重庆市缙云教育联盟2023-2024高二上学期12月月考试题 数学（含解析）

重庆缙云教育联盟2023-2024学年（上）12月月度质量检测
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2. 经过点且斜率为1的直线方程为
A. B. C. D.
3. 已知a，b为异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角θ为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 4
5. 直线被圆截得的弦长（ ）
A. B. C. D.
6. 为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A. B. 若平面PAC，则
C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形
7. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A.
B.
C. 直线AQ与BQ斜率之和为0
D. 准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 若三条直线，，交于一点，则a的值为（ ）
A. B. 3 C. 1 D. 2
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，共线
B. 若，则，共线
C. 若，，则，，共面
D. 若，，则，，共面
11. 如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点关于点对称点的坐标为
B. 夹角的余弦值为
C. 平面的一个法向量的坐标为
D. 平面与平面夹角的正弦值为
12. 已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线是圆的一条对称轴，则_________．
14. 已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则______.
15. 已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________．
16. 正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率．
18. 已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积．
19. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（1）求C方程；
（2）若点，，在椭圆C上，原点O为的重心，证明：的面积为定值．
20. 已知线段AB端点B的坐标是，端点A在圆上运动.
（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
（2）设圆C1与曲线C2交点为M、N，求线段MN的长．
21. 如图，在圆台中，平面过上下底面的圆心，，点M在上，N为的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
22. 已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，关于直线的对称点为斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求四边形的面积取值范围．
重庆缙云教育联盟2023-2024学年（上）12月月度质量检测
高二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；
4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【详解】由得，
即所求圆的圆心坐标为.
由该圆过点，得其半径为1，
故圆的方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
2. 经过点且斜率为1的直线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用直线的点斜式方程求解．
【详解】解：经过点且斜率为1的直线方程为：
y﹣1＝1×（x﹣1），
整理，得．
故选A．
【点睛】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要注意点斜式方程的合理运用．
3. 已知a，b为异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角θ为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由＝＋＋，利用向量法求解.
【详解】如图所示：
连接AD，
则＝＋＋，
·＝(＋＋)·，
＝·＋||2＋·，
＝0＋1＋0＝1，又||＝2，||＝1，
所以cosθ＝＝，
因为，
所以异面直线a与b所成的角是.
故选：D
4. 若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A. 1 B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】先求得m的值，再去求两平行直线间的距离即可.
【详解】由直线与直线平行，
可得，解之得
则直线与直线间的距离为
故选：B
5. 直线被圆截得的弦长（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离，利用勾股定理与垂径定理计算可得．
【详解】圆心为，半径，圆心到直线的距离，
所以直线被圆截得弦长为．
故选：C．
6. 为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（ ）
A. B. 若平面PAC，则
C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】连接，根据正方体的性质，证得平面，得到，可判定A正确；连接，证得平面，得到点在平面中，可判定B正确；设正方体的棱长为，当时，求得，可判定C不正确；建立如图所示的空间直角坐标系，求得的坐标，利用，求得的范围，可判定D正确.
【详解】如图（1）所示：
对于A中，正方体中，连接，
因为平面，且平面，所以，
又由且，所以平面，
因为，所以平面，所以，所以A正确；
对于B中，正方体中，连接，
可得，且，所以平面，
若平面，可得点在平面中，可得，
又由，所以，所以B正确；
对于C中，设正方体的棱长为，
当为的中点时，即时，可得，，
由余弦定理可得，可得，
所以若为钝角三角形，则是不正确的，故C不正确；
对于D中，建立如图所示的空间直角坐标系，如图（2）所示不妨设正方体的棱长为1，
则，
可得，
,
由，
令，解得或（舍去），
又由，所以，
即当时，，即为锐角，
又因为中，，所以为锐角三角形，所以D正确.
故选：C.
7. 如图，分别为双曲线的左、右焦点，过点作直线，使直线与圆相切于点P,设直线交双曲线的左右两支分别于A、B两点（A、B位于线段 上），若,则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，，设则，由题意可知，，即，即， 则，求解离心率即可.
【详解】连接，，设则，即，，
根据双曲线定义可知，
即
即
直线与圆相切于点P
在中①
在中②
在中③
②③联立得，即
①②联立得即④
将代入④，即，
整理得即
故选：B
【点睛】本题考查双曲的离心率，解决本题的关键是根据双曲线的定义表示出与，本题属于中档题.
8. 抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点，过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（ ）
A.
B.
C. 直线AQ与BQ的斜率之和为0
D. 准线l上存在点M，若为等边三角形，可得直线AB的斜率为
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的性质，以及直线和抛物线的位置关系，结合韦达定理，利用斜率关系以及弦长和距离公式，逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，由，可得，故A选项不正确；
对于B，设A，B两点的坐标分别为，，
根据题意得，焦点，则设直线AB的方程为，
联立方程，消去x后整理为，则，，
，，
，故B选项不正确；
对于C，，
故C选项正确；
对于D，如图，设AB的中点为N，连MN，过N作NH⊥直线l，H为垂足，
根据B项可得N点坐标为，
则，
由为等边三角形可得，
则，
则，
由对称性及MN⊥AB可知直线AB的斜率为，
故D选项不正确．
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.
9. 若三条直线，，交于一点，则a值为（ ）
A. B. 3 C. 1 D. 2
【答案】CD
【解析】
【分析】先求出直线与交点，然后代入直线方程即可得到.
【详解】解：联立直线方程与，
即，解得，
故直线与的交点为，
因为三条直线，，交于一点，
所以将代入，
解得或2.
故选：CD.
10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A 若，则，共线
B. 若，则，共线
C. 若，，则，，共面
D. 若，，则，，共面
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据共线向量的定义即可判断AB；根据共面向量的定义即可判断CD.
【详解】对A，因为，所以，共线，故A正确；
对B，因为，所以，共线，故B正确；
对C，因为，所以，，共面，故C正确；
对D，设，则，该方程组无解，故，，不共面，故D错误，
故选：ABC.
11. 如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（ ）
A. 点关于点的对称点的坐标为
B. 夹角的余弦值为
C. 平面的一个法向量的坐标为
D. 平面与平面夹角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据点对称特点即可判断A，根据线线角的空间向量计算即可判断B，根据法向量的求法即可判断C，根据面面角的计算方法即可判断D.
【详解】对于A，设点关于点的对称点为，则中点为，
由得，A正确；
对于B，由，得，
所以夹角的余弦值为，B错误；
对于C，因为，所以，
设平面的一个法向量的坐标为，
则，取得平面的一个法向量的坐标为，C正确；
平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，
，
平面与平面夹角的正弦值为，D正确.
故选：ACD.
12. 已知，同时为椭圆：与双曲线：的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点M，椭圆与双曲线的离心率分别为，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D.
【详解】
对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A项错误；
对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义
可得，
所以，.
在中，由余弦定理可得，
即，
整理可得，.
所以有，即，故B项正确；
对于C项，若，则为直角三角形，
所以，，
即，
整理可得，，
两边同时除以可得，，即，故C项正确；
对于D项，由已知可得.
所以，.
令，则.
因为，所以.
又，所以有，所以有；，所以有，所以有.
所以，.
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，
所以，，
所以，，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：D项，根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线是圆的一条对称轴，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为直线过圆心，从而得解.
【详解】圆的圆心坐标为，
因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上，
所以，解得.
故答案为：.
14. 已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，满足，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得出，，再由余弦定理求解即可.
【详解】由椭圆方程知：，，；
若，，，
又，，
又，.
故答案为：.
15. 已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,
由几何关系可知，则，
即，
由椭圆的定义可知，即且，
整理得，解得，
.
故答案为：.
16. 正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先构建空间直角坐标系，取的中点，证明出平面，得到点在上，结合的面积取得最小值时，得出，得出的位置，过点作交平面于点，连接，，可以得到直三棱柱，再向外构建长方体，三棱锥外接球即为长方体外接球，根据长方体外接球的求法得到球的半径，再利用球的体积公式即可得到结果.
【详解】如图以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，取的中点，连接，，，
得，，，，，所以，，
，因为，，所以
，，所以平面，因为，点又在平面上，所以点在
直线上，则，当的面积取得最小值时，线段的长度即为点到直
线的距离，即时，面积最小，由，，为直角三角形，可得
，，，过点作交平面于点，连接，，可以得
到直三棱柱，向外构建长方体，则三棱锥外接球即可以为长方
体的外接球，设外接球的半径为，所以，即
，则外接球体积为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
解决与球有关的外接问题时，一般有两种方法可以去解决：
（1）若能补全长方体或者正方体，可以直接利用球的直径为长方体或正方体体对角线进行求解.
（2）若不能用补全的方法去做，则可构造球心到截面圆的垂线段，小圆的半径和球半径组成直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，求椭圆的离心率．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到，得到，进而得到离心率.
【详解】短轴长为2b，焦距为2c，由题意得：，即，，椭圆离心率.
18. 已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得，求出，从而可求得抛物线的方程，
（2）将的坐标代入抛物线方程可求出点的坐标，设切线方程为，代入抛物线方程中化简后，由判别式为零可求出，从而可得直线方程，进而可求出点M的坐标，然后可求出的面积
【小问1详解】
由抛物线的定义可知， 即，抛物线的方程为，
【小问2详解】
，且A在第一象限，，即A（4，4），
显然切线的斜率存在，故可设其方程为，．
由，消去得，即，
令，解得，
切线方程为．
令x=0，得，即，
．
19. 平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（1）求C的方程；
（2）若点，，在椭圆C上，原点O为的重心，证明：的面积为定值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出，再根据离心率以及的关系即可得到，从而得出C的方程；
（2）先考虑求出直线斜率不存在时， 的面积，再证明当直线斜率存在时， 的面积为定值即可．
【小问1详解】
记两圆与椭圆的交点为Q，
根据椭圆的定义可知，，故．
由题可知离心率，故，
则，故椭圆C的方程为．
【小问2详解】
设，，，
当直线斜率不存在时，即，
由原点O为的重心，可知，，
故可得此时有，该点在椭圆上，则，
不妨取，则有，，，
或，，，则此时．
当直线斜率存在时，不妨设方程为，
则联立，整理得，
且需满足，
则，，
所以，
由原点O为的重心知，，，
由坐标为，
代入到中，化简得，即，
又原点O为的重心，故到直线的距离为原点O到直线距离的3倍，
所以，
而
，
因此
，
综合上述，可知的面积为定值．
【点睛】关键点睛：涉及椭圆中的三角形的面积问题，解题关键是利用直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积公式计算，运算较复杂．
20. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动.
（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
（2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
【答案】20.
21.
【解析】
【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可；
（2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解；
小问1详解】
设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
【小问2详解】
将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
21. 如图，在圆台中，平面过上下底面的圆心，，点M在上，N为的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用圆的性质和圆台高的性质可以证明出平面，再利用面面垂直的判定定理证明出平面平面；
（2）求可知：，故分别，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.利用空间向量根据已知可以求出圆台的高，最后利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值.
【详解】（1）在中，因为N为中点，∴.
在圆台中，因为底面
∴，，平面.
∴平面.
又平面
∴平面平面
（2）当时，，故分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
设，则，，
故，.
所在平面的法向量为.
记与底面，所成角为
则，解得：.
∴
设平面的法向量为
由得：
平面的法向量为，记二面角的大小为，
则.
∴二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查了面面垂直、线面垂直的证明，考查了线面角、二面角的求法，考查了推理论证能力和数学运算能力.
22. 已知椭圆的左右焦点分别为，，焦距为4，直线与椭圆相交于，两点，关于直线的对称点为斜率为的直线与线段相交于点，与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）求四边形的面积取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）求出、的值，进一步求出的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，由斜率关系可得出，根据四边形的面积公式求出四边形面积关于的关系式，由此可求得结果.
【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率为，
由已知条件可得，解得，，
因此，椭圆的标准方程为；
（2）设直线的方程为，设点、．
由得，，
所以，，由韦达定理可得，
由（1）知直线代入椭圆得、，得，
由直线与线段相交于点，由，解得，
所以，解得，满足．
，
而与，知，
．
由，得，
四边形面积的取值范围.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法
（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解．
（2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围．
（3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围．
（4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解.