仪陇中学 2023—2024学年度上期第二次月考
高二数学试卷
满 分：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分）
1．若一条直线经过两点 1,0 和 2, 3 ，则该直线的倾斜角为（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
x22 y
2
．双曲线 1上 P点到左焦点的距离是6，则 P到右焦点的距离是（ ）
16 9
A．12 B．14 C．16 D．18
3．方程 x2 y2 4x 2y 5m 0表示圆，则m的范围是（ ）
A．m 1 B．m 1 C．m 1 D．m 1
4．已知棱长为 2的正方体的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．12 B．8 C． 4 D． 2
5．高二（1）班 7人宿舍中每个同学的身高分别为 170，168，172，172，175，176，180，
求这 7人的第 60百分位数为（ ）
A．168 B．175 C．172 D．176
6 2．我们把离心率为 的椭圆称为“最美椭圆”，已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在 x轴上，
2
且以椭圆C上一点 P和椭圆两焦点 F1和F2为顶点的三角形的面积最大值为 4，则椭圆C的
方程为（ ）
x2 x2 y2 2 2 2 2A． y2 1 B 1 C x y x y ． ． 1 D． 1
2 4 2 6 3 8 4
2 2
7 x y．若过椭圆 1内一点 P 1,1 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（ ）
4 2
A． x 2y 1 0 B． x 2y 3 0 C． x 2y 3 0 D． x 2y 3 0
8．已知球O的半径为 2， A、B是球面上的两点，且 AB 2 3，若点 P是球面上任意一
点，则 PA PB的取值范围是（ ）
A． 1,3 B． 2,6 C． 0,1 D． 0,3
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二、多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
9．直线 l的方向向量 a 1, 3,5 ，平面 的法向量 n 1,3, 5 ，则下列结论不正确
的有（ ）
A． l // B． l C． l与 斜交 D． l
10．过点 A 4,1 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． x y 5 B． x y 5 C． x 4y 0 D． x 4y 0
11．已知 , 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 l, A 且 A ，则 A l
B．若 A,B,C 是平面 内不共线三点， A ,B ，则C
C．若直线 a ，直线b ，则 a与b为异面直线
D．若直线 a,b是异面直线，直线b,c是异面直线，则直线 a,c异面
2 2
12．已知双曲线C : x y2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点分别为F1、F2，左、右顶点分别a b
为 A1、 A2， P 为双曲线右支上的一点，且直线 PA1与PA2 的斜率之积等于 3，则下列说
法正确的是（ ）
A．双曲线C的渐近线方程为 y 3x
B．若 PF1 PF2，且 S PF F 6，则 a 11 2
C．分别以线段 PF1、 A1A2为直径的两个圆内切
D． PF2A1 2 PA1F2
三、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13．已知 a 2,3,m ，b 2, 1,1 ，若 a b，则实数 m的值为 ．
2 2
14．若直线 y kx 1 x y与椭圆 1恒有公共点，则实数 m的取值范围是 ．
5 m
x2
15．已知双曲线 y2 1的两个焦点分别为 F1、F2，点 P在双曲线上且满足 F1PF2 =60°，4
则 F1PF2的面积为 ．
x216 A B y
2
．已知 ， 为椭圆 1上两个不同的点，F 为右焦点， AF BF 4，若线
9 5
段 AB的垂直平分线交 x轴于点T ，则 FT = ．
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四、解答题(本大题共 6小题，共 70分)
17．(10分) ABC的三个顶点是 A 4,0 ，B 6,7 ，C 0,3 ，求：
(1)边 BC上的中线所在直线的方程；
(2)边 BC上的高所在直线的方程．
18．(12分)已知圆C过 A 2,2 ， B 2,6 两点，且圆心 C在直线3x y 0上．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线3x 4y 20 0与圆 C相交于M ,N 两点，求弦MN 的长度．
π
19．(12分)已知函数 f (x) sin 2x cos
2 x sin 2 x, x R．
6
(1)求函数 f x 的最小正周期及对称中心；
(2)求函数 y f x 在 x 0, 值域．
2
20．(12分)某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的新能源汽车，约定从今年
元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的补贴。某调研机
构对已购买该品牌汽车的消费者，就补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率
分布直方图如图所示.：
(1)求实数 a的值；
(2)估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的中位数（；精确到0.01）
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(3)现在要从补贴金额的心理预期值在 3,5 的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取 6人，
再从这 6人中随机抽取 2人进行调查，求抽到 2人中补贴金额的心理预期值都在 3,4 间的
概率．
21．(12分)如图，在四棱锥 E ABCD中，底面 ABCD为正方形， ED 平面 ABCD，
ED DC， F 为 AE的中点，G为 BE上一点．
(1)求证：CE //平面 FBD；
(2)若 BD 面GAC，求平面GCD与平面 BCD的夹角 ．
2 2 3
22 x y．(12分)已知椭圆C： 2 2 1 a b 0 过点 A 2,0 ，右焦点为 F ，纵坐标为a b 2
的点M 在C上，且 AF MF ．
(1)求C的方程；
(2)设过 A与 x轴垂直的直线为 l，纵坐标不为 0的点 P为C上一动点，过 F 作直线 PA 的
垂线交 l于点Q，证明：直线 PQ过定点．
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高二数学参考答案
1．C
【分析】应用直线斜率公式，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】因为一条直线经过两点，，
所以该直线的斜率为，
则有该直线的倾斜角满足，因为，
所以，
故选：C
2．B
【分析】根据双曲线的定义可求到右焦点的距离.
【详解】设双曲线的左焦点为，右焦点为，
则，故，故或（舍）.
故选B.
3．B
【分析】根据方程表示圆，应当满足求解即可.
【详解】因为方程表示圆，
所以，解得：.
故选：B.
4．A
【分析】利用正方体外接球的直径为正方体的体对角线，容易求解．
【详解】棱长为2的正方体，其体对角线长为2 ，
而正方体的外接球直径即为正方体的体对角线，
故外接球半径为，
∴
故选A．
5．B
【分析】将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.
【详解】将7人的身高从低到高排列：
第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为
故选：B
6．D
【分析】先由得到与，再由的最大值得，进而求得，，故可得到椭圆C的方程.
【详解】由已知，得，故，
∵，即，
∴，得，故，
所以椭圆C的方程为.
故选：D.
7．C
【分析】设出端点，代入椭圆，两式作差，变形，即可得到直线的斜率，再由点斜式写出直线即可．
【详解】设弦两端点为，则
①-②得 即直线为
化简得
故选C
8．B
【分析】作出图形，取线段的中点，利用向量的加法法则可得，，可得出，求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围.
【详解】作出图形，取线段的中点，连接、、、、，可知，
由勾股定理可得，且有，
由向量的加法法则可得，，
.
，由向量的三角不等式可得，
，所以，.
因此，的取值范围是.
故选：B.
9．ABC
【分析】判断直线l的方向向量与平面的法向量的位置关系，从而可得直线l与平面的位置关系.
【详解】解：因为，，
则，所以，
所以，
故不正确的结论有ABC.
故选：ABC.
10．AC
【分析】分两种情况求解，过原点时和不过原点时，结合所过点的坐标可求.
【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，
即.
故选：AC.
直线在两坐标轴上截距相等时，有两种情况：一是直线经过坐标原点；二是直线斜率为.
11．AB
【分析】确定，A正确，若推出和重合，得到B正确，CD选项都有多种情况，错误，得到答案.
【详解】对选项A：若且，则，正确；
对选项B：若，又，则和重合，不成立，正确；
对选项C：直线，直线，则与为异面直线或或相交，错误；
对选项D：若直线是异面直线，直线是异面直线，
则直线异面或相交或平行，错误；
故选：AB
12．ACD
【分析】通过求得，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A选项的正确性；结合三角形的面积以及双曲线的定义求得，由此判断B选项的正确性；通过圆心距和两个圆半径间的关系判断C选项的正确性；结合二倍角的正切公式来判断D选项的正确性.
【详解】对于A选项，设点，则，
因为、，所以，
由，得，故双曲线的渐近线方程为，A对；
对于B选项，因为，所以，
根据双曲线的定义可得，
又因为，所以，整理得.
由，可得，
即，解得，B错；
对于C，设的中点为，为原点.因为、分别为、的中点，
所以，
则可知以线段、为直径的两个圆内切，C对；
对于D，当点在第一象限时，设点，则，.
因为渐近线方程为，
所以，.
当时，即当轴时，则，
所以，，可得，所以，，
此时，为等腰直角三角形，则，满足；
当时，，，
所以
，
因为，所以；
当点在第四象限时，同理可得，
综上可知，D对.
故选：ACD.
13．7
【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合空间向量垂直的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以，解得．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了空间向量垂直的性质，考查了空间向量数量积的坐标表示公式，考查了数学运算能力.
14．且
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.
【详解】由直线，则可知其过定点，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则，解得且.
故答案为：且.
15．
【分析】根据双曲线定义以及余弦定理得,再根据面积公式得结果.
【详解】因为
,
所以，
16．
【分析】设,利用焦半径公式得到,设，写出垂直平分线方程，代入，化简得到值，最终求出的值.
【详解】取椭圆方程为，，直线方程为（椭圆右准线），
椭圆上点，右焦点，设点到直线的距离为d，
则
，
所以，
因为本题椭圆离心率:，设
由焦半径公式:得:,
即中点，，则垂直平分线斜率为
根据点在椭圆上，则有，，作差化简得，
则线段的垂直平分线方程为,代入得:
,即,则.
故答案为：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式求出BC边中点的坐标，再根据两点式写出直线的方程；
（2）根据垂直关系求出斜率，再写出点斜式直线方程得出结果.
【详解】（1）因为，，则BC边中点E的坐标为，，
则直线AE的方程为，即；
（2）因为，，则，
∵BC边上的高与BC垂直，∴BC边上的高所在直线的斜率为，
∴BC边上的高所在的直线方程为，即．
18．（1）；（2）.
【分析】（1）设圆的圆心为，半径为，由题意，列出关于、、的方程组即可求解；
（2）结合（1）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理即可求出弦的长．
【详解】解：（1）根据题意，设圆的圆心为，半径为，则圆方程为，
又由圆过，两点，且圆心在直线上，
则有，解可得，，，
所以圆的方程为；
（2）由（1）知圆的圆心，半径为4，
所以点到直线的距离，
所以．
19．(1)，；
(2).
【分析】（1）由三角恒等变换可得正弦型三角函数，据此求周期、对称中心即可；
（2）利用整体代换法求正弦函数的值域即可.
【详解】（1）
所以函数的最小正周期为
，令，
解得
∴的对称中心是
（2）令由，则，
则，
所以的值域是.
20．(1)
(2)中位数的估计值为万元
(3)
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）首先判断中位数位于内，设中位数为，再根据中位数计算规则得到方程，计算可得；
（3）根据分层抽样求出、中抽取的人数，再用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）解：由题意知，，
解得.
（2）解：因为，则中位数在区间内，
设中位数为，则，
得，所以中位数的估计值为万元
（3）解：从补贴金额的心理预期值在的已购车消费者中用分层抽样的方法抽取6人，
则补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，，，
补贴金额的心理预期值在间的有人，记为，，
则基本事件有，，，，，，，，
，，，，，，，共15种情况.
其中补贴金额的心理预期值都在间有，，，，，，共种情况，
所以抽到人中补贴金额的心理预期值都在间的概率.
21．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）连接交于点O，连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（2）连接，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，设，分别求得平面和的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接交于点O，连接，
由是正方形可得，O是的中点，又由F为的中点，
在中，为中位线，所以，
因为平面，且平面，所以平面.
（2）解：连接，由面，因为面，所以，
又由平面，且面，所以，所以，
所以点G为的中点，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，
则，，，所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以平面的一个法向量为，
又平面的一个法向量为，
所以，所以平面与平面的夹角.
22．(1)
(2)过定点；证明过程见详解
【分析】（1）由题可得，结合条件可知，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得解；
（2）设点，求出点的坐标，写出直线的方程，结合条件变形即得.
【详解】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程得，
所以，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以，
所以，
所以，
所以直线过定点．
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
