直击2024年高考–高三数学秋季期末押题卷（全国版）1(原卷版+解析版)

高三数学秋季期末押题卷（全国版）1
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合，
则（ ）．
A. B. C. D.
2、已知直线：，：，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3、已知双曲线 ：的两条渐近线的斜率之积等于，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
4、下列关于，的关系中为函数的是（ ）．
A. B. C.
D.
5、已知，，，则、、的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
6、在中，已知， ，，则（ ）．
A. B. C. D.
7、已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
8、已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（ ）．
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若复数满足（是虚数单位），则（ ）．
A.
B. 是纯虚数
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
10、如图，正方体，取正方体六个面的中心，，，，，，将其连接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是（ ）．
A. 平面 B. 与平面所成角为
C. 平面平面 D. 平面平面
11、设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为，记，，则下列命题正确的是（ ）．
A.
B. 为偶函数，为奇函数
C. 与的最大值均为
D. 与在区间上均为单调递增函数
12、已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）．
A. 函数至多有个零点
B. 函数至少有个零点
C. 当时，对，总有成立
D. 当时，方程有个不同的实数根
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知圆：上恰好有个点到直线：的距离都等于，则 ．
14、学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传诵，而无人提出疑问．当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于年提出了以下猜想是质数．直到年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，，则表示数列的前项和 ．
15、已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，且，则抛物线的方程为 ；的值为 ．
16、如图，树顶离地面米，树上另一点离地面米，在离地面米的处看此树，则距离此树 米时，看、的视角（）最大．(结果用，，表示）
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
条件①：，；
条件②：，．
(1) 求的值．
(2) 求的面积．
18、近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步，华为在年不仅净利润创下纪录，海外增长同样强劲，今年，该企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1) 求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润销售额成本）;
(2) 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
19、已知圆台，轴截面，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的的四等分点，经过、，三点的平面与交于点，且，，三点在平面的同侧．
(1) 判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论．
(2) 为上底圆周上的一个动点，当四棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．
20、已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，且，，，．
(1) 求数列与的通项公式．
(2) 若，记，，求．
21、已知椭圆：（）与直线：交于，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为．
(1) 求椭圆的离心率．
(2) 若椭圆的短轴长为，点为长轴的右顶点，求的面积．
22、已知函数有两个零点，，且．
(1) 求的取值范围．
(2) 设函数的极值点为，证明：．
第2页， 共10页高三数学秋季期末押题卷（全国版） 1–答案解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、已知集合，
则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 ∵，，
∴．
故选．
2、已知直线：，：，则“”是“”的（ ）．
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A;
【解析】 ∵，
∴，
由：，：，
当时，有，解得或，
故 ，
但推不出，
故是的充分不必要条件．
故选．
3、已知双曲线 ：的两条渐近线的斜率之积等于，则双曲线的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 A;
【解析】 双曲线：的两条渐近线的斜率之积等于，
可得，
所以，
所以．
故选：．
4、下列关于，的关系中为函数的是（ ）．
A. B. C.
D.
【答案】 D;
【解析】 A选项 : 中，
令，解得，即，
不是关于的函数．
B选项 : ，当时，有两个与对应，
不是关于的函数．
C选项 : ，当时，有，
所以不是关于的函数．
D选项 : 满足任取定义域内的，都有唯一的与对应，是关于的函数．
5、已知，，，则、、的大小关系为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 ∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴．
故选．
6、在中，已知， ，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 B;
【解析】 ∵，
∴，，
∵，
∴，可得，
解得，所以，则，
在中，，，．
故选．
7、已知数列的前项和为，若对任意的正整数，都有，则称为“和谐数列”，若数列为“和谐数列”，则的取值范围为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 B;
【解析】 ①当时，显然满足，此时数列为“和谐数列”；
②当时，，由可得：，
即，
∵恒成立，
∴．
综上可知，．
故选．
8、已知在正三棱锥中，为的中点，，则正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】 D;
【解析】 正三棱锥中，，，
∴平面，
∴，，三条侧棱两两互相垂直，
设，
∴，
∴，
则可得正三棱锥的表面积为，
设外接球的半径为，则，
∴，
则外接球的表面积，
∴正三棱锥的表面积与该三棱锥的外接球的表面积的比为：．
故选．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9、若复数满足（是虚数单位），则（ ）．
A.
B. 是纯虚数
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则
【答案】 A;B;
【解析】 ∵，
∴，
∴，选项正确，
∵，为纯虚数，
∴选项正确，
∵复数在复平面内对应的点为，在第一象限，
∴选项错误，
∵复数在复平面内对应的点为，
∴．
∴选项错误．
故选：．
10、如图，正方体，取正方体六个面的中心，，，，，，将其连接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是（ ）．
A. 平面 B. 与平面所成角为
C. 平面平面 D. 平面平面
【答案】 A;B;D;
【解析】 A选项 : 连接，，，
根据正方体六个面的中心分别为点，，，，，，
可得，同理可证，则，
∵平面，平面，故平面，故正确；
B选项 : 由题意知，四边形为正方形，设（点同时是正方体和正八面体的中心)，
连接，则即为直线与平面所成的角，
由长度关系可得，故正确；
C选项 : 连接，由题意知过点，则平面平面，
且，分别取，的中点，，连接，，，
∵，都为等边三角形，
故即为平面与平面所成的二面角，
由余弦定理可得，故错误；
D选项 : 由以上证明可知，，
∵平面，平面，
故平面，
又∵，，故，
∵平面，平面，故平面，
∵，，故平面平面，故正确．
11、设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为，记，，则下列命题正确的是（ ）．
A.
B. 为偶函数，为奇函数
C. 与的最大值均为
D. 与在区间上均为单调递增函数
【答案】 B;C;
【解析】 A选项 : 由任意角的三角函数的定义可知，，，，故选项错误；
B选项 : 由于为偶函数，为奇函数，故选项正确；
C选项 : 由于，，因此两个函数的最大值均为，故选项正确；
D选项 : 由于，在区间上单调递减，故选项错误．
12、已知函数（，为自然对数的底数），则（ ）．
A. 函数至多有个零点
B. 函数至少有个零点
C. 当时，对，总有成立
D. 当时，方程有个不同的实数根
【答案】 A;B;C;
【解析】 作出函数和函数的图象如图所示，
当时，函数只有个零点，
当时，函数有个零点，
当时，函数只有个零点，故选项正确；
当时，函数为增函数，故选项正确；
当时，，，，当时，该方程有两个解，
当时，该方程有两个解，
所以方程有个不同的解，故选项错误．
故选．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知圆：上恰好有个点到直线：的距离都等于，则 ．
【答案】 ;
【解析】 由圆的方程：，可得圆的圆心为原点，半径为，
若圆上恰有个点到直线的距离等于，则点到直线：的距离等于，
直线的一般方程为：，
∴，
解得．
故答案为：．
14、学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢纶《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传诵，而无人提出疑问．当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：“北方大雪时，群雁早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于年提出了以下猜想是质数．直到年才被善于计算的大数学家欧拉算出，不是质数．现设，，则表示数列的前项和 ．
【答案】 ;
【解析】 因为，
则，
所以．
故答案为：．
15、已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，且，则抛物线的方程为 ；的值为 ．
【答案】 ;;
【解析】 ∵抛物线的焦点为，
∴，，
∴抛物线的方程为，准线为，
如图所示，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，设准线与轴的交点为，过点作直线的垂线，垂足为，交轴于点，
由抛物线的定义可得：，，，
由可知，
设，则，
，，，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：，．
16、如图，树顶离地面米，树上另一点离地面米，在离地面米的处看此树，则距离此树 米时，看、的视角（）最大．(结果用，，表示）
【答案】 ;
【解析】 过点作，则，，设，
则，，
，
当且仅当，即时，取得最大值，即最大．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、在中，它的内角，，的对边分别为，，，且满足，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
条件①：，；
条件②：，．
(1) 求的值．
【答案】 选择条件①：，选择条件②：．
【解析】 若选择条件①：，；
因为，
可得，
由正弦定理可得，
则，解得．
若选择条件②：，；
因为，
可得，
由正弦定理可得，
再由余弦定理可得，
又因为，
所以，
因为，即，则，
所以，
则由正弦定理，及，
可得．
(2) 求的面积．
【答案】 选择条件①：，选择条件②：．
;
【解析】 若选择条件①：，；
由及余弦定理可得，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以．
若选择条件②：，；
因为，，，，
所以，
所以．
18、近年来，中美贸易摩擦不断，特别是美国对我国华为的限制，尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为，然而这并没有让华为却步，华为在年不仅净利润创下纪录，海外增长同样强劲，今年，该企业为了进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万元，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．
(1) 求出年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润销售额成本）;
【答案】 ．
【解析】 当时，
，
当时，
，
∴．
(2) 年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】 年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
【解析】 若，，
当时，万元，
若，，
当且仅当时，即时，万元，
∴年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．
19、已知圆台，轴截面，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的的四等分点，经过、，三点的平面与交于点，且，，三点在平面的同侧．
(1) 判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论．
【答案】 平面，证明见解析．
【解析】 ∵圆台的两个底面互相平行，
∴平面与圆台两个底面的交线平行，
又因为点为上底圆周上的靠近点的的四等分点，
∴点为下底圆周上的靠近点的的四等分点，
∴，
∵点为下底圆弧的中点，
∴ ，
，
又平面，平面，
∴平面．
(2) 为上底圆周上的一个动点，当四棱锥的体积最大时，求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】 ．
【解析】 当四棱锥的体积最大时，也就是点到平面的距离最大，此时点为上底圆周上的中点．
设圆台的上底面圆的半径为，则高为，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
则 ，
∴异面直线与所成角的余弦值为，
当点 在的另一侧中点时，异面直线与所成角的余弦值也是，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
20、已知是等差数列，其前项和为，是正项等比数列，且，，，．
(1) 求数列与的通项公式．
【答案】 ，．
【解析】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为（），
由，得，，
由与可得：，
解得：，，
故，．
(2) 若，记，，求．
【答案】 ．
【解析】 由（）得：，
∴，
设①，
则②，
由①②得：
，
∴，
又，
∴ ．
21、已知椭圆：（）与直线：交于，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为．
(1) 求椭圆的离心率．
【答案】 ．
【解析】 设，，则椭圆的方程为，
联立，消去可得，
设，，则，，
所以，
所以的中点的坐标为，
由题意可得，
所以，即，
所以椭圆的离心率为．
(2) 若椭圆的短轴长为，点为长轴的右顶点，求的面积．
【答案】 ．
【解析】 因为椭圆的短轴长为，
所以，又，
所以，
所以，，，
所以，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以的面积为．
22、已知函数有两个零点，，且．
(1) 求的取值范围．
【答案】 ．
【解析】 因为函数，
故定义域为，
，
则对恒成立，
故在上单调递增，
设为的极值点，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，即
即，
所以，③
又由①可得，代入②可得，，
即，两边同时取自然对数可得，
即，
联立③，解得，
所以的取值范围为．
(2) 设函数的极值点为，证明：．
【答案】 证明见解析．
【解析】 由题意可得，即，
由（）得，
所以，
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故．
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