2022~2023江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校八年级上学期月考数学试卷(10月)（含解析）

2022~2023学年江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校八年级上学期月考数学试卷(10月)
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.第届冬奥会将于年月日至日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.的算术平方根是( )
A. B. C. D.
3.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，，，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使，，三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在
( )
A. ，两边垂直平分线的交点处 B. ，两边高线的交点处
C. ，两边中线的交点处 D. ，两内角的平分线的交点处
5.如图，一个长方形的纸条按如图所示方法折叠压平，则的度数等于
( )
A. B. C. D.
6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是米分，小红用分钟到家，小颖分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.如图，点在锐角的内部，连接，，点关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是( )
A. B. C. D.
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是，高是，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是
( )
A. B. C. D.
9.如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，，则的面积为
( )
A. B. C. D.
10.有一个边长为的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知一个正数的平方根为与，则．
12.如图，点是平分线上一点，，，垂足分别是和，若，则．
13.若一个等腰三角形的两边长分别为，则它的周长为．
14.如图，在中，，，，点为的中点，则的值是___ ．
15.把图中长和宽分别为和的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图所示的正方形，则图中小正方形的面积为．
16.如图，一根旗杆在离地面米处断裂，旗杆总长为米，则旗杆顶部落在离旗杆底部米处．
17.如图，把一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角为度．
18.如图中，，是的中点，过点作的垂线，交于，连接，，则．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
若，满足等式．
求，的值；
求的平方根．
20.本小题分
如图，在中，是边的中点，是边的中点，连接，．
若，，，求证：；
若，，，求的面积．
21.本小题分
在由单位正方形每个小正方形边长都为组成的网格中，的顶点均在格点上．
把向左平移个单位，再向上平移个单位得到，请画出，并写出点的坐标；
请画出关于轴对称的，并求出的面积．
22.本小题分
如图，点是的角平分线上的一点，过点作交于点，交于点．
求证：点在的垂直平分线上；
若，，求的长．
23.本小题分
在数学实验课上，李欢同学剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图，将纸片沿某条直线折叠，使斜边两个端点与重合，折痕为．
如果，，可得的周长为；
如果：：，可得的度数为；
操作二：如图，李同学拿出另一张纸片，将直角边沿直线折叠，使点与点重合，若，，请求出的长．
24.本小题分
阅读材料：
如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，定值．
类比与推理如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，，，等边的高为，试证明定值．
理解与应用中，，，，，内部是否存在一点，点到各边的距离相等？填“存在”或“不存在”，若存在，请直接写出这个距离的值，若不存在，请说明理由．
25.本小题分
如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
用的代数式表示
当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
当点在边上运动时，出发秒后，是以或为底边的等腰三角形？
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】不是轴对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.不是轴对称图形，故C错误；
D.是轴对称图形，故D正确．
故选：．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】
【解析】直接利用算术平方根的求法即可求解．
【详解】解：的算术平方根是，
故选：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是掌握求解的运算法则．
3.【答案】
【解析】根据勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
B. ，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
C. ，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不合题意；
D. ，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故本题选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，熟练掌握若一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键．
4.【答案】
【解析】根据线段垂直平分线的性质可直接进行求解．
【详解】解：因为决定将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，所以高铁站应建在，两边垂直平分线的交点处，
理由是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
故选A．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】根据折叠性质，得到，选择即可．
【详解】如图，根据题意，得
，
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，准确理解折叠的性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】先确定两人行走路线的夹角是直角，再确定各自行走路程分别为米和米，运用勾股定理计算即可．
【详解】因为小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是米分，小红用分钟到家，小颖分钟到家，
所以两人行走路线的夹角是直角，且各自行走路程分别为米和米，
根据勾股定理，得米，
故选C．
【点睛】本题考查了方位角和勾股定理，正确理解方位角，灵活运用勾股定理是解题的关键．
7.【答案】
【解析】连接，，根据对称性质，得到，根据三角形三边关系定理，判定，选择即可．
【详解】如图，连接，，
根据对称性质，得到，
根据三角形三边关系定理，
所以，
故选D．
【点睛】本题考查了对称的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性质，三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
8.【答案】
【解析】分别考虑直吸管在罐体内两种极端情况即可：直吸管下端恰好位于罐底的圆周上；直吸管下端恰好位于罐底的中心；分别计算出直吸管插在罐内部分长度，即可求得直吸管露在罐外部分的长度范围．
【详解】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，
则，，由勾股定理得：，
；
当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即，则；
综上，直吸管露在罐外部分的长度范围为．
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，根据情况进行分类讨论、及勾股定理的应用是本题的关键．
9.【答案】
【解析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出，进而根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点作于，
，，
，
和分别平分和，
，，
，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
10.【答案】
【解析】根据勾股定理求出“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：由题意得，正方形的面积为，
由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
同理可得，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为，
“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为．
故选：．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
11.【答案】
【解析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得的方程，解方程即可得到的值．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的概念，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
12.【答案】
【解析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到答案．
【详解】点是平分线上一点，，
．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等．
13.【答案】
【解析】先根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系确定等腰三角形的三边长，再求其周长即可．
【详解】解：若等腰三角形的腰长为，则其三边长为、、，由于，故此时不能构成三角形；
若等腰三角形的腰长为，则其三边长为、、，此时能构成三角形，且三角形的周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义，属于基本题型，熟练掌握基本知识是关键．
14.【答案】
【解析】根据角所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可．
【详解】，，，
，
又为的中点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角所对的直角边等于斜边的一半以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关定理是解本题的关键．
15.【答案】
【解析】图是由长为，宽为的全等直角三角形组成的，可以得正方形的边长，根据正方形的面积公式，即可求出正方形的面积．
【详解】图是由长为，宽为的全等直角三角形组成的

正方形的面积为：
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形的知识，解题的关键根据线段的关系，求出正方形的边长．
16.【答案】
【解析】如图所示，利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由题意得，
在中由勾股定理得，
旗杆顶部落在离旗杆底部米处，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意利用勾股定理求解是解题的关键．
17.【答案】
【解析】根据正方形的性质，由两个角度为的等腰直角三角形构成，即可得解．
【详解】根据题意，由正方形的性质，得
两个等腰直角三角形构成正方形，
即角度为．
【点睛】此题主要考查正方形的性质运用，熟练掌握，即可解题．
18.【答案】
【解析】利用斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据中垂线的性质求出的长度，利用勾股定理求出，进而求出的长．
【详解】解：，是的中点，
，
，
，是的中点，
，
，
，
解得：，
．
【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线和中垂线的性质，以及勾股定理解三角形．熟练掌握相关性质和勾股定理是解题的关键．
19.【答案】【小题】
，满足等式，
，，
解得：，．
【小题】
根据题意，得
．
的平方根为，
的平方根为．

【解析】根据实数的非负性，建立等式计算即可
根据平方根的定义计算即可．
20.【答案】【小题】
证明：是边的中点，是边的中点，，，
，，
，
，
是直角三角形，

【小题】
是边的中点，，
．
在中，，，，
，
，
的面积．

【解析】根据中点的定义和勾股定理的逆定理即可证明
根据中点的定义求出，根据勾股定理求出，再求出，然后利用三角形面积公式列式计算即可求解．
21.【答案】【小题】
因为，
所以向左平移个单位，再向上平移个单位后各点坐标为，，，作图如下：
则即为所求．
【小题】
因为，
所以关于轴对称后各点坐标为，，，作图如下：
所以．

【解析】先确定各点的起始坐标，再确定各点的平移坐标，依次连接即可得到图形．
先确定各点的起始坐标，再确定各点的对称坐标，依次连接即可得到图形．
22.【答案】【小题】
证明：平分，
．
又，
，
，
，
点在的垂直平分线上．
【小题】
解：如图，过点作，垂足为，
，，，
，．
，
，
，
平分，，，
．

【解析】由题意易得，，则有，然后问题可求证；
过点作，垂足为，然后可得，，进而根据含度直角三角形的性质及角平分线的性质定理可求解．
23.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
操作二：在中，．
由翻折的性质可知：，．
，
．
．
在中，．
．
．

【解析】由翻折的性质可知：，于是，从而可知的周长
解：操作一：翻折的性质可知：，
．
的周长．
故答案为：
设，则，由翻折的性质可知，然后根据直角三角形两锐角互余可知：，据此求解即可．
设，则．
由翻折的性质可知：，
，
．
解得：．
．
．
故答案为：
操作二：先利用勾股定理求得的长，然后利用面积法求得的长，在中，利用勾股定理可求得的长，由翻折的性质可知：，最后根据计算即可．
24.【答案】【小题】
证明：连接，，．
则，
即，
是等边三角形，
，
定值；
【小题】
存在