2023年广东省广州市番禺区星海中学中考数学一模试卷(含解析)

2023年初中学业水平第一次模拟考试
数学试卷
说明：
本试卷共25小题，满分120分，考试用时为90分钟．答案写在答题卡上．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．）
1．（3分）在下列简笔画图案中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．
3．（3分）如图是一个正方体的展开图，每个面上都有一个汉字，折叠成正方体后，与“负”相对的面上的汉字是（　　）
A．强 B．课 C．提 D．质
4．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．（﹣2x2）（﹣3x3）＝6x6
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（+1）（﹣1）＝1
5．（3分）将分别标有“精”“准”“扶”“贫”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，放回后；再随机摸出一球，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）近年来某县大力发展柑橘产业，某柑橘生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元，设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）
A．20（1+2x）＝80 B．20（1+x）2＝100
C．20（1+x2）＝80 D．20（1+x）2＝80
8．（3分）反比例函数y＝的图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，那么k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣3 B．k≥﹣3 C．k＞﹣3 D．k＜﹣3
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图，在△ABC中，△ABC的面积为，AB＝2，BD平分∠ABC，E、F分别为BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若分式无意义，则x的值为　 　．
12．（3分）因式分解：m2﹣3m＝　 　．
13．（3分）如图，一次函数y＝kx+b与y＝x+5的图象相交于点A，则方程组的解为 　 　．
14．（3分）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD、AD，若AC＝CD，BD＝，则AD＝　 　．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，将线段AD绕点D在平面内旋转，点A的对应点为点P，连接AP，当点P落在CD的垂直平分线上时，AP的长为 　 　．
16．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．其中正确的结论是 　 　（填序号）．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）解不等式组：．
18．（4分）已知：BE⊥CD，BE＝DE，EC＝EA，求证：∠B＝∠D．
19．（6分）已知：P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2．
（1）化简P；
（2）若某圆锥的底面半径为a，母线长为b，且侧面积为2π，求P的值．
20．（6分）某校为了解学生的每周平均课外阅读时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表．
组别 阅读时间t（单位： 频数（人数）
A 0≤t＜1 8
B 1≤t＜2 20
C 2≤t＜3 24
D 3≤t＜4 m
E 4≤t＜5 8
F t≥5 4
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）直接写出m＝　 　，n＝　 　；
（2）这组数据的中位数所在的组别是 　 　；
（3）该校共有学生1500名，请估计该校有多少名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时？
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O；
（1）尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AC＝4，BD＝2，求cos∠BCE的值．
22．（10分）习近平总书记在全国教育大会上作出了优先发展教育事业的重大部署，县委县政府积极响应，对通往某偏远学校的一段全长为1200米的道路进行了改造，铺设柏油路面．铺设400米后，为了尽快完成道路改造，后来每天的工作效率比原计划提高25%，结果共用13天完成道路改造任务．
（1）求原计划每天铺设路面多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
23．（10分）已知：一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（4，n）和B（m，1）．
（1）求一次函数的表达式；
（2）将直线AB沿y轴负方向平移a个单位，平移后的直线与反比例函数图象y＝恰好只有一个交点，求a的值．
24．（12分）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
25．（12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣ax+6分别交x轴、y轴于A、C、B三点，OB＝OA．
（1）求a的值；
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上，其横坐标为t，连接AB、PB、PA，设△PBA的面积为S，求S与t的函数关系式；（不要求写出t的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，直线PD交x轴于D，交y轴于E，交AB于点R，点F在OA上，连接FE，使∠PEF＝∠DEO，点K在ED上，连接FK，使∠FKP＝45°，作TR∥y轴，连接TE交x轴于N，使FK＝TE，点Q在第一象限内抛物线上，QG⊥PD于G，连接FQ，使∠AFQ＝∠PEF，若FE﹣FN＝2ON，BE+AF＝FE，求QG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，故本选项正确，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意．
故选：B．
2． 解：由图可得，点A所表示的数为3，
∴数轴上点A所表示的数的相反数为﹣3，
故选：A．
3． 解：与“负”相对的面上的汉字是课，
故选：B．
4． 解：A、原式＝a6，所以A选项错误；
B、原式＝6x5，所以B选项错误；
C、原式＝m2﹣2mn+n2，所以C选项错误；
D、原式＝2﹣1＝1．
故选：D．
5． 解：画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的结果有2个，
∴两次摸的球上的汉字组成词语“扶贫”的概率为＝，
故选：C．
6． 解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
7． 解：根据题意得20（1+x）2＝80．
故选：D．
8． 解：根据题意，可得k+3＞0，
解得k＞﹣3，
故选：C．
9． 解：由二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象，可知：a＜0，b＞0，
则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
10． 解：如图，CH⊥AB，垂足为H，交BD于F点，过F点作FE′⊥BC，垂足为E′，则CF+E′F为所求的最小值，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴FH＝E′F，
∴CH是点C到直线AB的最短距离（垂线段最短），
∵△ABC的面积为，AB＝2，
∴CH＝＝，
∵CF+E′F的最小值是CF+E′F＝CF+FH＝CH＝．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：由分式无意义，得
x+2＝0．
解得x＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12． 解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．
故答案为：m（m﹣3）．
13． 解：∵y＝x+5经过A（﹣4，a），
∴a＝﹣4+5，
∴a＝1，
∴一次函数y＝kx+b与y＝x+5的图象相交于点A（﹣4，1），
∴方程组的解为，
故答案为：．
14． 解：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∵BQ∥AC，
∴∠ABQ＝∠BAC＝45°，
过D作DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于F，
则四边形DEBF是正方形，
∴BF＝DF＝BE＝DE，
∵BD＝，
∴BF＝DF＝BE＝DE＝1，
设AB＝BC＝x，
∴AC＝CD＝x，
∴CF＝1+x，
在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2，
即（x）2＝12+（1+x）2，
∴x＝1+，（负值舍去），
∴AB＝1+，
∴AE＝，
∴AD＝＝2，
故答案为：2．
15． 解：作CD的垂直平分线，交CD于点E，交AB于点F，
①当点P在矩形ABCD内时，如图，
∵四边ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD，
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，且EF＝AD＝5，
∴DE＝AF＝＝3，
由旋转的性质可得AD＝PD＝5，
在Rt△DEP中，由勾股定理得＝4，
∴PF＝EF﹣PE＝1，
在Rt△AFP中，由勾股定理得AP＝＝；
②当点P在矩形ABCD外时，如图，
∵四边ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝6，AB∥CD，
∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，且EF＝AD＝5，
∴DE＝AF＝＝3，
由旋转的性质可得AD＝PD＝5，
在Rt△PDE中，由勾股定理得PE＝＝4，
∴PF＝PE+EF＝9，
在Rt△PAF中，由勾股定理得AP＝．
综上，AP的长为或．
故答案为：或．
16． 解：连接OC，OD，
∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，
∴△CMO≌△DMO（SSS），
∴∠ODM＝∠OCM，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∵OD是⊙O的直径，
∴MD与⊙O相切；故①正确；
∵△CMO≌△DMO，
∴∠COM＝∠DOM，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵OA＝OA，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝CM＝DM，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
∵AC＝CM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∵∠COM＝2∠CAM，
∴∠COM＝2∠CMO，
∴∠CMO＝30°，
∴OC＝OM，
∵OC＝AB，
∴AB＝OM，故③正确；
∵四边形ACMD是菱形，
∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故答案为：①②③④．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
18． 证明：∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠DEA＝90°，
在△BEC与△DEA中，
，
∴△BEC≌△DEA（SAS），
∴∠B＝∠D．
19． 解：（1）P＝（a+b）2﹣（a+b）（a﹣b）﹣2b2
＝a2+2ab+b2﹣a2+b2﹣2b2
＝2ab；
（2）由题意得： 2πa b＝2π，
则ab＝2，
∴P＝2ab＝4．
20． 解：（1）∵抽取的学生数为8÷10%＝80（人），
∴m＝80×20%＝16，n＝24÷80×100＝30；
故答案为：16，30；
（2）由表格可知第40、41个数都在2≤t＜3，
故答案为：2≤t＜3；
（3）由题意得：1500×（20%+10%+5%）＝525（名）．
答：估计该校有525名学生的每周平均课外阅读时间不低于3小时．
21． 解：（1）如图，CE为所作；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝AC＝2，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，AB＝BC，
在Rt△OAB中，AB＝＝＝，
∵AB CE＝AC BD，
∴CE＝＝，
∵BC＝AB＝，
∴cos∠BCE＝＝＝．
22． 解：（1）设原计划每天铺设路面x米，则提速后每天铺设路面（1+25%）x米，
依题意，得：+＝13，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天铺设路面80米．
（2）1500×+1500×（1+20%）×＝21900（元）．
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
23． 解：（1）∵点A（4，n）和B（m，1）是反比例函数y＝的图象上的点，
∴n＝，1＝，
解得n＝2，m＝8，
∵A（4，2），B（8，1）在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，解之可得k＝﹣，b＝3，
所以一次函数的表达式是y＝﹣x+3；
（2）将直线AB沿y轴负方向平移a个单位，可得y＝﹣x+3﹣a，
联立，
消去y可得＝﹣x+3﹣a，
整理可得x2﹣4（3﹣a）x+32＝0
因为只有一个交点，
所以△＝16（3﹣a）2﹣4×1×32＝0，
解得a＝3±2，
所以，将直线AB沿y轴负方向平移3±2个单位，平移后的直线与反比例函数图象y＝恰好只有一个交点．
24． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．
25． 解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣ax+6分别交x轴、y轴于A、C、B三点，
∴当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），OB＝OA＝6，A（6，0），
∴0＝62×a﹣6a+6，
解得a=﹣，
即．
答：a的值为﹣．
（2）如图，连接OP，过P分别作x，y轴的垂线，垂足为T，W，
∴∠BOA＝∠PNO＝∠PTO＝90°，
∴四边形PTOW为矩形，
设P（t，﹣），
∴﹣，
∴S△PBA＝S△BOP+S△AOP﹣S△AOB
＝
＝
＝3×
＝﹣．
答：S与t的函数关系式为：S＝﹣．
（3）如图，截取OM＝ON，
∵FE﹣FN＝2ON，
∴FE＝2ON+FN，
∴FE＝FM，
设∠DFK＝α，
∵∠FKE＝45°，
∴∠KDF＝45°﹣α，
则∠PEF＝∠DEO＝∠BEG＝45°+α，∠OEF＝90°﹣2α，∠EFO＝2α，
∴FK平分∠EFO，
∴∠EFK＝∠MFK，
∴△KEF≌△KMF（SAS），
∴KE＝KM，∠EKF＝∠MKF＝45°，连接EM，
∴EM⊥KF，
∴△EKM是等腰直角三角形，
∴∠MEF＝90°﹣α，
∴∠MEO＝90°﹣α﹣（90°﹣2α）＝α＝∠NEO，
作TV⊥y轴于V，作KI⊥x轴于I，作RH⊥y轴于H，
∴四边形HRTV是矩形，
∵KF＝TE，∠KIF＝∠TVE＝90°，
∴△KIF≌△TVE（HL），
∴KI＝TV＝RH，
作KZ⊥y轴于Z，
∴四边形KIOZ是矩形，
∴∠KIM＝∠KZE＝90°，
∴△KZE≌KIM（HL），
∴KI＝KZ＝RH，
∴四边形KINZ是正方形，连接OK，
∴OK平分∠EOD，
∴∠KOE＝∠KOD＝45°
∴△KZE≌△RHE（AAS），
∴KE＝RE，
，
∴E（3，0），
∵BE+AF＝EF，AF＝OA﹣OF＝6﹣OF，
∴3+6﹣OF＝EF，
∴EF＝9﹣OF，
在Rt△EOF中，OF2+OE2＝EF2，
∴OF2+9＝（9﹣OF）2，
解得OF＝4，
∴EF＝MF＝5，OM＝ON＝MF﹣OF＝1，
在Rt△EOM中，，
则，tan∠QFA＝tan（45°+α）＝2，
作作QL⊥x轴于L，
设FL＝m，则QL＝2m，Q（4+m，2m），
代入解析式，得2m＝﹣，
整理得m2+17m﹣18＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣18（舍去），
∴Q（5，2），
∴QL＝KI＝2，
连接KQ，
∴四边形KILQ是平行四边形，
∴KQ＝7，
在Rt△KGQ中，，
∴，即KG＝2GQ，
∴GQ2＝KQ2﹣KG2＝49﹣4GQ2，
整理得GQ2＝，
解得，（负值舍去）．
答：GQ的值为．
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