湖南师大附中博才实验中学 2023﹣2024 学年度
第一学期九年级第四次自能练习试题卷 数学答案
1 2 3 4 5 （人）．
C C C A B 补充条形统计图如图所示．
6 7 8 9 10
B C B D D
11. 6 12. ﹣6 13. 8
14. 12 15. 4 16. 2√2﹣1
17. 解：原式=1+√2﹣1+1+2=√2 + 3
18. 解：原式=4﹣ 2+ 2 4 + 4
=8﹣4a=8﹣4（2﹣√3）=4√3 （2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度
19. 解：（1） 数为 360°× ＝54°．
∵A（﹣1，2）在双曲线 上， 故答案为：54°．
1200×35%＝420（人）．
∴m＝﹣2，
∴参加“游泳”的人数大约为 420 人．
∴ ， （3）将两名男生分别记为 A，B，两名女生分
别记为 C，D
又∵B（2，n）在 的图象上，
画树状图如下：
∴n＝﹣1，
把 A、B两点代入直线解析式得 ，
解得：k＝﹣1，b＝1，
∴反比例函数的解析式为 ，
一次函数的解析式为 y＝﹣x+1． 共有 12 种等可能的结果，其中到市上参加比
（2）将一次函数与 x轴的交点命名为 C， 赛的两人恰为一男一女的结果有：AC，AD，
则 C（1，0）， BC，BD，CA，CB，DA，DB，共 8 种，
∴到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概
∴ ，
率为 ＝ ．
∵ ，
21.解：（1）
∴S△AOB＝ ． ∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE，
20. 解：（1） ∵DF⊥AE
抽样调查的总人数为 8÷20%＝40（人）． ∴∠ADF＝∠EAB
参加排球项目的学生为 40﹣12﹣8﹣14＝6 ∴△ABE∽△DFA；
{#{QQABJYiAgggAABJAARhCEQX6CEMQkAGACAoGBEAIsAABABFABAA=}#}
（2）∵AB＝3，BE＝4， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°，
∴由勾股定理得 AE＝5， ∴∠BAC＝30°，
∵△ABE∽△DFA； ∵OA＝OE，
∴ ，即： ∴∠AOE＝120°，
∵⊙O的半径为 3，
∴DF＝3.6
∴S 扇形 AOE＝ ＝3π，
22.解：（1）设 y＝kx+b，将（50，120），
（60，100）代入得： ， S△AOE＝ ，
解得 ， ∴S 阴影＝3π﹣ ．
∴y＝﹣2x+220， (3) 连接 BE，
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价 ∵AB为圆 O的直径，
的 1.8 倍， ∴∠AEB=90°，
∴40≤x≤72， 又∵DF⊥AC，
∴ y 与 x 的函数关系式为 y＝﹣ 2x+220 所以 DF∥BE，
（40≤x≤72）； ∴BE=2DF=12，
（2）设商家获得的利润为 w元， AE=5,
根据题意得：w＝（x﹣40）y ∴CE=8，CF=EF=4，
＝（x﹣40）（﹣2x+220）＝﹣2（x﹣75）2+2450，
∴CD=√42 + 62=2√13
∵﹣2＜0，抛物线对称轴为直线 x＝75，
∴当 40≤x≤72 时，w随 x的增大而增大， 24.解 : (1)
∴x＝72 时，w取最大值，最大值为 A与D : 1 2 2 ( 1)，
﹣2×9+2450＝2432（元）， B与D : 4 1=2 ( 1)，
∴当玩具的销售单价为 72 元时，该商家获得 C与D : 1 ( 2) 2 ( 1)，
的利润最大，最大利润是 2432 元． ∴点B与点D互为“等差点”.
23.证明：连接 OD，如图所示： (2)∵y1 x1 = y2 x2 ，
∵OB＝OD， k 2 1
∴∠ODB＝∠B， ∴x1 2 x1 = x2 ，x2
又∵AB＝AC，
整理，得x 2 2x k 22 2 +1= 0，
∴∠C＝∠B，
解得x2 =1+ k或x2 =1 k ，
∴∠ODB＝∠C，
∴F的坐标为(1+ k ，k 1)或(1 k ， 1 k) .
∴OD∥AC，
(3)由题意知GM = GN，且GM⊥GN ，
∵DF⊥AC，
∴△GMN为等腰直角三角形，
∴DF⊥OD，
1
∵点 D在⊙O上， ∴ yG = MN ，
2
∴DF与⊙O的相切；
4ac b2 1 b2 4ac
（2）解：连接 OE， ∴ = ，
4a 2 a
∵DF⊥AC，∠CDF＝15°，
{#{QQABJYiAgggAABJAARhCEQX6CEMQkAGACAoGBEAIsAABABFABAA=}#}
化简得b2 4ac = 4， ∴∠A =∠C，
2 设∠AOP = ，∴b = 8a + 4 ①，
∵PO = PA，
∵P，Q互为“等差点”，
∴∠A =∠AOP = ，
∴y1 x1 = y2 x2 ，
∴∠C =∠A = ，
b
∴ax 21 + bx1 + 2 x1 = x2 3 x2 ，
2 又∵OC = OD，
b ∴∠D =∠C = ，
即ax 21 + (b 1)x1 = ( 1)x2 5 ②，
2 ∴∠AOP =∠D = ，
又∵P，Q两点的横坐标 且∠EPO =∠DPO，
2 3b 4 7是 的两根， ∴△DOP∽△OEP .ax + + = 0
2 2 (3)∵BG PD = BC AD，
2 3b + 4 7 3b 4∴ax1 = x1 ，且x1 + x2 = ， BG BC
2 2 2a ∴ = ，
AD PD
3b + 4 7 b
代入②得 x1 + (b 1)x1 = ( 1)x2 5， 又∵AC = AC，
2 2 2
b 3 ∴∠B =∠D，
整理，得( 1)(x1 + x2 ) = ，
2 2 ∴△BGC∽△DAP，
b 3b 4 3 ∴∠BCG =∠DPA，
∴( 1)( ) = ，
2 2a 2 ∴∠DPA =∠CPB，
整理，得3b2 10b + 6a +8 = 0， ∴∠BCG =∠CPB，
把①代入，得3(8a + 4) 10b + 6a +8 = 0， 又∵∠B =∠B，
即30a 10b = 20， ∴△BGC∽△BCP，
∴3a b = 2 . BC BG
∴ = ，
25.(1)证明：连接DB， BP BC
∵AB = CD， ∴BC 2 = BG BP，
∴AB = CD， 设BG = x，则1 x 2，
2
∴AB AC = CD AC， ∴BC = x(x + 3)，
2 2
∴BC = AD， 即BC = x + 3x，
∴∠CDB =∠ABD， ∵∠B =∠D，∠APD =∠CPB，
∴PB = PD . ∴△APD∽△CPB，
(2)连接OC， PD AP∴ = = k ，
PB PC
由(1)知PB = PD，AB =CD，
∴PD = kPB = k(x + 3)，
∴AB PB = CD PD，
∴2PD BC 2 = 2k(x + 3) (x2 + 3x)，
∴PA = PC，
设2PD BC 2 = y，
在△OPA与△OPC中，
则y = x2 + (2k 3)x + 6k(1 x 2)，
PA = PC
OP = OP
2k 3 3
对称轴为直线x = = k ，
2 2
OA = OC
∴△OPA≌△OPC(SSS )，
{#{QQABJYiAgggAABJAARhCEQX6CEMQkAGACAoGBEAIsAABABFABAA=}#}
3 5
①当k 1，即k 时，
2 2
当x =1时，ymax = 1+ 2k 3+ 6k = k ，
解得k = 2，
3 5 7
②当1 k 2，即 k 时，
2 2 2
3 3
当x = k 时，y = (k )2
3
max + (2k 3)(k ) + 6k =12，
2 2 2
39
化简得k 2 + 3k = 0，
4
3 4 3
解得k = (舍去)，
2
3 7
③当k 2，即k 时，
2 2
当x = 2时，ymax = 4+ 4k 6+ 6k =12，
11
解得k = (舍去)，
5
综上可知，k = 2 .
{#{QQABJYiAgggAABJAARhCEQX6CEMQkAGACAoGBEAIsAABABFABAA=}#}湖南师大附中博才实验中学 2023—2024 学年度第一学期
九年级第四次自能练习试题卷·数学
时量：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，共 30分）
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
2.二次函数 y＝2（x+1）2+3的顶点坐标为( )
A.（1，3） B.（1，-3） C.（-1，3） D.（-1，-3）
3. 6反比例函数 = ，那么下列各点中在此函数图象上的点是 ( )
A.（-2，3） B.（-3，2） C.（-3，-2） D.（4，1）
4.下列结论中，正确的是( )
A.等弧所对的圆周角相等 B.“a是实数，|a|≥0”是随机事件
C.平分弦的直径垂直于弦 D.某彩票中奖的概率是 1%，那么买 100张彩票一定会有一张中奖
2
5.如图，AD∥BE∥CF，点 B，E分别在 AC，DF上， = 3，EF＝6，DE的长 ( )
A.3 B.4 C.5 D.10
第 5题图 第 6题图 第 7题图 第 8题图
6.如图，将△ABC绕点 A顺时针旋转 40°得到△ADE，点 B的对应点 D恰好落在边 BC上，则∠ADE
的度数为 ( )
A.40° B.70° C.80° D.75°
7.如图，四边形 ABCD是⊙O的内接四边形，连接 OA、OC，若∠B＝136°，则∠AOC的度数是 ( )
A.44° B.54° C.88° D.108°
8.一次函数 y1＝mx+n和反比例函数 y2= 的图象如图所示，若 y1＜y2，则 x的取值范围是 ( )
A.x＜﹣2或 0＜x＜1 B.﹣2＜x＜0或 x＞1 C.x＜﹣2或 x＞1 D.﹣2＜x＜1
9.边长分别为 6，8，10的三角形的内切圆半径与外接圆半径的比为 ( )
A.1﹕5 B.4﹕5 C.2﹕10 D.2﹕5
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10.如图，在正方形 ABCD中，点 E、F分别是 BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交
BD于M、N．对于下列结论：
ABN MDA AM AE=AN AF
1
①△ ∽△ ；② ；③ = 2；
④当 AB=1 时，△AEF面积的最小值为 2 1．其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
第 10题图
二、填空题（每小题 3分，6个小题，共 18分）
11.在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，
摸到红球的频率稳定在 0.4左右，则袋子中红球的个数可能是_____________.
12.如图，点 A k是反比例函数 y （k<0）图象上的一点，过点 A作 AB x轴于点 B， ABO的面积
x
为 3，则 k的值为 ．
第 12题图 第 13题图 第 15题图 第 16题图
13.如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为 5cm，管道内水的最大深度 CD＝2cm，则截面圆中
弦 AB的长为_____________cm.
14.已知圆锥的母线长为 6cm，底面半径为 2cm，则它的侧面展开扇形的面积为 cm2．
15.如图，平行四边形 ABCD中，点 E是边 BC上一点，AE交 BD于点 F，若 BE＝2，EC＝3，DF=10，
则 BF为 ．
16.如图，⊙O 的半径为 1，直线 AB的解析式为 = + 4，点 P是直线 AB上一动点，点 Q是⊙O上
一动点，则 PQ的最小值为____________.
三. 解答题（共 9小题，第 17、18、19题各 6分，第 20、21题各 8分，第 22、23题各 9分，第 24、
25题各 10分，共 72分）
0 2024( 3 1) 2 1| 1 117. +| +（ ） +（ ) 1计算： 2
18.先化简，再求值：(2 + )(2 ) + ( 2)2，其中 = 2 3.
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19.已知一次函数 y＝kx+b的图象与反比例函数 = 的图象相交于 A（﹣1，2），B（2，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
20.某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等 4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机
抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请
你根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查的总人数为 ，请将图形补充完整．
（2）扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为 .若该学校共有学生 1200名，请估
计参加“游泳”的有多少人？
（3）通过初选有 4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐 2名同学到市上
参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率．
21.如图，矩形 ABCD中，E为 BC上一点，DF⊥AE于点 F．
（1）证明△ABE∽△DFA；
（2）若 AB＝3，AD＝6，BE＝4，求 DF的长．
22.2023年中国杭州获得第十九届亚运会主办权，作为唯一申办城市，杭州成为继北京和广州之后，中
国第三个举办亚运会的城市，亚运之城喜迎五湖之客，很多商家都紧紧把握这一商机．某商家销售一
批具有中国文化意义的吉祥玩具，已知每个玩具的成本为 40元，销售单价不低于成本价，且不高于成
本价的 1.8倍，在销售过程中发现，玩具每天的销售量 y（个）与销售单价 x（元）满足如图所示的一
次函数关系．
（1）求 y与 x的函数关系式；
（2）当玩具的销售单价为多少元时，该商家获得的利润最大？最大利润是多少元？
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23.在△ABC中， AB＝AC，以 AB为直径的⊙O分别与 BC、AC交于点 D、E，过点 D作 DF⊥AC于
点 F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）如图 1，若⊙O的半径为 3，∠CDF＝15°，
求阴影部分的面积；
（3）如图 2，若 DF=6, AB=13，求 CD的值．
图 1 图 2
24.我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点P(x1, y1)、Q(x2 , y2 )，如果满足 y1 x1 y2 x2 ，
那么称 P、Q两点互为“等差点”．
(1)请判断在点 A(2, 1)、 B(1,4)、C( 2, 1)中，有哪些点与点D( 1,2)互为“等差点”？
2
(2)已知点 E在直线 y x 2 k 1上，点 F 在双曲线 y （ k为常数，且 k 1）上，且 E、F 两
x
点互为“等差点”．请求出点 F 的坐标（用含 k的代数式表示）；
(3)已知抛物线 y1 ax
2 bx 2（ a,b为常数且 a 0、b 0）的顶点为G点，与 x轴交于M 、N
b
两点，GM GN ，P、Q两点分别在抛物线 y1 ax
2 bx 2和直线 y2 x 3上，如果 P、Q2
2 3b 4 7
两点互为“等差点”，且 P、Q两点的横坐标是一元二次方程 ax x 0的两根，求3a b
2 2
的值．
25.在圆O中，弦 AB 、CD交于点 P．
（1）如图 1，已知 AB CD， 求证： PB PD；
（2）如图 2，在(1)的条件下，连接OP、OA、OD，若 PO PA ，求证：△DOP∽△OEP；
AP
（3）如图 3，G为线段 PB上一点，已知 PG 3，1 GB 2， BG PD BC AD， k ，
PC
当 2PD BC 2的最大值为 12时，求 k的值．
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