2023年下期第三阶段练习九年级 数学
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．若反比例函数的图象在二、四象限，则的值可以是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．在一张缩印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的6cm变成了2cm，则缩印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）
A． B． C． D．
4．小红同学对数据24，48，23，24，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（ ）．
A． B． C． D．
6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为（ ）
A． B．asin26.5° C．acos26.5° D．
7．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面 的距离为米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米， 则车宽的长度为（ ）米.
A． B． C． D．
8．如图，在中，点D在上，，点E在上，，，相交于F，则（ ）
A． B． C． D．
9．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则sin θ=（ ）
A． B． C．4 D．
10．如图，边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者把n条有标记的鱼放进鱼塘，待充分混合后，从鱼塘中打捞a条，若这a条鱼中有b条鱼有标记，则鱼塘中原有鱼的条数约为 条．
12．将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则函数关系式是 ．
13．若为锐角，且，则 °．
14．一个长方体木箱沿坡度坡面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE=m，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 m.
15．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依此规律，则A2023B2023＝ ．
16．如图，有一张直角三角形的纸片ABC，其中∠ACB=90°，AB=10，AC=8，D为AC边上的一点，现沿过点D的直线折叠，使直角顶点C恰好落在斜边 AB上的点E处，当△ADE是直角三角形时，CD的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每小题10分，共72分）
17．（1）计算：．
（2）解方程：．
18．某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点A出发沿着坡度为i＝的斜坡步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为，建筑物底端E的俯角为．若为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度米，则此建筑物的高度，（结果保留根号）（，，）
19．某校要从甲、乙两名同学中挑选一人参加创新能力大赛，在最近的五次选拔测试中， 他俩的成绩分别如下表，请根据表中数据解答下列问题：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 平均分 众数 中位数 方差
甲 60 分 75 分 100 分 90 分 75 分 80 分 75 分 75 分 190
乙 70 分 90 分 100 分 80 分 80 分 80 分 80 分
（1）把表格补充完整：（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是多少；若将 80 分以上（含 80 分） 的成绩视为优秀，则甲、乙两名同学在这五次测试中的优秀率分别是多少；
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含 80分）就很可能获奖，成绩达到 90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
20．如图，直线与反比例函数的图象相交于，两点，延长交反比例函数的图象于点，连接．
(1)求和的值；
(2)根据图象直接写出的解集；
(3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
21．小明为了探究函数M：的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
(1)完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如下表：
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 …
y … -8 -3 0 1 0 -3 0 1 0 a -8 …
表格中，a=_______；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x>0时函数M的图象；
③观察图象，当x=______时，y有最大值为_______；
(2)求函数M：与直线l：的交点坐标；
(3)已知P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上，当时，请直接写出m的取值范围．
22．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．
(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离 0 2 4 6 11 12
竖直高度 2.48 2.72 2.8 2.72 1.82 1.52
①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；
②通过计算，判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由．
(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．
23．阅读材料：关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，tan（α+β）．利用这些公式可以将两角和的三角函数值转化成两个三角函数值的和（差），如tan75°＝tan（30°+45°）2．
问题解决：根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下列问题
（1）求sin75°；
（2）如图，边长为2的正ABC沿直线滚动设当ABC滚动240°时，C点的位置在，当ABC滚动480°时，A点的位置在．
①求tan∠的值；
②试确定的度数．
24．如图，在中，，，点D是上一点，作交射线于E，平分交于F．
（1）求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）若，求．
25．（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的图象在二、四象限得出，从而得到，即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：反比例函数的图象在二、四象限，
，
，
的值可以是3，
故选：A．
2．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：一般地，形如（其中a、b、c是常数，）的方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，
解得，
故选：B．
3．C
【分析】根据题意，缩印出来的纸中，三角形与原来的三角形相似，故面积比等于相似比的平方，相似比为2：6=1：3，故能得出答案．
【详解】解：根据题意，缩印出来的纸中，三角形与原来的三角形相似，故面积比等于相似比的平方，相似比为边长的比：2：6=1：3，故面积比为：1：9，故C是正确的．
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形，熟练相似三角形面积比等于相似比的平方是解决本题的关键．
4．B
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断．
【详解】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为24与48的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了统计量的选择，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5．C
【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，．
【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标．
6．A
【分析】根据题意和图形，可以用含a的式子表示出BC的长，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，
立柱根部与圭表的冬至线的距离为： ，
故选：A．
【点睛】此题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，
则，设米，
由得，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
解得，，
故选：D．
8．D
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
作，根据平行线分线段成比例定理求出，根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：过点D作交于H，
则，
，
，
，
，
，
故选：D．
9．A
【详解】设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，
由题意，得c2=25，b-a==1，a2+b2=c2，解得a=3，b=4，c=5，
∴sin θ=．
10．D
【分析】本题主要考查旋转与正方形的相关知识，根据旋转的性质以及正方形的性质可得到的度数，根据三角函数求得的长，则的面积即可求得，然后利用正方形的面积减去和的面积即可求解，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，将与的交点记为，连接，
解：在和中，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：．
11．
【分析】首先求出有记号的条鱼在条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：打捞条鱼，发现其中带标记的鱼有条，
有标记的鱼占，
共有条鱼做上标记，
鱼塘中估计有（条．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用样本估计总体，解题的关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．
12．
【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：∵二次函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
∴所得图象的函数表达式为，
故答案为：．
13．26
【分析】根据同一个角的正弦和余弦的平方和等于1，即可解答．
【详解】，
，
，
为锐角，
，
故答案为：26．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式，熟记公式是解题的关键．
14．3
【分析】连接AE，在Rt△ABE中求出AE，根据∠EAB的正切值求出∠EAB的度数，继而得到∠EAF的度数，在Rt△EAF中，解出EF即可得出答案．
【详解】解：连接AE，
在Rt△ABE中，AB=3m，BE=m，
则AE==2m，
又∵tan∠EAB==，
∴∠EAB=30°，
在Rt△AEF中，∠EAF=∠EAB+∠BAC=60°，
∴EF=AE×sin∠EAF=2×=3m，
答：木箱端点E距地面AC的高度为3m．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了坡度、坡角的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，熟练运用三角函数求线段的长度．
15．
【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，再利用四边形A1B1C1B2为正方形得到A1B2＝A1B1＝，接着计算出A2B2＝（）2，然后根据的指数变化规律得到A2023B2023的长度．
【详解】解：∵四边形ABCB1为正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝30°，
∴A2B2＝A1B2＝×＝（）2，
……
∴AnBn＝（）n，
∴A2023B2023＝（）2023，
故答案为：（）2023．
【点睛】本题考查了规律型——图形的变化类：探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．也考查了正方形的性质．
16．或3
【分析】依据沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，分两种情况讨论：①，连接BD，根据折叠的性质可得，所以，，设，则，根据勾股定理即可求得答案；②，根据正方形的判定可得四边形CDEF是正方形，所以，，可得，依据相似三角形的性质可得，设，则，，，列出方程解方方程求解，即可得到CD的长．
【详解】解：分两种情况：
若时，则，，
连接AD，由折叠可得：，
由勾股定理可得：，
∴，，
设，则，
在中，
，
即：，
解得：，
∴；
②若，则，，
∴四边形CDEF是正方形，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，，
∴，
解得：x=，
综上所述，CD的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识点，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题关键．
17．（1）；（2），
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，
（1）根据，，，再计算即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可；
掌握特殊角的三角函数值，解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）
，，，
∴
解得，．
18．米
【分析】利用坡度的定义得到的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出以及的长，解题的关键是找到边长之间的关系．
【详解】解：过点B作，垂足分别为：N，M，如图所示：
，
∵坡度i＝，米，
∴设，则，
∴，
则，
解得：，
故米，
∴米，
则，
∴米，
∵，
∴米，
故米，
则此建筑物的高度米．
19．（1）84,104；（2）乙；40%，80%；（3）我认为选乙参加比较合适.
【分析】（1）根据乙五次成绩,先求平均数,再求方差即可,
（2）方差小代表成绩稳定；优秀率表示超过80分次数的多少,次数越多越优秀,
（3）选择成绩高且稳定的人去参加即可.
【详解】（1）乙= =84，
S2 乙= [（70-84）2+（90-84）2+（100-84）2+（80-84）2+（80-84）2]=104
（2）∵甲的方差＞乙的方差
∴成绩比较稳定的同学是乙，
甲的优秀率= ×100%=40%
乙的优秀率= ×100%=80%
（3）我认为选乙参加比较合适，
因为乙的成绩平均分和优秀率都比甲高，且比甲稳定，因此选乙参加比赛比较合适．
【点睛】本题考查了简单的数据分析,包括求平均数,方差,优秀率,属于简单题,熟悉计算方法和理解现实含义是解题关键.
20．(1)，；
(2)或
(3)存在，或．
【分析】（1）根据题意将分别代入和，求得和的值即可；
（2）由题意根据图象中的信息即可得到结论；
（3）根据题意过点作轴于点，过点作轴于点以及过点作轴于点，过点作轴于点进行分析证明求解．
【详解】（1）解：将分别代入和，得，，
解得，．
（2）由图象可知：的解集为或．
（3）存在，过点作轴于点，过点作轴于点．
由（1）知，，，
∴直线的表达式为，
反比例函数的表达式为．
将代入，得，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
过点作轴于点，过点作轴于点，
∵点与点关于原点对称
∴，
∴
设，
∴
解得或，
∴或，
故在轴上存在一点，使得，点的坐标是或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．(1)①-3；②见解析；③2或-2，1
(2)(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)
(3)或
【分析】（1）①观察表格，根据对称性直接求得的值；
②根据描点连线画出函数图象也可根据对称性画出函数图象；
③根据函数图像直接求解；
（2）分两种情况联立解方程求解即可；
（3）根据函数图象选取函数图象中随增大而增大的部分的自变量取值范围即可求解
【详解】（1）①根据表格数据可知y与x的几组对应值关于对称，
当与的函数值相等，则
故答案为：
②画图如下，
③观察图象，当x=2或-2时，y有最大值为1；
故答案为：2或-2，1
（2）由，
当时，
解得
当时，
综上所述，交点坐标为(-6，-15)，(0，-3)，(2，1)；
（3）观察函数图像可知，当以及时，随增大而增大
∵P（m，），Q（m+1，）两点在函数M的图象上， ，
∴或，
解得，m<-3或0<m<1，
由对称性可知：当m=-2.5，-0.5，1.5时，，
当时，；当时，；当时，；
因此，当时， m的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题，根据二次函数的增减性判断取值范围，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
22．(1)①；②能，理由见详解
(2)没有，理由见解析
【分析】（1）①由表中数据可得抛物线顶点，则设，再把表格中其它任意一组数据代入即可求出a值，
②当时，求得，再与球网高度比较即可得出答案．
（2）令，求出抛物线与x轴的交点，再比较即可．
【详解】（1）解：①由表中数据可得抛物线顶点，
设 ，
把代入得，
∴所求函数关系为，
②当时，则，
∴能；
（2）解：判断：没有出界
令，则，
解得（舍），，
∵，
∴没有出界．
【点睛】本题考查抛物线的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键．
23．（1）；（2）①，②
【分析】（1）将拆成，再根据公式求解即可；
（2）①根据题意，过点作于，过作于，过作于，求得，，进而根据正切的定义求解即可；②根据①的结论以及tan（α+β）进行计算，根据特殊角的三角函数值即可求得的度数．
【详解】（1）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ
（2）过点作于，过作于，过作于，如图
是等边三角形
，
② tan（α+β）
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，特殊角的三角函数值，正切的定义，理解题意掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
24．（1）见详解；（2）；（3）
【分析】（1）证明△ABD∽△CDF即可解决问题；
（2）如图2中，过点A作AH⊥BC于H．求出BD，CD，利用（1）中即可解决问题；
（3）如图2 1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设BD＝a，则CD＝3a，BC＝4a．利用相似三角形的性质求出AF，EF即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图1中，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE＝45°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADF+∠FDC，∠B＝∠ADF＝45°，
∴∠BAD＝∠FDC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△CDF，
∴＝，
∴AB CF＝BD CD；
（2）解：如图2中，过点A作AH⊥BC于H．
∵∠B＝∠C＝45°，
∴AB＝AC＝3，
∴BC＝AB＝6，
∵AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，AH＝BH＝CH＝3，
∵AD⊥DE，∠AED＝75°，
∴∠ADE＝90°，∠DAE＝15°，
∴∠ADH＝∠DAE+∠C＝60°，
∴∠DAH＝30°，DH＝AH tan30°＝，
∴BD＝3+，CD＝3﹣，
∵AB CF＝BD CD，
∴3 CF＝（3+）（3﹣），
∴CF＝；
（3）如图2﹣1中，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EG⊥CD于G．设BD＝a，则CD＝3a，BC＝4a．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AH＝HB＝HC＝2a，DH＝a，∠C＝∠B＝45°，
∵∠AHD＝∠ADE＝∠DGE＝90°，
∴∠ADH+∠EDG＝90°，∠EDG+∠DEG＝90°，
∴∠ADH＝∠DEG，
∴△ADH∽△DEG，设EG＝CG＝y，CD=3a，则DG＝3a+y，
∴＝，
∴＝，
解得y＝3a，
∴CG＝EG＝3a，EC＝a，
∵CF＝＝＝a，
∴AF＝AC﹣CF＝a﹣a＝a，EF＝CF+CE＝a+a＝a，
∴＝＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
25．（1）见解析；（2）；（3）的长为或
【分析】（1）根据将沿翻折到处，四边形是正方形，得，，即得，可证；
（2）延长，交于，设，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，设，则，因，有，即解得的长为；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，设，，则，，由是的角平分线，有①，在中，②，可解得，；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，同理解得，．
【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．
