江苏省苏州市2023-2024年高三上学期期末摸底调研数学试题（基础）(Word含答案）

苏州市2023-2024年高三上学期期末摸底调研数学试题（基础）
（总分：150分；考试时长：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知（，i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．1
5．已知函数的图象向左平移个单位长度后与其导函数的图象重合，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
6．已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则该三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是面积为的等边三角形，四边形是面积为2的正方形，其各顶点均位于的内部及三边上，且可在内任意旋转，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，，，则下列关系正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知向量，的夹角为60°，，，则与向量的夹角为锐角的向量有（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量服从正态分布，则下列说法中正确的有（ ）
A． B．
C． D．的方差为2
11．已知抛物线的焦点为F，O是坐标原点，P为抛物线C上一动点，直线l交C于A，B两点，点不在抛物线C上，则（ ）
A．若A，B，F，Q四点共线，则
B．若的最小值为2，则
C．若直线l过焦点F，则直线，的斜率，满足
D．若过点A，B所作的抛物线的两条切线互相垂直，且A，B两点的纵坐标之和的最小值为4，则的面积为4
12．在棱长为1的正方体中，设，其中，则（ ）
A． B．与平面所成角的最大值为
C．若，则平面平面 D．若 为锐角三角形，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中项的系数是 .
14．已知函数，且对任意恒成立，若角的终边经过点，则 .
15．将8块完全相同的巧克力分配给A，B，C，D四人，每人至少分到1块且最多分到3块，则不同的分配方案共有 种（用数字作答）.
16．已知函数.当时，若函数的图象与直线有且仅有两个交点，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)证明：；
(2)若的面积最大值为，求c.
18．记为数列的前n项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足求中的最大项与最小项．
19．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.
(1)证明：；
(2)若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.
20．为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”.为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%.
（1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别有关？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 12
女生 36
合计 100
（2）若用频率估计概率，在随机抽取的100名学生中，从男学生和女学生中各随机抽取1名学生，求这2人中恰有1人不感兴趣的概率；
（3）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生．现从不感兴趣的男学生中随机选出3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.702 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段PF的垂直平分线与直线PE交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A，过点的直线l与曲线C交于点M，N（异于点A），直线MA，NA与直线分别交于点G，H.若点F，A，G，H四点共圆，求实数t的值.
22．已知函数
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个零点，求的范围，并证明
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．B 2．B 3．A 4．B 5．D 6．B 7．D 8．D
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．BC 10．AB 11．CD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．
14．3
15．19
16．且
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）由可得，
，
再由正弦定理可得，
，
即，
根据余弦定理可知，
，
化简得：，故原等式成立.
（2）
，当且仅当即时等号成立，
所以，所以，即.
18．（1）法一：
在中，
令，得，
故，
因为，①
所以，②
，得，
即，③
当时，将③式两边同时除以，
得，
所以，
所以当时，，
又因为，所以；
法二：因为①，
所以②
，得，
即③，
从而④，
得，
即，
所以为等差数列．
在中，
令，得，故，
又因为为等差数列，所以；
（2）由（1）得，
当时，
，
且，
所以，
所以中的最大项为，最小项为．
19．（1）证明：如图，连接，因为，为中点，
所以，由平面，平面平面，平面平面，
故平面；因为平面，所以；
因为，，且，平面
所以平面；
而平面，所以.
（2）由（1），且为平行四边形，所以，
因为，所以
由于四棱锥的体积为，
故，解得；
如图，以为坐标原点，，方向为，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，
因为为的中点，且，所以，
所以，
设异面直线与所成角为，，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为
20．（1）列联表补充如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男 44 12 56
女 36 8 44
合计 80 20 100
计算
所以没有90%的把握认为学生对“冬季长跑”的兴趣度与性别有关.
（2）设2人中恰有1人不感兴趣这一事件为A，
则
（3）根据题意，X的值可能为0，1，2，3.
则，
，
故X的分布列如下：
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望：.
21．（1）因为Q在线段PF的中垂线上，所以，
故，
所以点Q的轨迹是以E，F为焦点的双曲线，其焦距，，
且，，故，
所以曲线C的方程为.
（2）设直线l：，，，
联立方程组，整理得，
则，且.
因为F，A，G，H四点共圆，所以，
又，所以，
故，所以，即，
所以.
又直线AM：，令，得，
同理，
故
，其中，
所以，解得，
所以实数t的值为.
22．（1）的定义域为，
当时，，导函数，
令，得或；
令，得且；
所以的单调增区间为和，单调减区间为和；
（2）当时，只有1个零点，不符合题意；
当时，若，则；若，则，不符合题意，所以.
当时，，所以在和均单调递增.
当时，由，
，
所以在上有一个零点；
当，同理，
所以在上有一个零点，所以的范围是，
因为的两个零点为，
所以，即，所以，
同理，，
所以，
若，即，
则，
所以的两个零点互为倒数，即，
所以（等号不成立），所以，
所以，
所以得证.