2023—2024学年第一学期九年级数学科期末模拟测试试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图案代表四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向右平移2个单位，再向上平移4个单位，可得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，都在双曲线上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．明天下雨 B．15个人中至少有两个人出生在同月
C．三角形内角和为180° D．太阳从西方升起
6．在平面直角坐标系中，已知点，点，以点A为圆心，长为半径作，则原点O与的位置关系是（ ）
A．点O在上 B．点O在外 C．点O在内 D．以上皆有可能
7．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( )
A． B． C． D．
8．在一个不透明的袋子中，装有红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其它都相同．若小李通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在和，则该袋子中的白色球可能有（ ）
A．6个 B．16个 C．18个 D．24个
9．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
10．二次函数(a，b，c是常数，)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
… 0 1 2 …
… …
且当时，其对应的函数值．有下列结论：①；②对称轴为；③和3是关于x的方程的两个根；④其中，正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为 ．
12．如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为3，则k＝ ．
13．现有一个圆心角为，半径为6cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径为 cm．
14．若关于的一元二次方程的解是，则的值 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，17，18题每题7分，共24分．
16．（1）解方程：．
（2）一个扇形的半径为4，扇形的弧长为，求扇形的圆心角的度数．
17．实施“双减”政策后，某校每周举行一次学科实践作业秀活动，内容有布艺、剪纸、卡通画（分别用A，B，C依次表示这三种作业）．小聪和小明计划每人选择一种作业，上述三种作业中的每一种作业被选中的可能性均相同．请你用列表法或画树状图法，求小聪和小明选择同一种作业的概率．
18．如图，利用一面墙（墙长20米），用总长43米的篱笆（图中实线部分）围成一个矩形鸡舍，且中间共留两个1米的小门．设篱笆长为x米．
(1)______米（用含x的代数式表示）；
(2)矩形鸡舍的面积的最大值是多少？说明理由．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
(1)填空：的值为_______；
(2)求线段对应的函数解析式；
(3)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．
20．如图，在中，．
(1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）；
(2)求（1）中所作外接圆的半径．
21．如图，把矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AEFG，使点E落在对角线BD上，连接DG，DF．
(1)若∠BAE＝50°，求∠DGF的度数；
(2)求证：DF＝DC．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，，且与相交于点．
(1)求证：与相切；
(2)当时，求弦和弧所夹图形的面积；
(3)在（2）的条件下，在弧上取一点，使，连接交弦于点，求的长度是多少？
23．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，顶点为D，连接，P是第一象限内抛物线上的动点，连接，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线上一点，求的最小值；
(4)过P点作轴，交于E点．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，因为找不到一个点使图形绕该点旋转后能够与自身重合，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2．C
【分析】根据函数图象平移法则“左加右减、上加下减”，将题中文字描述转化为数学符号即可解决问题．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移4个单位，根据函数图象平移法则“左加右减、上加下减”，
可得平移后的抛物线解析式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟记函数图象平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．
3．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，根据题意得：反比例函数图象位于第一、三象限内，再根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】解：根据题意得：反比例函数的图象位于第一、三象限内，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，且点位于第一象限内，点、位于第三象限内，
∴，，
∴．
故选：C．
4．C
【分析】根据旋转的性质可以得到，进而得到，再根据已知条件求出的度数．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转角是解题的关键．
5．A
【分析】根据三角形内角和定理，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【详解】解：A、明天下雨，是随机事件，故A符合题意；
B、15个人中至少有两个人出生在同月，是必然事件，故B不符合题意；
C、一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故C不符合题意；
D、早上的太阳从西方升起，是不可能事件，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
6．C
【分析】先根据勾股定理求出的半径，根据可得出点O在内．
【详解】解：平面直角坐标系中，点，点，
，，
，即的半径，
，
点O在内，
故选C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，解题的关键是根据勾股定理求得的半径．
7．B
【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
设该反比函数解析式为，
当时，，
即电流为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．
8．B
【分析】先由频率之和为1计算出白球的频率，再由数据总数频率频数计算白球的个数，即可求出答案．
【详解】解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在和，
∴摸到白球的频率为，
故口袋中白色球的个数可能是个．
故选：B．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
9．B
【分析】根据一元二次方程成立的条件和常数项为0列出方程组，解方程组即可求解．
【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0，
则，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的含义，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】①根据表中数据判断的正负即可；②根据，，，，可得对称轴为直线；③根据对称轴为直线，再根据二次函数的对称性得出结论；④把和代入抛物线解析式求出的值，再根据的取值范围得出结论．
【详解】解：①当时，，
当时，，
，
，
，
故①正确；
②根据，，，，可得对称轴为直线；
故②错误；
③对称轴为直线
时则时，
和是关于的方程的两个根；
故③正确
④，，
，
，
当时，其对应的函数值
，故④错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．
11．（-1，5）
【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解．
【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，
∴点B的坐标为（-1，5）．
故答案为：（-1，5）
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．
12．6
【分析】设点的坐标为，则，先利用三角形的面积公式可得，再将点代入反比例函数的解析式即可得．
【详解】解：由题意，设点的坐标为，
轴于点，
，
的面积为3，
，
解得，
将点代入得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数与几何面积，熟练掌握反比例函数的几何应用是解题关键．
13．2
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【详解】解：圆锥的底面周长是：．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=．
解得：r=2．
故答案是：2．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把代入原方程得到，再根据，把整体代入求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的解是，
∴，
∴，
∴，
15．
【分析】将四分之一圆孤对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可．
【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕O点顺时针旋转所得，
∴，
又∵为点绕C点顺时针旋转所得，
∴，
由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1，
又∵，
故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，弧长公式，熟知相关计算方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进而配方，据此解方程即可；
（2）设扇形的圆心角的度数为n，根据弧长公式建立方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）设扇形的圆心角的度数为n，
由题意得，，
∴，
∴这个扇形的圆心角度数为．
17．
【分析】画树状图，根据树状图列出所有等可能的情况，找出符合条件的的情况，然后利用概率公式计算即可．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中小贤和小安选择同一种作业的结果数为3，
所以小贤和小安选择同一种作业的概率．
【点睛】本题考查画树状图求概率，列举法求概率，掌握画树状图的方法，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A的概率．
18．(1)
(2)最大值为，理由见解析
【分析】（1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长；
（2）把二次函数表达式化成顶点式，再根据二次函数的性质求得结果．
【详解】（1）设篱笆长为x米，
∵篱笆的全长为43米，且中间共留两个1米的小门，
∴米．
故答案为：；
（2）由题意得
∴对称轴是直线
由题意得
∵，即
∴
∵抛物线的开口向下，x的取值在抛物线对称轴的右侧，在对称轴右侧S随x的增大而减小
∴当x取最小值时，S取最大值
∴时，
【点睛】本题考查了二次函数的应用、列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准数量量关系，正确列出函数解析式，利用二次函数的性质求解．
19．(1)21
(2)
(3)
【分析】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数解析式．解答时应注意临界点的应用．
（1）由线段轴，且点的纵坐标为100，代入，即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）将分别代入和，即可求解．
【详解】（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100，
∴，
解得，
故答案为：21；
（2）解：设线段的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴线段的解析式为；
（3）解：在中，当时，，
解得，
在中，当时，，
解得，
∴，
∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为．
20．(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案；
（2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：如图所示：
于，且，，
，
在中，，则，
在中，，则，
设，则，即，解得，
（1）中所作外接圆的半径．
【点睛】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．
21．(1)∠DGF=25°；
(2)见解析
【分析】（1）由旋转的性质得出AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出答案；
（2）证出四边形ABDF是平行四边形，由平行四边形的性质可得出结论．
【详解】（1）解：由旋转得AB=AE，AD=AG，∠BAD=∠EAG=∠AGF=90°，
∴∠BAE=∠DAG=50°，
∴∠AGD=∠ADG==65°，
∴∠DGF=90°-65°=25°；
（2）证明：连接AF，
由旋转得矩形AEFG≌矩形△ABCD，
∴AF=BD，∠FAE=∠ABE=∠AEB，
∴AF∥BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=DC．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟记矩形的性质并准确识图是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】对于（1），连接，得，根据直角三角形的性质得，得，再根据切线的性质得，进而得出，可得答案；
对于（2），根据求出解即可；
对于（3），先证明平分，由三线合一得性质可证，再根据勾股定理求出，进而得出的长．
【详解】（1）连接，
∵是直角三角形的外接圆，
∴．
在中，M为的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵为的切线，
∴，
∴
即．
∵为的半径，
∴与相切；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
根据勾股定理，得
∴；
（3）如图，，，
∴等边三角形中，平分，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，扇形的面积，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质等，构造辅助线是解题的关键．
23．(1)抛物线的解析式为：
(2)当时，的面积最大，最大面积为32
(3)
(4)存在，P点的坐标为，，
【分析】（1）利用待定系数法求解析式；
（2）利用抛物线的解析式求出点B的坐标，得到直线的解析式，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G，利用求出解析式，利用函数性质解答即可；
（3）作O关于直线的对称点为，得到四边形为正方形，则，则，当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，勾股定理求出即可．
（4）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出点P的坐标
【详解】（1）解：由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）当时，得或，
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得
∴直线的解析式为．
如图，过点P作轴，交x轴于点F，交于点G．
设点，．
∴．
∴，
∴当时，的面积最大，最大面积为32；
（3）作O关于直线的对称点为，连接，如图，
∵，，
∴四边形为正方形，则，
则，
当A、M、三点共线时，最小，即为线段的长，
∴最小值为．
（4）∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
，
，
当时，，解得或，
∴；
当时，则，
∴，
解得（舍去）或，
∴；
当时，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
综上，P点的坐标为，，．
【点睛】此题考查二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，勾股定理，轴对称问题，等腰三角形的性质，图形面积问题，综合掌握各知识点是解题的关键．
