2023-2024学年第一学期高三年级12月学情调研测试
数学试题
(考试时间：120分钟试卷满分：150分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.设巢合A=2+5x-6>0,B={+1<0},则4UB=()
A1}B.{x1}C{x<-6
D.1
2
2复数z=,二的共轭复数z为()
1+
A.2+2i
B.2-2i
C.1+i
D.1-i
3.已知向量a=2,-1),方=-1-m,2m小，若a16,则月=（)
4.⑤
&
C.25
D.5
2
2
4已x=a是函数f-2r-(a+x+a血x的极大值点，则实数a的取值范围是()
A.（o,1
B.L,+∞
c.(0,1)
D.(0]
5.设a,b,c为实数，且a>b>0,则下列不等式正确的是()
Aac2>bc2
b a
B.>
C.a2>ab>b2
“ab
a b
π）3
+6),
6.若a∈(0，元)，且c0sx+
则sin(2a+
匹)的值为(
12
)
A.-31W2
B.31w2
c.-172
D.17V2
50
50
50
50
已知RR分别为双曲线专基Q>0,b>0的左、右焦点。过弓且与双曲线的一条渐近线平
行的直线交双曲线于点P,若P=4|P引，则双曲线的离心率为()
A.√7
B.②
c.5
3
D.√21
8若函数f(y=血x与树=2ax-1(a>0)的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式
f(x-4)<a-1-5*-5的解集为()
A.（-0,5)
B.(5,+o∞)
c.(5,6)
D.(4,5)
第1项共4页
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9,若“+4>0”是“k<<k+2”的必要不充分条件，则实数k可以是()
x-1
A.-8
B.-4
c.0
D.4
10.下列说法正确的是()
A、若直线a2x-y+1=0与直线x-2y-2=0互相垂直，则a=-2
B、直线xcosa+y-1=O的倾斜角的取值范围是
[要
C.过点P(1,2)作圆0：x2+y2=1的切线1，则切线1的方程为3x-4y+5=0
D.圆x2+y2-10x-10y=0与圆x2+y2-6x+2y-40=0的公共弦长为4W10
11.己知函数f(x)=cosx+2 sinxcosx-sin4x,则下列说法正确的是()
A.
函数f(x)在
上单调递增
B.x=5元为函数f()图象的一条对称轴。
9
C.将f()的图象向左平移产个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)在0，上的最大值为g(0),
3π
则1的最大值为
4
11π15π
D.f(x)在[0，a上有3个零点，则实数a的取值范围是
88
12.定义域为R的函数f(x)满足以下条件：①x,y∈R,f(2x)+f(2y)=2f(x+y)f(x-y):
②f0)≠0：③k>0,使得f(k)=0.则()
A.f(0)=1
B.f(x)为奇函数
C.函数f(x)图象的一个对称中心为(3k,0)D.f(x+4k)=f(x)
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上
13.已知圆C经过点(4,0)，(3,1)，且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为
14.已知x>-2,y>0,且x+2y=3,则4+1
。+二的最小值为
x+22y
15.已知在△ABC中，AB=3,AC=2,∠BAC=60°，P为线段AC上任意-点，则PB.PC的
取值范围是
第2顶共4页2023-2024学年第一学期高三年级 12月学情调研测试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1． B 2． C 3． A 4． C 5． C 6．D 7． B 8． D
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9． AD 10． BD 11． BCD 12． ACD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13． (x 3)2 y2 9 1 1 14． 15 ． ,3
16．5
5 16
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.解：（1）设 x 0，则 x 0
x ,0 时， f (x) x 1 2．
f ( x) ( x 1)2 (x 1)2
f (x)是定义在 R上的奇函数
f (x) f ( x) (x 1)2 ......................4 分
（2） f (a ) f ( 2 x) a 0等价于 f ( ) f ( 2 x) (2 x)
x x
由 f (x)解析式可得 f (x)在 R上为减函数，
a
所以 2 x对任意 x [1,2]恒成立，
x
即 a 2x x2对任意 x [1,2]恒成立，
即 a (2x x2 )min ，......................7 分
2x x2 (x 1)2 1， x [1,2]
(2x x2 )min 2 1 3
a 3，即实数 a 的取值范围是 ( ,3)． ......................10 分
{#{QQABZYIEogioAAIAABhCAQGaCgOQkACACCoGBAAMIAABgRFABAA=}#}
1 9
2 2 1 a
2 4
18.（1）法一：由题意得： a 4b ，解得 2
a
2 b2 1 b 3
x2 y2
椭圆的方程为 1 --------------4分
4 3
3 2 22a 1 1 2 3 法二：由题意得： 4，即 a 2
2 2
2 2
c 1 ， b x y 3， 椭圆的方程为 1 --------------4分
4 3
（2）法一：由题意得： l : y x 1
x2 y2
1 2
由 4 3 得：7x 8x 8 0
y x 1
设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
x x 8 8则 1 2 , x1x2 ， --------------7 分7 7
AB x x 2 y y 21 2 1 2 1 1 x1 x2 2 x1 x
2
2 4x1x2
2 8
2
4 8 24= ---------------10 分
7 7 7
点O到直线 AB 1 2的距离为 ---------------11 分
2 2
S 1 24 2 6 2 AOB --------------12 分2 7 2 7
法二：由题意得： l : y x 1
x2 y2
1
4 3 7y2由 得： 6y 9 0 --------------7 分
y x 1
设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )，
y 6 9则 1 y2 , y1y2 ， --------------7分7 7
{#{QQABZYIEogioAAIAABhCAQGaCgOQkACACCoGBAAMIAABgRFABAA=}#}
S 1 AOB OF1 y y
1
y y 21 2 1 2 4y1y2 --------------10 分2 2
1 6 2
4 9 6 2 --------------12 分
2 7 7 7
19.（1） bsin A a 3a cosB
由正弦定理得： sin B sin A sin A 3 sin AcosB
A 0, , sin A 0
sin B 1 3 cosB, 3 cosB sin B 1 --------------2分
cos(B 1 ) , 0 B , B 7
6 2 6 6 6
B , B --------------5分
6 3 6
（2）在 DBC 中 ，
2 2
由余弦定理得：CD BC BD2 2BC BD cos DBC
12 1 2 2 3 1 3 7
2
CD 7 --------------6 分
cos BDC 1 7 12 2 7
2 1 7 7
cos ADC cos( BDC) 2 7 cos BDC
7
ADC 0, , sin ADC 21 --------------9分
7
sin A sin ADC ACD sin ADC cos ACD cos ADC sin ACD
21
1
2 7 3 21
------------10 分
7 2 7 2 14
ADC CD AC在 中，由正弦定理得： ,
sin A sin ADC
7 AC
, AC 2 7
即 21 21 ------------12分
14 7
{#{QQABZYIEogioAAIAABhCAQGaCgOQkACACCoGBAAMIAABgRFABAA=}#}
20.（1）证明：∵ A = ，AB = ，B = 5，
∴ A2 + AB2 = B2，∴ A ⊥ AB，
∵平面 AB ⊥底面 ABCD，平面 AB ∩平面 ABCD = AB，A 平面 AB，
∴ A ⊥平面 ABCD，.....................2 分
∵ AC 平面 ABCD，∴ A ⊥ AC，
∵直线 C 与底面 ABCD 所成的角为 °，
∴ ∠CA = °，∴ AC = ，C = ，
∵底面 ABCD 为平行四边形，∠ADC = 0°，AB = CD = ，
∴ AC2 = AD2 + CD2 2 × AD × CD × cos0°，
即 = + AD2 AD，解得 AD = ，
∴ AD2 + AC2 = CD2，∴ AD ⊥ AC，........................4 分
∵ A ∩ AD = A，A，AD 平面 AD，
∴ AC ⊥平面 AD，
∵ AC 平面 AC，∴平面 AD ⊥平面 AC．.....................6 分
（2）解：以 A 为原点，AC 为 x轴，AD 为 y 轴，A为 z 轴，建立空间直角坐标系如图，
B(, ,0)，C(,0,0)，D(0, ,0)，(0,0,)，
= (0, ,0)，C = (,0, )，D = ( , ,0)，
设平面 BC 的一个法向量为n = (x,y,z)，
n = 3y = 0
则
n
，
C = x z = 0
取 x = 1，得n = (1,0,)，.....................8 分
设平面 DC 的一个法向量为m = (a,b,c)，
m = c = 0
则
m
，
= a = 0
取 a = 3，得m = ( 3,, 3)，..................10 分
{#{QQABZYIEogioAAIAABhCAQGaCgOQkACACCoGBAAMIAABgRFABAA=}#}
瑰 ................11 分
设二面角 B C D 的平面角为θ，由图可知θ为钝角，
则 cosθ = ，
∴二面角 B C D 的余弦值为 ．.................12 分
21.解：由题意得 灭 =6 0 0 0 0 ， =0.4
4
又 xi yi 灭7 ×0..65+ 7×60 .40+.54× 05.3 +40×.30 .34=1 00.3.2， 8.2
i 1
4
xi yi 4x y 180.2.3 －44 ×56.×50 .40=.30.57， 0.5 ................................2 分
i 1
4 4
2 2 x 灭72+ 6+2i +52 =14524， 1 26 x2i 4x 15246－ 44× 356=.5120， 5
i 1 i 1
4
xi yi 4x y
b i 1 0 .54 = 0.0.71， ................................4 分2
x2 4x 50i
i 1
所以 a y b x 00.4.3－50 .07.1=－ 50..502 ， 0.2
故得 y关于 x的线性回归方程为 y 0 .01xx 0.02 0； ................................5 分
(2)（i）将 x 0代入 y 0 .01xx 0.02 0=0 0 × 0 0 0 灭 灭，
估计该省要发放补贴的总金额为 灭 灭 ×1000×0.6=5028（万元）； ................................7 分
（ii）设小江、小沈两人中选择考研的人数为 X ，则 X 的所有可能值为 0、1、 2，
P(X 0) ( p)( p) ( p)，
P(X ) p( p) ( p)(p ) p p ，
P(X ) p(p ) p p， ................................10 分
E X 00× 3(p2 p5)p+( 2 p 6pp2 6)p+ ×1 ( 1p 3pp)2 p 2， 4p 1
(0 ) 0 ×(3p-1)≤ 0 p ≤ ，可得 ， ................................11 分
0 ≤ ≤
又因为 0 ≤ ≤ ，可得 ≤p≤ ，故 ≤p≤
. ................................12 分
{#{QQABZYIEogioAAIAABhCAQGaCgOQkACACCoGBAAMIAABgRFABAA=}#}
22.解：（1） f x 的定义域为 0, ，
f x 1 1 a x
2 ax 1
2 .x x x2
因为 f x 为单调减函数，所以 x2 ax 1 0对 x 0恒成立，
a x 1所以 , x 0，恒成立，
x
1
因为 x 2，当且仅当 x 1时取等号，所以 a 2； ................................4 分
x
（2）由（1）知 x ，x 是 x21 2 ax 1 0的两个根.
从而 x1 x2 a， x1x2 1，不妨设 x1 x2， ................................5 分
t x1 a a
2 4 4
则 x2 a a2 2 4 .a a2 4
3 2
因为 a 9 2 ，所以 t为关于 a的减函数，所以 ≤ ≤ . ................................7 分
2 4 灭
f x1 f x2 1 1 a ln x1 ln x2
x1 x2 x1x2 x1 x2
2 x x ln x1 ln x 1 22 2
t 1
ln t
x x t 1 . ................................9 分1 2
t 1 2ln t
令 h t t 1 2 ln t，则 t .
t 1 h t t 1 2
1
因为当 a 2时， f x x 2ln x在 0, 上为减函数.
x
所以当 t 1时，m(t) 1 t 2 ln t m 1 0 .
t
从而 h t 0，所以 h t 在 0,1 上为减函数.
所以，M h(t) h(1 27max ) 2 ln 2 ，m h(t)
1
min h( ) 2 3ln 28 7 2
3 2 a 9 2 ( ) ( ) 所以当 时， ................................12 分
2 4 灭
{#{QQABZYIEogioAAIAABhCAQGaCgOQkACACCoGBAAMIAABgRFABAA=}#}
