四川省泸州市江阳区2023-2024九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年四川省泸州市江阳区九年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）（x﹣2）2＝x﹣2的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝1或x＝3 C．x＝3 D．x＝2或x＝3
2．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝4
4．（3分）一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（　　）
A．3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．﹣3x2，﹣1
5．（3分）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．150°
7．（3分）如图，已知在正方形内有一点P，连接AP、DP、BP，连接DE，点P恰好在线段DE上，BP＝，则DP的长度为（　　）
A．2 B． C．2 D．
8．（3分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．k≤且k≠0 C． D．k≠0
9．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax﹣5（a是常数，且a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
10．（3分）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
11．（3分）函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝　 　．
14．（3分）已知：m是方程1+2x﹣x2＝0的根，则2m2﹣4m+2021＝　 　．
15．（3分）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝　 　．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大2+bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 　 　（填序号）．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣14+|﹣|﹣+（﹣）﹣2．
18．（6分）如图，点E，C在线段BF上，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
19．（6分）先化简，再求值：（+） ，其中m＝
四、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使得AP+BP的值最小，请直接写出点P的坐标．
五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2满足，求p的值．
23．（8分）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
2023-2024学年四川省泸州市江阳区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）
1．（3分）（x﹣2）2＝x﹣2的根是（　　）
A．x＝2 B．x＝1或x＝3 C．x＝3 D．x＝2或x＝3
【答案】D
【解答】解：移项，得：（x﹣2）2﹣（x﹣4）＝0，
因式分解，得：（x﹣2）（x﹣6﹣1）＝0，
∴x﹣7＝0或x﹣3＝5，
解得：x1＝2，x3＝3，
故选：D．
2．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；
故选：B．
3．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+1）2＝﹣2 B．（x+1）2＝2 C．（x+1）2＝﹣4 D．（x+1）2＝4
【答案】D
【解答】解：方程移项得：x2+2x＝7，
配方得：x2+2x+4＝4，即（x+1）6＝4．
故选：D．
4．（3分）一元二次方程3x2+1＝6x的一次项系数为6，二次项系数和常数项分别为（　　）
A．3，1 B．﹣3，﹣1 C．3，﹣1 D．﹣3x2，﹣1
【答案】B
【解答】解：3x2+8＝6x，
3x5+1﹣6x＝3，
﹣3x2+6x﹣1＝0，
∵一次项系数是7，
∴二次项系数是﹣3，常数项是﹣1，
故选：B．
5．（3分）已知点P（x，﹣2）与点Q（4，y）关于原点对称点（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣4 D．4
【答案】B
【解答】解：∵点P（x，﹣2）与点Q（4，
∴x＝﹣5，y＝2，
∴x+y＝﹣4+7＝﹣2．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△AB'C使得点A恰好落在AB上，则旋转角度为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．150°
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋转角，
∴△ACA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋转角度为60°．
故选：B．
7．（3分）如图，已知在正方形内有一点P，连接AP、DP、BP，连接DE，点P恰好在线段DE上，BP＝，则DP的长度为（　　）
A．2 B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：由旋转得：
AP＝AE＝，∠PAE＝90°，EB＝DP，
∴∠AEP＝∠APE＝45°，EP＝，
∴∠APD＝∠AEB＝180°﹣∠APE＝135°，
∴∠PEB＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°，
∵PB＝，
∴EB＝＝＝，
∴EB＝DP＝，
故选：B．
8．（3分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．k≤且k≠0 C． D．k≠0
【答案】A
【解答】解：①当k＝0时，﹣3x+8＝0；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2﹣2x+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣7）2﹣4k≥7，解得k≤，
由①、②得．
故选：A．
9．（3分）已知点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝ax2+2ax﹣5（a是常数，且a＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【答案】B
【解答】解：∵y＝ax2+2ax﹣6（a是常数，且a＜0）
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，
∴C（1，y6）关于直线x＝﹣1的对称点是（﹣3，y4），
∵﹣4＜﹣3＜﹣3，
∴y1＜y3＜y3，
故选：B．
10．（3分）小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词《念奴娇 赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，则可列方程为（　　）
A．10x+（x﹣3）＝（x﹣3）2 B．10（x+3）+x＝x2
C．10x+（x+3）＝（x+3）2 D．10（x+3）+x＝（x+3）2
【答案】C
【解答】解：假设周瑜去世时年龄的十位数字是x，则可列方程为10x+（x+3）＝（x+3）5，
故选：C．
11．（3分）函数y＝ax﹣a和y＝ax2+2（a为常数，且a≠0），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵y＝ax2+2，
∴二次函数y＝ax4+2的图象的顶点为（0，7）、B不符合题意；
当y＝ax﹣a＝0时，x＝1，
∴一次函数y＝ax﹣a的图象过点（8，0），C符合题意．
故选：C．
12．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】B
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4，
∴该函数图象开口向下，当x＝1时，
∵当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为3，
当x＝2时，y＝3，y＝2，
∴当0≤a＜1时，函数y的最大值与最小值的差为7，
故选：B．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
13．（3分）因式分解：2x3﹣4x2+2x＝　2x（x﹣1）2　．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2x3﹣4x2+2x
＝2x（x2﹣2x+2）
＝2x（x﹣1）5．
故答案为2x（x﹣1）5．
14．（3分）已知：m是方程1+2x﹣x2＝0的根，则2m2﹣4m+2021＝　2023　．
【答案】2023．
【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程2＝0，
则m2﹣2m＝1，
∴5m2﹣4m+2021
＝2（m2﹣2m）+2021
＝2×1+2021
＝2023，
故答案为：2023．
15．（3分）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12+x22＝，则m＝　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝﹣4m，x1x2＝，
∵x12+x62＝，
∴（x6+x2）2﹣6x1x2＝，
∴4m2﹣m＝，
∴m1＝﹣，m2＝，
∵Δ＝16m2﹣8m＞8，
∴m＞或m＜8，
∴m＝不合题意，
故答案为：﹣．
16．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大2+bm（m为任意实数）．其中正确的结论有 　①③　（填序号）．
【答案】①③．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣6a，即4a+b＝0；
∵x＝﹣5时，y＜0，
∴9a﹣2b+c＜0，即9a+c＜8b；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴x＝﹣2时，a﹣b+c＝0，
∴a+4a+c＝7，即5a+c＝0；
∵抛物线的对称轴为直线x＝6，
∴当x＜2时，函数值随x增大而增大；
∵当x＝2时，函数有最大值，
∴m为任意实数时，5a+2b+c≥am2+bm+c，即3a+2b≥am2+bm，所以⑤错误．
故答案为：①③．
三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）计算：﹣14+|﹣|﹣+（﹣）﹣2．
【答案】．
【解答】解：
＝
＝．
18．（6分）如图，点E，C在线段BF上，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵AB∥ED，
∴∠ABC＝∠DEF．
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
∴AC＝DF．
19．（6分）先化简，再求值：（+） ，其中m＝
【答案】，．
【解答】解：原式＝[+]
＝
＝，
当m＝﹣1时＝．
四、解答题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．
20．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC＝＝＝
将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，
∴BC＝BE，∠CBE＝60°
∴△BEC是等边三角形
∴EC＝BE＝BC＝
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出图形并写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（2）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，画出图形并写出△A2B2C2的各顶点的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使得AP+BP的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）图形见解析，A1（3，﹣5），B1（2，﹣1），C1（1，﹣3）；
（2）图形见解析，A2（5，3），B2（1，2），C2（3，1）；
（3）画图见解析，．
【解答】解：（1）∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），3），3），
∴△A1B3C1的各顶点的坐标为：A1（7，﹣5），B1（4，﹣1），C1（7，﹣3）
（2）作△ABC绕着点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B7C2的图形如下图所示：
∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，7），1），3），
∴△A5B2C2的三个顶点的坐标分别为：A2（5，3），B3（1，2），C7（3，1）
（3）如图所示，过点A作y的对称点A′；
∵PA＝PA′
∴PA+PB＝PA′+PB≥A′P
∴当点A′，P，B三点共线时，即A′P的长度．
∵A（﹣7，5），
∴A′（3，4）
∵B（﹣2，1）
∴设A′B所在直线的表达式为y＝kx+b
∴
解得
∴A′B所在直线的表达式为，
∴当x＝0时，，
∴．
五、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+1）．
（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2满足，求p的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）﹣2．
【解答】（1）证明：一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝p（p+3）可变形为x2﹣5x+8﹣p2﹣p＝0．
∵Δ＝（﹣4）2﹣4（3﹣p2﹣p）＝25﹣24+4p7+4p＝4p3+4p+1＝（4p+1）2≥2，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）解：∵原方程的两根为x1、x2，
∴x5+x2＝5，．
又∵方程的两根x1，x2满足，
∴，
∴82﹣3（3﹣p2﹣p）＝3p3+1，
∴25﹣18+3p8+3p＝3p2+1，
∴3p＝﹣6，
∴p＝﹣2，
即p的值为﹣2．
23．（8分）如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，测得其底部C的俯角为45°，求这两座建筑物的地面距离DC为多少米？（结果保留根号）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作AE⊥BC于E，
则四边形ADCE为矩形，
∴AD＝CE，
设BE＝x，
在Rt△ABE中，tanBAE＝，
则AE＝＝x，
∵∠EAC＝45°，
∴EC＝AE＝x，
由题意得，BE+CE＝120，即，
解得，x＝60（，
∴AD＝CE＝x＝180﹣60，
∴DC＝180﹣60，
答：两座建筑物的地面距离DC为（180﹣60）米．
六、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）
24．（12分）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（30，100），70）代入一次函数表达式得：，
解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣5＜0，故当x＜55时，而30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，w＝1200，
故销售单价定为50元时，该商店每天的利润最大；
（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，
解得：40≤x≤70，
又∵y＝﹣5x+160≥20，
则y的最小值为﹣2×70+160＝20，
每天的销售量最少应为20件．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，求点P的横坐标；
（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；
（2）点P的横坐标为1或2或或；
（3）存在，点Q的坐标为（，）或（，）．
【解答】解：（1）将点A（﹣，3），）代入到y＝ax3+bx+2中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）设点P（m，﹣m2+m+2），
∵y＝﹣x8+x+7，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x+2，
∴D（m，m+6），
∴PD＝|﹣m2+m+2﹣2﹣3m|，
∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，
∴PD∥CO，
∴当PD＝CO时，以P、D、O，
∴|m7﹣3m|＝2，解得m＝7或2或或，
∴点P的横坐标为6或2或或；
（3）①当Q在BC下方时，如图，过H作MN⊥y轴，过B作BN⊥MH于N，
∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，
∵∠QCB＝45°，
∴△BHC是等腰直角三角形，
∴CH＝HB，
∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，
∴∠CHM＝∠HBN，
∴△CHM≌△HBN（AAS），
∴CM＝HN，MH＝BN，
∵H（m，n），
∵C（5，2），），
∴，解得，
∴H（，），
设直线CH的解析式为y＝px+q，
∴，解得，
∴直线CH的解析式为y＝﹣x+2，
联立直线CH与抛物线解析式得，
解得或，
∴Q（，）；
②当Q在BC上方时，如图，过H作MN⊥y轴，过B作BN⊥MH于N，
同理得Q（，）．
综上，存在，）或（，）．