人教B版（2019）必修第二册《4.1.1 实数指数幂及其运算》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）若，则
A. B. C. D.
2.（5分）若实数，则下列等式成立的是
A. B.
C. D.
3.（5分）若，则下列等式正确的是
A. B. C. D.
4.（5分）设定点、，动点满足条件，则点的轨迹是
A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在
5.（5分）若是一个完全平方式，则等于
A. B. C. D.
6.（5分）如图所示，平行六面体中，，，，，则与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7.（5分）下列各式正确的是
A. B.
C. D.
8.（5分）设，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）对于，下列运算正确的是
A. B.
C. D.
10.（5分）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面下列说法正确的是
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
11.（5分）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是
A. B.
C. D.
12.（5分）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的有
A. B.
C. D.
13.（5分）已知集合，，，则实数取值为
A. B. C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分） 已知是奇函数，且当时，，若，则a=_____________.
15.（5分） ______ ．
16.（5分）在等差数列中，，如果是与的等比中项，那么__________.
17.（5分）化简：______．
18.（5分）化简的结果为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）求值：．
20.（12分）如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，平面平面，且，分别为，的中点.
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值.
21.（12分）计算：
；
已知且，求的值．
22.（12分）化简求值：
；
其中，．
23.（12分）计算的值；
若，求的值．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
该题考查了根式的化简，属于基础题．
由题意可得，即可求出答案．
解：，，
，
，
故选D．
2.【答案】D;
【解析】【试题解析】
此题主要考查了指数与指数幂的运算，属于基础题．
根据指数幂的运算性质依次计算即可．
解：对于，，故错误，
对于，，故错误，
对于，，故错误，
对于，，故正确，
故选
3.【答案】C;
【解析】
根据指数幂的运算法则计算即可求出答案．
该题考查指数幂的运算性质，属于基础题．
解：若，则，
则，
故选：．
4.【答案】C;
【解析】
此题主要考查与椭圆有关的轨迹问题，属于基础题.解：，
，
，当时，点的轨迹为线段，
当时，点的轨迹为椭圆，应选项.
5.【答案】D;
【解析】解：是一个完全平方式，
，解得
故选：
由题意可得：，解得
此题主要考查了乘法公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了空间向量的加法，减法，数量积运算，属于中档题.
分别用表示出向量与，由向量的数量积公式即可求解.解：设，，，则，，，
，，
，
，与所成的角为，与所成角的余弦值为，选
7.【答案】C;
【解析】
利用平方根、立方根与根式及根式的化简运算，求解即可．
该题考查平方根、立方根与根式及根式的化简运算，基本知识的考查．
解：A错误，应为，
B错误，应为，
D错误，应为，
故正确的是：，
故选：．
8.【答案】A;
【解析】解：由题意知，，
，
，
，
故选：．
和和进行比较，再比较大小．
该题考查指数幂以及对数，属于简单题．
9.【答案】BD;
【解析】【解析】
选项
选项
选项
选项
10.【答案】CB;
【解析】
此题主要考查了线面位置关系的判定问题，也考查了推理论证能力与空间想象能力，是基础题．
中，与可以平行、异面或者相交；根据面面平行的性质，线面垂直的性质可判断正确；
根据面面垂直的判定定理可知正确；可举反例判定错误．解：对于，，，与可以平行、异面或者相交，故错误
对于，因为，，所以，又，所以，故正确
对于，由，则存在直线，使得，又，所以，且，所以，故正确
对于，因为，可设，则当，时，可得到，，但此时，故错误.
11.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查根式和分数指数幂的运算，属于基础题，熟练掌握运算性质及根式的意义是做题的关键.
解：由于，故错误；
由于代入，，而，所以错误；
由于，所以正确；
由于 ，所以错误.
所以不正确的是
故答案为
12.【答案】ABD;
【解析】此题主要考查了指数幂的运算法则，考查了计算能力，属于基础题．
利用指数幂的运算法则即可得出．
解：，故错误；
B. ，故错误；
C.，故正确；
D.当时， 不成立，故错误.
故选
13.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查集合的包含关系及并集运算，同时考查了分类讨论的数学思想.
由题意，化简，结合方程可知为，，，从而解得．解：，，
当时，方程无解，则，
当时，即，方程的解为，
因为，所以或，解得或，
综上或或
故选
14.【答案】;
【解析】因为已知是奇函数，
所以，
且当时，，
所以，
得，
解得.
故答案为：.
15.【答案】;
【解析】解：
．
故答案为．
把化为，化为，化为，化为，然后进行有理指数幂的化简求值．
该题考查了有理指数幂的化简求值，解答的关键是熟记有关公式，此题是基础题．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查等差数列的通项公式及等比中项的运用，属于基础题.
根据题意，由等差数列的通项公式以及等比中项求解.
解：设等差数列的公差为，由题意得，又是与的等比中项，
，即，，解得或舍去
17.【答案】89;
【解析】解：
故答案为：．
根据指数幂的运算法则求解即可；
该题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
18.【答案】;
【解析】解：原式，
故答案为：．
利用指数幂的运算性质即可得出．
该题考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
19.【答案】解：原式
．;
【解析】
根据指数幂的运算性质计算即可．
该题考查了指数幂的运算性质，熟练掌握是解答该题的关键，本题是一道基础题．
20.【答案】解：证明： 取中点， 连接，
因为是中点，，且
是的中点，则，且，
，且
四边形是平行四边形，
又平面，平面，
平面
是正三角形边的中点，则
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
四边形为菱形，，
正三角形中，
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.
不妨设菱形的边长为，
则，，，，
则点，，，，，
，
设平面的法向量为，
则即解得，
不妨令，得
设与平面所成角为，
又，
，，
所以与平面所成角的正弦值为
;
【解析】此题主要考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
取中点，利用条件可推出四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理即可证明平面
以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出，利用空间向量的数量积求解与平面所成角的正弦值．
21.【答案】解：（1）
=
=
=
=；
（2）由x＞0，x+=3，得，
即，得，
由x+=3，得++2=9，则+=7，
因此．;
【解析】
利用指数幂的运算法则计算即可求出结果；
利用，进行恒等变形可以求出的值，再对进行平方运算，可以求出的值，最后求出所求式子的值．
该题考查了指数幂的运算公式，考查了完全平方和公式的应用，考查了数学运算能力，是基础题．
22.【答案】解：（1）=；
（2）原式= （xy）= =xy．;
【解析】
利用指数幂的运算性质即可得出．
该题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
23.【答案】解：（Ⅰ）原式=++1-=+27+1-=31．
（Ⅱ）若+=，
∴x++2=5，∴x+=3，
∴++2=9，
∴+=7．;
【解析】
利用有理数指数幂的运算性质求解．
此题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
