2023-2024学年第一学期第三次阶段性练习
初三数学
一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，每题只有一个正确选项）
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，各边都扩大倍，则锐角的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大倍 C．缩小 D．不能确定
3．将抛物线向左平移2个单位后所得抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
6．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：米）
A． B． C． D．10
7．函数与的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线，且相邻的两条平行直线间的距离均等，将一个含的直角三角板按图示放置，使其三个顶点分别在三条平行线上，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，动点P从点A开始沿向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，P点到达B点运动停止，则的面积S随出发时间t的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
11．二次函数的图象与y轴的交点坐标是 ．
12．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
13．已知：，则锐角的度数为 ．
14．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为，测得底部C的俯角为，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为，那么该建筑物的高度为 米．（结果保留根号）
15．如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．
16．已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是 ．
三、解答题（共9小题，满分86分）
17．计算：．
18．在中，，求的长．
19．已知一个二次函数图象的顶点是，且与y轴的交点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当y的值随x值的增大而增大时，写出x的取值范围为______．
20．商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯．如图，已知原阶梯式扶梯长为，且坡角，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：）
21．已知函数．
(1)求证：无论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点；
(2)若函数图象不经过第三象限，则m的取值范围为______．
22．如图，中，，，的平分线与边交于点，与外角的平分线交于点．
(1)求的值；
(2)求点到直线的距离．
23．一人一盔安全守规，一人一带平安常在．某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 60 70 80 90 …
销售量y（件） 280 260 240 220 …
(1)求y与x的表达式；
(2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
(3)若获利不得高于进价的，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，完成以下操作步骤：
①连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为．
②在轴上多次改变点的位置，用（1）的方法得到相应的点，把这些点用平滑的曲线连接起来．观察画出的曲线，猜想它是我们学过的哪种曲线．
某数学兴趣小组在探究时发现在轴上取几个特殊位置的点，可以求出相对应的点的坐标；
例如：取点，过作轴于点．
，
在中，根据勾股定理得．
________；
在的垂直平分线上
，
解得：________．
(1)请帮忙完成以上填空；
(2)请你帮该数学兴趣小组求出点所在曲线的解析式；
(3)兴趣小组在建立平面直角坐标系时受纸张大小的限制，若点只能在的范围内移动，求的取值范围．（直接写出答案）
25．如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
(1)求a的值．
(2)将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】A项，是二次函数，故本项符合题意；
B项，不是二次函数，故本项不符合题意；
C项，不是二次函数，故本项不符合题意；
D项，不是二次函数，故本项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义及一般形式是解题的关键．二次函数的一般式是，其中 ．
2．A
【分析】本题考查锐角三角函数的意义，在中，各边都扩大倍，其相应边长的比值不变，因此锐角的正切函数值也不会改变，理解锐角三角函数的意义是正确判断的关键．
【详解】解：锐角三角函数值随着角度的变化而变化，而角的大小与边的长短没有关系，
因此锐角的正切函数值不会随着边长的扩大而变化，
故选：．
3．A
【分析】根据向左平移横坐标减，纵坐标不变求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴抛物线向左平移2个单位后的顶点坐标为，
∴所得抛物线的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的图形与变换——平移，解题的关键是熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”．
4．A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，把A，B两点横坐标代入函数解析，求出y的值，再进行比较即可．
【详解】解：∵点都在二次函数的图象上，
∵当时，；
当时，；
∴
故选：A．
5．B
【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可；
【详解】∵是关于的二次函数，
∴，
解得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：设坡角为，由题意得：，则可设所在直角三角形的两条直角边分别为，所以斜边长为，
∴，
∵该滑块沿斜坡向上移动了10米，
∴滑块上升的高度为米；
故选A．
7．B
【分析】本题可由一次函数和二次函数的图象得到字母系数的正负，然后相比较看是否一致．
【详解】解：由解析式可得：抛物线对称轴x=0；
A、由一次函数图像，可得k＜0，b<0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点为（0,0）；本图象与b的取值相矛盾，故A错误；
B、由一次函数图像，可得k＞0，b>0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由一次函数图像，可得k＞0，b>0，，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由一次函数图像，可得k＞0，b<0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数及一次函数和图象，解决此类问题关键在于数形思想结合看图，得到字母系数的符号，然后进行比较看是否产生矛盾.
8．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识点．过点A作于D，过点B作于E，根据同角的余角相等求出，然后证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，最后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可解答．
【详解】解：如图：过点A作于D，过点B作于E，
设 间的距离为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在等腰直角中，，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：，且，
∵，
∴，
∴（），
∴的面积S随出发时间t的函数图象符合二次函数的图象特征；
故选C．
10．D
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线与抛物线C2相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴B（4，0），A（8，0）．
∴抛物线向左平移4个单位长度．
∴平移后解析式．
当直线过B点，有2个交点，
∴．
解得m=2．
当直线与抛物线C2相切时，有2个交点，
∴．
整理，得x25x2m=0．
∴△=25+8m=0．
∴m=．
如图，
∵若直线与C1、C2共有3个不同的交点，
∴＜m＜2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
11．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可把代入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】解：把代入得：，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是；
故答案为．
12．
【分析】本题主要考查二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解函数图象；因此此题可根据函数图象直接进行求解．
【详解】解：根据不等式可知：一次函数的图象需在二次函数的图象上方，
∴由图象可知：当时，满足；
故答案为．
13．75°
【分析】由可知，据此解题．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角的正切值，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．##
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴；
故答案为．
15．##0.5
【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解．
【详解】解：中，，
，
由折叠的性质可得，，，
．
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等．
16．且
【分析】本题考查二次函数与轴的交点，根据，且解出的范围即可求出答案．解题的关键是正确列出进行计算．
【详解】解：由题意可知：且，
解得：且，
故答案为：且．
17．
【分析】利用二次根式和绝对值的性质化简，代入特殊角三角函数值，然后计算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，特殊角三角函数值的运算，熟练掌握二次根式的性质，牢记特殊角三角函数值是解题的关键．
18．12
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键；
（1）由题意可设，然后把点代入求解即可；
（2）由题意易得该二次函数的对称轴为直线，然后利用二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意可设二次函数的解析式为，把点代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式为；
（2）解：由（1）可知：，对称轴为直线，
∴当y的值随x值的增大而增大时，x的取值范围为；
故答案为．
20．
【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得，然后利用三角函数可进行求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
21．(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）根据可进行求解；
（2）由（1）可知二次函数的图象与x轴始终有2个不同的交点，且该图象不经过第三象限，然后可列不等式组进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
∵，
∴，
∴无论m为任何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点；
（2）解：由（1）可知：二次函数的图象与x轴始终有2个不同的交点，且该图象不经过第三象限，
∴，
解得：；
故答案为．
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据三线合一定理可知，，即可利用勾股定理求出，则；
（2）解法一：由得（1），过点作，垂足为，由角平分线性质可得，在中，通过，求得即可．
解法二：过点作，垂足为，由角平分线性质可得，进而可得，可知，设，在中，由，即，求解即可．
【详解】（1）解：∵，，的平分线与边交于点，
∴，．
在中，
．
∴．
（2）解法一：
过点作，垂足为．
由（1）可知，
∵平分，，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∴．
∴
∴点到直线的距离为．
解法二：
过点作，垂足为．
∵平分，，，
∴．
又∵
∴
∴．
设
在中，
即
解得：
∴点到直线的距离为．
【点睛】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，角平分线的性质，角平分线的定义，解直角三角形，熟知三线合一定理是解题的关键．
23．(1)
(2)当售价为60元时，利润达到5600元
(3)售价定为72元时，月销售利润最大为8192元
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
（3）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设表达式为，
根据题意，得：，解得，
∴y与x的表达式为．
（2）解：依题意得，
整理得∶
解得或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（3）解：设利润为W元，则
，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的的实际应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键．
24．(1)；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及二次函数的图象与性质．
（1）根据题意，完成所缺步骤即可；
（2）连接，过点A作根据线段垂直平分线的性质得出再由 勾股定理即可得出结论 ；
（3）由函数解析式求出最小值，再求出点M移动时y的最大值，即可得出结论. ．
【详解】（1）取点，过作轴于点．
，
在中，根据勾股定理得．
；
在的垂直平分线上
，
解得：．
故答案为：；
（2）连接，过点作，
∵是线段的垂直平分线，点在上，
∴，
∵轴，
∴
∴，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴；
（3）∵曲线的解析式为，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为，
∴函数值有最小值，为1，
当时，；当时，，
所以，点在的范围内移动时，的取值范围为
25．(1)
(2)存在，理由见详解
(3)存在点P，直线的解析式为或．
【分析】（1）根据待定系数法即可得出结果；
（2）设与轴交于点，设，过点作轴交于点，作于点，先证明是等腰直角三角形，再表示出的长度，根据二次函数的性质即可得出结果；
（3）分两种情况讨论，当点在直线下方时，与当点在直线上方时．
【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）解：存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
故直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
（3）解：存在点P，理由如下：
当点在直线下方时，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故直线的解析式为；
当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，
∴，
∴，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
故设直线的解析式为，
，且过点,
故设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
综上所述：直线的解析式为或．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
