江苏省南京市重点中学2023-2024高一上学期12月学情调研测试数学试题（无答案）

南京市重点中学2023-2024学年高一上学期12月学情调研测试
数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则的值为（ ）
A.4 B.5 C.9 D.10
2. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知扇形的圆心角为2弧度，其所对的弦长为2，则扇形的弧长等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，，且，则的值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
5.设函数，，则函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
6.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆.为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间的关系（为最初污染物数量）。如果前3个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还要（ ）
A.2.6小时 B.3小时 C.3.2小时 D.4小时
7.已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和诺区间”.若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.给出下列说法，错误的有（ ）
A.若函数在定义域上为奇函数，则；
B.已知的值域为，则的取值范围是；
C.已知函数的定义域为，则函数的定义域为；
D.已知函数，，则函数的值域为.
10.已知，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.函数，以下四个结论正确的是
A. 的值域是（-1，1）；
B.对任意，都有；
C.若规定，，则对任意的，
D.对任意的，若函数恒成立，则当时，或.
12.已知函数的定义域为，当时，当，（m为非零常数）.则下列说法正确的是（ ）
A.当时，；
B.当时，函数的值域为；
C.当时，函数的图象与函数的图象有3个交点；
D.当，时，函数的图象与直线在内的交点个数是.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数（且）的图象过定点Q，且角α的终边也过点Q，则_________.
14.奇函数是定义在上的减函数，若，则实数m的取值范围为_________.
15.最新版高中数学教材必修第一册P98的探究题告诉我们：任何一个正实数N可以表示成，此时，当时，N是位数.据此，可判断数的位数是_________.（取）.
16. ，记表示a，b二者中较大的一个，函数，若，，使成立，则的最大值为________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（10分）计算：
（1）；
（2）；
（3）.
18.（12分）已知是定义在上的偶函数，且当时，（，且）.
（1）求函数的解析式
（2）若，求实数的取值范围
19.（12分）设，是关于的方程（其中）的两个实数根
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
20.（12分）已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）从下面两个条件中选一个，求实数的取值范围.
①若“，”为假命题；②若“，”为真命题.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
21.（12分）已知函数.
（1）解方程；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：，都有，则称这个函数是点A的“界函数”
（1）若函数是点的“界函数”，求a，b需满足的关系：
（2）若点在函数的图象上，是否存在m使得函数是点B的“界函数” 若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.