人教B版（2019）必修第一册《第三章 函数》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）方程x3-x-3=0的实数解落在的区间是（ ）
A. [-1，0] B. [0，1] C. [1，2] D. [2，3]
2.（5分）定义在上的函数的图象关于直线对称，且函数是偶函数若当时，，则函数在区间上零点的个数为
A. B. C. D.
3.（5分）的零点个数为
A. B. C. D.
4.（5分）函数的图象为
A. B.
C. D.
5.（5分）函数的零点所在区间是
A. B. C. D.
6.（5分）方程的解所在区间是
A. B. C. D.
7.（5分）函数的图象大致是
A. B.
C. D.
8.（5分）下列函数中是偶函数的是
A. ， B.
C. ， D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）某同学在研究函数的性质时，受两点间距离公式的启发，将变形为，则下列关于函数的描述正确的是
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数的图象是中心对称图形
C. 函数的值域是
D. 方程无实数解
10.（5分）下列各组函数是同一函数的是
①与；
②与；
③与；
④与
A. ① B. ② C. ③ D. ④
11.（5分）已知奇函数是定义在上的减函数，且，若，则下列结论一定成立的是
A. B.
C. D.
12.（5分）函数的函数值表示不超过的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域相同的函数为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
13.（5分）若函数满足：，则可能是
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若是上单调递减的一次函数，若，则______．
15.（5分）已经函数在上的最大值为，最小值为，则______
16.（5分）已知，求______．
17.（5分）某品牌汽车的月产能万辆与月份且满足关系式现已知该品牌汽车今年月、月的产能分别为万辆和万辆，则该品牌汽车月的产能为 ______ 万辆．
18.（5分）已知常数，若函数在上恒有，且，则函数在区间上零点的个数是______
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）若对一切实数都有求，并证明为奇函数；若，求，
20.（12分）已知函数满足下列条件：
①当时，的最小值为，且成立
②当时， 恒成立．
求的值
求的解析式
求最大的实数，使得存在实数，只要当时，就有．
21.（12分）设．
求的反函数：
讨论在上的单调性，并加以证明：
令，当，时，在上的值域是，求的取值范围．
22.（12分）已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性．
23.（12分）设函数的定义域为，并且满足， ，且当时，．求的值；
判断函数的奇偶性；
如果，求取值范围．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：令f（x）=-x-3，
易知函数f（x）=-x-3在R上连续，
f（1）=-3＜0，f（2）=8-2-3=3＞0；
故f（1） f（2）＜0，
故函数f（x）=2x-3的零点所在的区间为[1，2]；
故选C．
2.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了函数的奇偶性、周期性，函数图象的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．
由题可得是周期为的偶函数，根据当时，，作出与的图象，结合图象即可求解．
解：函数在区间上零点的个数，
等价于的图象与的图象的交点个数，
函数的图象关于直线对称，
则关于轴对称，，
又函数是偶函数，则，
得是周期为的偶函数，
当时，，
作出与图象，如下图，
可知每个周期内有两个交点，
所以函数在区间上零点的个数为
故选
3.【答案】B;
【解析】解：定义域为，求零点个数，即求解的个数．
画出两个函数与的图象，由函数的图象可知两个图象有个交点，
即的零点个数为．
故选：．
将函数的零点问题转化为方程的根的问题，进一步转化为函数图象的交点问题．
该题考查了函数零点的个数的判断，即对应方程的根，数形结合的应用，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：函数的的应用为，
，则是偶函数，图象关于轴对称，排除，
当时，，排除，
当时，，排除，
故选：．
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，结合函数值以及极限思想进行排除即可．
此题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，特殊值以及极限思想是解决本题的关键．
5.【答案】B;
【解析】
由函数的解析式求得，根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在区间．这道题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
解：函数，在上单调递增，且连续，
，，
故有，
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在区间是，
故选B．
6.【答案】A;
【解析】
该题考查函数零点存在性定理应用，属于基础题．
构造函数，分别计算区间端点的函数值，再验证是否符合函数零点存在的判定内容．
解：令，得函数在上单调递增，
A、由，知，，故A正确；
B、由，知，，故B不正确；
C、由，知，，故C不正确；
D、由，知，，故D不正确．
由零点存在定理得方程的解所在区间为．
故选A．
7.【答案】A;
【解析】解：分别设，，
，，
函数，均为奇函数，
所以原函数为偶函数，
故排除，，
而当取很小的正数时，，，
故，排除，
故选：
因为分子分母分别为奇函数，所以原函数为偶函数，排除、，而当取很小的正数时，，，故，排除，选
此题主要考查了函数图象的识别，关键是判断出函数为偶函数，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：对于定义域为不关于原点对称，不具奇偶性，不满足条件；
对于，不满足偶函数条件；
对于定义域为不关于原点对称，不具奇偶性，不满足条件；
对于的定义域为，满足，则为偶函数，满足条件．
故选D．
由偶函数的定义，首先判断定义域是否关于原点对称，再检验是否等于，即可得到结论．
该题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义判断是解答该题的关键，属于基础题．
9.【答案】ACD;
【解析】解：根据条件可知可理解为线段与的和，其中，，，
对于：因为，故函数关于对称，
由函数的几何意义知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A正确；
对于：法一：因为，所以函数不是奇函数，所以图象关于原点不对称不是中心对称图形；
法二：定义域为，，所以图象关于原点不对称不是中心对称图形；
所以B错误．
对于：取点关于轴的对称点，则，而，所以，
即函数的值域为，故C正确．
对于：设，则方程，等价为，
即，解得，或因为函数，所以当或时，不成立，所以方程无解，故D正确．
故选：．
根据条件得到可理解为线段与的和，其中，，，
①根据得到函数图象关于对称，结合其几何意义可判断
②利用可判断．
③利用两点之间线段最短证明．
④利用函数的值域进行判断．
本题综合考查了函数的性质，综合性较强，运算量较大，综便考查学生的分析能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档偏难题．
10.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查了判定两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判定它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题.
根据函数的定义域相同，对应关系也相同的两个函数是同一函数，对给出的函数进行判定即可．
解：①与的定义域为对应关系不同，不是同一函数；
②与的定义域为，对应关系相同，是同一函数；
③的定义域为与的定义域为，当时，对应的都等于，是同一函数；
④与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合问题，属于中档题.
A.由为定义在上的奇函数，所以，可得，可判断选项
由，又为定义在上的减函数，且，，从而可判断选项
由题意，根据是定义在上的减函数，则，可判断选项
因为，所以，可判断选项
解：因为为定义在上的奇函数，所以，因为，
所以，故正确；
因为为定义在上的减函数，且，，
即所以，故不一定成立；
因为，所以，
所以，因为是定义在上的减函数，
所以，所以，即，故正确；
因为，所以，，
所以，选项错误.
故选
12.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了函数的值域，属中档题．
求出在上的值域，与各选项中函数的值域，比较可知答案．
解：当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，的值域为
对于选项，，，该函数的值域为，符合题意；
对于选项，，，该函数的值域为，符合题意；
对于选项，，，该函数的值域为，不符合题意；
对于选项，，，该函数的值域为，符合题意，
故选
13.【答案】ABC;
【解析】解：由可得或，
若恒成立，则为偶函数，成立，
恒成立，则为奇函数，成立，
若恒成立，则即是奇函数又是偶函数，C正确，
故选：．
由可得或，然后结合函数奇偶性的定义即可判断．
这道题主要考查了函数奇偶性及单调性的定义的简单应用，属于基础试题，
14.【答案】-2x+1;
【解析】解：由于是单调递减的一次函数，故可设，
于是，
又，
，又，
，，
．
故答案为：．
设，得出解析式，根据多项式相等得出，的值．
该题考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题．
15.【答案】-8;
【解析】解：设，，
，
那么
函数转化为
令，
可得是奇函数，
，
最大值为，
最小值为，
则，
故答案为：．
换元法：令，利用奇函数的最值之和为定值的关系即可求解．
此题主要考查了换元法的应用和奇函数在对称区间的最值之和为定值的性质；属于中档题．
16.【答案】;
【解析】解：，
令，可得：，
故答案为：
由已知中，令，可得：的值．
该题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．
17.【答案】;
【解析】解：某品牌汽车的月产能万辆与月份且满足关系式．
该品牌汽车今年月、月的产能分别为万辆和万辆，
，
解得，，
，
该品牌汽车月的产能为万辆．
故答案为：．
由该品牌汽车今年月、月的产能分别为万辆和万辆，列出方程组，求出，，即，由此能求出该品牌汽车月的产能．
该题考查产能的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数在生产生活中的实际应用．
18.【答案】15;
【解析】解：函数在上恒有，
，
函数的周期为，
常数，
，
函数在区间的零点，即函数与直线及直线之间的直线的交点个数，
由函数，可得函数一个周期内的图象，作草图如下，
由图可知，在一个周期内，函数有个零点，
函数在区间上有个零点．
故答案为：．
根据求出函数的周期，作出函数在一个周期内的图象，利用数形结合思想即可求得答案．
该题考查函数零点的个数判断，考查数形结合思想在解题中的运用，属于中档题．
19.【答案】（1），证明见解析；（2）.;
【解析】令，则，，令，则，即，为奇函数；为奇函数，，又，，
20.【答案】解：当时， 恒成立，
当时，；
；
，
函数的图象关于对称，
又当时，的最小值为，
，；
又；
；
故；
，
；
设，
则，；
则，，
所以，
故的最大值为．;
【解析】该题考查了二次函数的性质及应用，同时考查了恒成立问题及存在性问题的应用，属于中档题．
令可得；从而解得；
结合当时，的最小值为，且成立及二次函数的性质可求出二次函数的解析式；
由二次函数的性质知，设，则恒成立问题可化为，，从而解得．
21.【答案】解：（1）令y=，解得
（2）设1＜＜，∵
∴0＜a＜1时，（）＞（），
∴（x）在（1．+∞）上是减函数：
a＞1时，（）＜（），
∴（x）在（1．+∞）上是增函数．
（3）当0＜a＜1时，∵（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴，即有得，即a+（a-1）x+1=0，可知方程的两个根均大于1，故有，
当a＞1时，∵（x）在（1．+∞）上是增函数，
∴ a=-1（舍去）．
综上，得 ．;
【解析】
令，由求反函数的规则解出．
由，此是一个复合函数函数，外层函数的单调性要由底数的取值范围确定，要分两类讨论，内层函数的单调性可由定义法证明，再由复合函数的单调性判断出函数的单调性即可．
本题要按的取值范围分两类求解，当时，是一个减函数，由在上是减函数故可得从中解出的取值范围，当时，同理可得，解出的取值范围，再并起来即可得到符合条件的参数的取值范围．
该题考查对数函数的综合运用，考查了反函数的求法，复合函数单调性的判断，利用单调性确定函数的最值，解答该题的关键是理解对数的单调性，利用单调性判断出最值，由最值得出方程，解出参数的取值范围，分类讨论得出函数的单调性是本题的重点，本题难点出现在第三小题，由，转化出，题后注意体会规律．
22.【答案】解：要使函数有意义，则x≠0且＞0，
解得-1＜x＜1且x≠0，即定义域为（-1，0）∪（0，1）；
∵f（-x）=-=-+=-f（x），
∴f（x）=-lo，为奇函数．;
【解析】
依题意，且，解之即可求得函数的定义域，利用奇偶函数的概念即可判断它的奇偶性．
该题考查函数奇偶性的判断，考查函数的定义域及其求法，考查分析、运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)∵函数满足f(x+y)=f(x)+f(y)，
∴令x=y=0，得f(0)=f(0)+f(0)，解得f(0)=0．
∴f(0)=0．
(2)∵y=f(x)的定义域为R，
f(x+y)=f(x)+f(y)，f(0)=0，
∴y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，
∴f(x)是奇函数．
(3)∵f(x+y)=f(x)+f(y)，，且当x＞0时，f(x)＞0．
f()=f()+f(-)，令＞，则f()＞f()，所以函数单调递增，
∵f(x)+f(2+x)＜2，
∴，
∴x取值范围是(-∞，-)．;
【解析】由函数满足，令，能求出．
由的定义域为，，，令，能推导出是奇函数．
利用单调性的定义，结合足，可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
