02等式性质与不等式性质、基本不等式-浙江省2023-2024高一上学期数学期末复习专题练习（含解析）

02等式性质与不等式性质、基本不等式- 浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023上·浙江·高一期末）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021上·浙江·高一期末）下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
5．（2023上·浙江·高一期末）若正数a，b满足，则的最小值是（ ）
A．7 B．9 C．13 D．25
6．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）已知，，则（ ）
A．的最大值为且的最大值为
B．的最大值为且的最小值为0
C．的最小值为且的最大值为
D．的最小值为且的最小值为0
7．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ）
A．等于2 B．小于2 C．大于2 D．不确定
8．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
二、多选题
9．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）下列不等式错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2021上·浙江·高一期末）若，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022上·浙江宁波·高一校联考期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，且，则
C．若，则
D．若，则
12．（2022上·浙江温州·高一统考期末）已知实数a，b，c满足：且，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022上·浙江台州·高一统考期末）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．
14．（2022上·浙江湖州·高一统考期末）已知非零实数a、b满足，则（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4 B．若，则的最小值是2
C．若，则的最大值为 D．若正实数x，y满足，则的最小值为6
17．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）下列结论中，正确的是（ ）
A．若x，，则的最小值为2
B．若，则的最小值为8
C．若，则的最大值为1
D．若，则函数的最小值为
18．（2023上·浙江湖州·高一期末）已知a，b均为正实数且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知正实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知，，且，则下列取值没有可能的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
21．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知，则的最小值是 ．
22．（2023上·浙江杭州·高一杭师大附中校考期末）已知，且，则的最小值为 .
23．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知（a，且），则的取值范围为 ．
24．（2022上·浙江温州·高一统考期末）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
25．（2022上·浙江湖州·高一统考期末）已知实数a，b，c满足，则abc的最小值是 ．
26．（2022上·浙江·高一浙江省开化中学校联考期末）已知 ，则的最小值为 ．
27．（2021上·浙江·高一期末）一般认为，民用住宅窗户面积a与地板面积b的比应不小于，即，而且比值越大采光效果越好，若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好还是变坏？请将你的判断用不等式表示
28．（2021·浙江·高一期末）已知实数，且满足，则 ．
四、解答题
29．（2020上·浙江·高一校联考期末）在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，广州市某村施行“封村”行动．为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x米．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？
(2)现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
五、证明题
30．（2021上·浙江·高一期末）已知正数a，b，c满足．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）求证：．
六、问答题
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】，充分性成立；
若，比如，此时不存在，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．C
【分析】利用不等式的性质一一判定即可.
【详解】对于A项，举反例即可，若，则，故A错误；
对于B项，举反例即可，若，则，故B错误；
对于C项，∵，∴，则，故C正确；
对于D项，举反例即可，若，则不成立，故D错误.
故选：C
3．D
【分析】由题意可得，代入三角形的面积公式可得，再结合利用基本不等式可得.
【详解】根据题意可知，所以，
由，所以，同理可得；
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立；即；
即此三角形面积的最大值为.
故选：D
4．C
【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.
【详解】设，则，且，
题目转化为已知，求的最小值，
即，
而，
当且仅当，即时等式成立.
所以.
故选：C.
5．B
【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式求解即可.
【详解】由于，故，即，
从而，当且仅当时，等号成立，
则的最小值是9．
故选：B.
6．C
【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.
【详解】利用，则，整理得，
当且仅当，即时取得等号，即的最小值为；
利用，，即，整理得，即，
当且仅当时取得等号，故的最大值为.
故选：C
7．C
【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.
【详解】设天平左臂长，右臂长，且，
设草莓有，草莓有千克，
所以，
所以.
故选：C
8．B
【分析】利用换元法表示出代入所求式子，化简利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】因为，所以，令，则且
，代入中得：
当即时取“=”,
所以最小值为1.
故选：B
9．ABD
【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析给定的四个不等式的正误，可得答案.
【详解】对于A中的不等式，因为，
所以，故选项A中的不等式不成立；
对于B中的不等式，因为，
所以，故选项B中的不等式不成立；
对于C中的不等式，因为，
所以，化简得出，正确；
对于D中的不等式，因为，
所以在的情况下不成立.
故选：ABD
10．AD
【分析】根据不等式的性质及作差法判断即可AD,根据特殊值法可判断BC.
【详解】对于A，
，所以，所以，所以，故选项A一定不成立；
对于B，不妨取，，则，故选项B可能成立；
对于C，不妨取，，则，故选项C可能成立；
对于D，，故，故选项D一定不成立；
故选：AD．
11．BD
【分析】举出反例可判断AC，利用不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，若，当时，，故A错误；
对于B，若，且，则，
所以，所以，故B正确；
对于C，若，当时，，故C错误；
对于D，若，
则，所以，故D正确.
故选：BD.
12．AB
【分析】对于A：利用不等式的乘方直接判断；
对于B：由即可判断；
对于C：取特殊值，否定结论；
对于D：由即可判断.
【详解】因为实数a，b，c满足：且，所以a、b、c同号.
对于A：若，，则，所以；若，，则，所以；故A正确；
对于B：因为，所以，所以成立.故B正确；
对于C：可取，则，所以不成立.故C错误；
对于D：因为，所以.因为，所以.
故D错误.
故选：AB
13．ABD
【分析】由不等式性质直接推导可判断AB，C选项可取值验证，D选项作差配方可得.
【详解】选项A中， ， ，，又，，故A正确；
选项B中，，，又，，故B正确；
选项C中，取，则，，显然C不正确；
选项D中，，所以D正确.
故选：ABD
14．BCD
【分析】利用特值法和作差法对选项进行一一判断，即可得到答案；
【详解】对A，令，则，故A错误；
对B，当，；
当；
当，；
故B正确；
对C，
，故C正确；
对D， ，
且，，
，故D正确；
故选：BCD
15．CD
【分析】本题首先可根据判断出A，然后根据判断出B，再然后根据判断出C ，最后根据判断出D.
【详解】因为、是正实数，所以，当且仅当时取等号.
因为，所以，故A不正确.
因为.
当且仅当，即等号成立，故B不正确.
，当且仅当时取等号.
即，故C正确.
，当且仅当时取等号，故D正确.
故选：CD.
16．CD
【分析】A选项，分与时，利用基本不等式求解；B选项通过使用基本不等式，一正二定三相等，发现等号不成立；C选项，先判断出，，再基本不等式进行求解；D选项，1的妙用，使用基本不等式进行求解
【详解】当时，，当且仅当，即时取等号，
则有最大值为，当时，，当且仅当，即时取等号，
则的最小值为2，故A错误；
因为，，所以，
等号成立的条件是，即，方程无解，即最小值不为2，B错误；
若，故，，则，
当且仅当即时取等号，此时取得最大值，C正确；
正实数满足，则，
当且仅当，即时取等号，则的最小值为6，D正确.
故选：CD
17．BC
【分析】利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断A；根据，可得，且，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B；利用基本不等式可将已知转化为，从而可判断C；利用配凑法结合基本不等式即可判断D.
【详解】对于A，由x，，
得，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，故A错误；
对于B，因为，所以，且，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，故B正确；
对于C，由，
则，即，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为1，故C正确；
对于D，若，则，则，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最大值为，故D错误.
故选：BC.
18．BCD
【分析】取特殊值判断A；由基本不等式结合“1”的代换判断判断BC，由基本不等式结合换元法判断D.
【详解】A项：取得，错误；
B项：，当且仅当时，取等号，正确；
C项：记，则，从而，当且仅当，即时，取等号，正确；
D项：由，得，从而，
令，则，则
，当且仅当，即时，取等号，正确．
故选：BCD
19．AD
【分析】对于A，运用基本不等式得，得，求解即可判断；对于B，由题得，根据乘“1”法，结合基本不等式即可判断；对于C，由题得，得，结合基本不等式即可判断；对于D，由选项A得，
又即可判断.
【详解】由题知，正实数满足，
所以，
对于A，因为，
所以，
所以，即，故A正确；
对于B，，
当且仅当且，即时取等号，故B错误；
对于C，因为，
所以，
所以
所以，
当且仅当，且，即时取等号，故C错误；
对于D，由选项A得，
所以
，
当且仅当，且，即时取等号，故D正确；
故选：AD
20．BCD
【分析】根据已知条件,结合基本不等式的公式,即可依次求解
【详解】对于:已知，,所以,
当且仅当时, ,故有可能;
对于:已知，,所以,
不成立,故没有可能;
对于:已知，，且，所以
当且仅当时取等号
所以,即得,所以不成立,故没有可能;
对于:因为,所以,
所以,不成立,故没有可能;
故选: .
21．
【分析】利用基本不等式即可求最值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
22．
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由得，所以，当且仅当 ，即时取等号，所以的最小值为，
故答案为：
23．
【分析】化简得到，的等式关系，再根据基本不等式求解,注意等号的取得.
【详解】
又
根据基本不等式得
，又因为，所以
故答案为：
24．3
【分析】利用基本不等式可得：，将转化成；进而
，解得，检验等号成立即可．
【详解】因为为正数，所以成立，所以
因为，所以，
由为正数，得，
所以，
当且仅当即等号成立，
即，解得，所以的最小值为3.
故答案为：3
25．/
【分析】利用换元法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】由可得，
当时，，；
当时，，所以，
令，则，该方程有正根，
则，即，解得，
因为函数的对称轴为，开口朝下，
所以当时，取最小值，最小值为
因此abc的最小值是，
故答案为：
【点睛】关键点睛：利用基本不等式，结合二次函数的性质是解题的关键.
26．
【分析】由已知得，然后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】因为，
所以
，
当且仅当，即或时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
27．
【分析】运用不等式的性质可得答案.
【详解】若窗户面积与地板面积同时增加m，采光效果变好了，用不等式表示为：，
因为，所以成立.
故答案为：.
28．
【分析】先分析当时，推出，不符合题意；再分析时，将已知条件变形为关于的一元二次方程，即，由已知该方程有解，可求出的值，代入求出的值，进而求得结果.
【详解】当时，，又，，则，不符合题意；
当时，
整理成关于的一元二次方程，即①
判别式
当时，，
要使方程有解，则不符合，，即，即
又，
将代入方程①得，，解得：
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查利用方程有解求参数，解题的关键是先分析不符合题意，再看时，将已知条件转化成关于的一元二次方程，利用方程有解求参数，考查学生的转化与化归能力与运算求解能力，属于较难题.
29．(1)当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低，最低报价为元
(2)
【分析】（1）由题意，整理甲工程队报价关于的表达式，利用基本不等式，可得答案；
（2）由题意，将问题转化为证明不等式恒成立问题，利用参变分离，构造新函数，利用函数单调性，求得最值，可得答案.
【详解】（1）由题意，屋子的左右两侧墙的长度均为x米，则正面新建墙体的长为米，设甲工程队报价为元，
，
，当且仅当，时等号成立，
当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低，最低报价为元.
（2）由题意可得，对任意恒成立.
即，从而，恒成立，
令，，
令，任意取，设，则，由，则
即在上单调递增，故当时，，
所以.
30．（I）2；（II）证明见解析.
【分析】（I）利用常量代换法有，结合基本不等式求得问题的最小值.
（II）观察多项式的每两项的乘积得到的结果，利用基本不等式的性质，求得多项式的最小值.
【详解】（I）∵
∴
，当且仅当时，取得等号，
即的最小值为2.
（II）
当且仅当时等号成立.
【点睛】方法点睛：常量代换结合不等式基本性质解决分式不等式的最值问题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页