)
因为 g (2x) m g (x) 10 对任意 x 0恒成立，
2
(3x +3 x ) 3 m (3x +3 x所以 1) 10对任意 x 0恒成立，(7分)
2
令 t = 3x + 3 x
t + 7
（ t (2,+ )），所以m ，(8分)
t 1
2 2t + 7 (t 1) + 2(t 1)+8 8
又因为 = = (t 1)+ + 2(9分)
t 1 t 1 t 1
8
由对勾函数 y = x + （ x 1）的单调性可知， x = 2 2 时 y 有最小值4 2 ，
x
t2 + 7
所以 4 2 + 2,+ )，(10分)
t 1
所以m ( , 4 2 + 2 ，(11分)
所以m的最大值为4 2 + 2 .(12分)
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