人教B版（2019）必修第一册《3.1.1 函数及其表示方法》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
2.（5分）函数的图象大致为
A. B.
C. D.
3.（5分）函数的部分图象大致为
A. B.
C. D.
4.（5分）已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象为
A. B.
C. D.
5.（5分）设函数，若，则实数的值为
A. B. 或 C. D. 或
6.（5分）函数的图象大致为
A. B.
C. D.
7.（5分）函数的大致图象是
A. B.
C. D.
8.（5分）下面的图象中可表示函数的只可能是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）如果函数对其定义域内的任意两个实数，都满足不等式，那么称函数在定义域上具有性质，则下列函数具有性质的是
A. B. C. D.
10.（5分）已知定义域为的函数满足：对任意，恒有成立；当时，给出如下结论，正确的是
A. 对任意，有；
B. 函数的值域为；
C. 存在，使得；
D. “函数在区间上单调递减”的充要条件是 “存在，使得”
11.（5分）下列函数中值域为的有
A.
B.
C.
D.
12.（5分）下列各组函数中是同一函数的是
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
13.（5分）如图是函数的图像，则函数在下列区间单调递增的是
A. B.
C. D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若函数是偶函数，且在上是增函数，若，则满足的实数的取值范围是______．
15.（5分）已知函数且在上的值域是，则______
16.（5分）已知下列四组函数：
①，；
②，；
③，；
④，
其中表示相同函数的是________________写出所有相同函数的序号
17.（5分）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ______.
18.（5分）已知函数是二次函数，且满足，则______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数．
若，求的定义域．
若的值域为，求实数的取值范围．
20.（12分）已知定义在的函数满足以下条件：
①对任意实数，恒有；
②当时，；
③．
求，的值；
若对任意恒成立，求的取值范围；
求不等式的解集．
21.（12分）已知集合存在，使得成立．
判断是否属于；
判断是否属于；
若，求实数的取值范围．
22.（12分）已知函数的值满足，对任意实数，都有，且，，当时，．
求的值，判断的奇偶性并证明；
判断在上的单调性，并给出证明；
若且，求的取值范围．
23.（12分）已知函数的定义域为，满足条件：①，②，③当时，．
求证：函数是偶函数；
讨论函数的单调性；
求不等式的解集．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．
作出关于轴对称的函数和的函数图象，根据与有交点得出的范围．
解：设与的图象关于轴对称，
则
作出与的函数图象如图所示：
与图象上存在关于轴对称的点，
与的图象有交点，
，即．
故选：．
2.【答案】B;
【解析】解：根据题意，，，
则，，排除，
故选：
根据题意，由函数的解析式求出、的值，分析选项可得答案．
此题主要考查函数的图象分析，涉及函数值的计算，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：函数，
可知：，函数是奇函数．
排除、，当时，，排除，
故选：．
判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊点的位置判断即可．
该题考查函数的图象的判断与应用，函数的奇偶性与特殊点位置是判断函数的图形的常用方法．
4.【答案】A;
【解析】解：由图象知，当或时，；
当时，，
故选：．
根据二次函数的取值符号去判断对应符号关系进行判断即可．
这道题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号关系是解决本题的关键．
5.【答案】B;
【解析】解：根据题意，函数，若，
当时，，解可得；
当时，，解可得；
则或；
故选：．
根据题意，由函数的解析式分段讨论，求出的值，综合即可得答案．
该题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：因为，所以为偶函数，排除选项A和；
当时，，排除选项C，
故选：．
先根据函数奇偶性的概念可判断出函数为偶函数，于是排除选项A和；再对比选项C和，不妨计算时的函数值即可作出选择．
该题考查函数的图象与性质，一般从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的性质将函数转化为分段函数形式，结合指数函数的图象和性质进行判断即可．
这道题主要考查函数图象的识别和判断，结合分段函数的性质是解决本题的关键．
8.【答案】D;
【解析】解：根据函数的定义，对于每一个自变量，总有唯一一个因变量对应，中的同一个值存在对应个值，只有D正确，
故选：．
根据函数的定义，对于每一个自变量，总有唯一一个因变量对应，中的同一个值有对应个值，只有D正确．
该题考查函数定义的理解，属于基础题．
9.【答案】BC;
【解析】解：根据题意，若任意两个实数，都满足不等式，
则函数的图象向下凹，
而函数和符合这个特点，函数的图象是水平直线，函数的图象向上凸，
故选：
根据题意，分析满足的函数图象上的特点，分析选项可得答案．
此题主要考查函数的图象特点，注意的函数图象上的特点，属于基础题．
10.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了分段函数和抽象函数，考查了充要条件，考查了新概念严格函数等知识，属于较难题.
根据定义可求出，再逐步递推…；
分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；
根据的结论求出，再判断是否存在值；
由的结论，显然可得结论．
解：时，
，
，…，故正确；
，设时，则
若时，则
…
一般地当
则
从而故正确；
，由知当
，假设存在使，
即，，，
不成立，故错误；
，由知当时，单调递减，为减函数，
若”，则“函数在区间上单调递减”，故正确．
故选：
11.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查了函数定义域与值域，函数图象的作法和数形结合思想，属于基础题.
利用函数图象求函数值域对，和进行判断，再利用函数图象的作法得函数的图象，利用函数图象求函数值域对进行判断，从而得结论.
解：对于、由函数的图象知，函数的值域为，因此正确；
对于、由函数的图象知，函数的值域为，因此不正确；
对于、作函数的图象如下：
由图象知，函数的值域为，因此正确；
对于、由函数的图象知，函数的值域为，因此不正确.
故选
12.【答案】ACD;
【解析】【解析】
对于与是同一个函数：
对于函数的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一
个函数：
对于与是同一个函数：
对于定义域和解析式都相同，是同一个函数故选、、
13.【答案】BC;
【解析】解：由图像可得函数的单调递增区间为，，，
故选：
结合图像即可求解单调递增区间．
此题主要考查函数的图像与函数的单调性，属于基础题．
14.【答案】;
【解析】解：根据题意，满足，则，
又由函数是偶函数，且在上是增函数，则有，
变形可得：，
解可得：或，
即的取值范围为；
故答案为：．
根据题意，由函数的特殊值分析可得，结合函数的奇偶性与单调性可得，解可得的取值范围，即可得答案．
该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．
15.【答案】;
【解析】解：，且是单调函数；
；
．
故答案为：．
可以求出，并可看出是单调函数，从而可以得出，从而可以求出．
考查函数定义域、值域的定义及求法，对数函数、一次函数和复合函数的单调性，单调函数的定义域和值域的关系．
16.【答案】③;
【解析】
此题主要考查函数的概念和表示方法，判断两函数是否为同一函数主要从定义域和对应法则两方面考虑.
解：对于①，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，不是相同函数；
对于②，函数的定义域为，函数两函数的对应法则不同，不是相同函数；
对于③，函数，定义域为，函数，定义域为，所以两函数是相同函数；
对于④，函数的定义域为，函数，定义域为，两函数的定义域不同，不是相同函数.
故答案为③.
17.【答案】[0，3];
【解析】解：函数的定义域为，
要使函数有意义，
则且，解得，
所以函数的定义域为
故答案为：
利用函数定义域的含义以及复合函数的定义域，列式求解即可．
此题主要考查了函数定义域的理解与应用，考查了复合函数定义域的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
18.【答案】2-x+1;
【解析】解：设，则：，；
；
又；
；
；
解得；
．
故答案为：．
可设，从而可求出，，然后根据即可得出，从而得出，解出，，即可．
考查二次函数的一般形式，待定系数法求函数解析式的方法，多项式相等的充要条件．
19.【答案】解：（1）当a=2时，f（x）=，
由-3-3x+6≥0，解得-2≤x≤1．
∴f（x）的定义域为[-2，1]；
（2）∵f（x）的值域为[0，+∞），
∴，解得a=-1；
或，解得．
综上，．;
【解析】
把代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于求解的范围可得函数定义域；
把的值域为分类转化为关于的不等式组求解．
该题考查函数的定义域、值域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．
20.【答案】解：（1）令x=y=1可得f（2）=f（1）f（1）+2f（1）=3，
令x=y=0可得f（0）=f（0）f（0）+2f（0），则f（0）=0或f（0）=-1，
令x=1，y=0可得f（1）=f（1）f（0）+f（0）+f（1），若f（0）=-1，则f（1）=f（0）=-1与已知矛盾，∴f（0）=0；
（2）f（2x）-a≥af（x）-5对任意x恒成立 （x）+2f（x）-a≥af（x）-5对任意x恒成立，
令f（x）=t，以下探讨f（x）=t的取值范围．
令y=-x可得f（0）=f（-x）f（x）+f（x）+f（-x） f（x）=，
当x＜0时，f-x）＞0，则-1＜f（x）=＜0，
∴x∈R时，f（x）=t∈（-1，+∞）．
原不等式等价于：+2t-a≥at-5在t∈（-1，+∞）恒成立，
即t+2t+5≥（t+1）a a≤．
g（t）=，当t=1时取等号．
∴a≤4．
（3）由（2）可得f（x）∈（-1+∞），f（x+1）∈（-1+∞），
f（f（x））≥ [1+f（x+1）] f（f（x））≥7-f（x+1）
f（x+1） [1+f（x+1）] f（f（x））≥7-f（x+1）
f（x+1）+f（x+1） f（f（x））+f（f（x））≥7 f（x+1+f（x））≥7．
下面证明y=f（x）的单调性：
任取，∈R，且＞， f（-）＞0，f（）＞-1
则f（）-f（）=f（-+）-f（）=f（-）f（）+f（-）=f（-）[f（）+1]＞0
所以函数 y=f（x）在R上单调递增，
∵f（3）═f（1）f（2）+f（2）+f（1）=7，
∴f（x+1+f（x））≥7 ．f（x+1+f（x））≥f（3） x+1+f（x）≥3
令F（x）=x+1+f（x），F（x）在R上单调递增，且F（1）=3
x+1+f（x）≥3 F（x）≥F（3） x≥1，
所以原不等式解集为：[1，+∞）．;
【解析】
令可得；令可得或，令，可得，若，则与已知矛盾；
对任意恒成立对任意恒成立，先探讨的取值范围，原不等式等价于：在恒成立，
再证明函数 在上单调递增，原不等式转化为令，在上单调递增，
该题考查了抽象函数的单调性，及解抽象函数不等式的技巧，转化思想是关键，属于基础题．
21.【答案】解：由题意，，，
无解，；
，
；
令 ，
即 ；
法一：当时，满足，
；
法二：令，
，
存在，满足，
；
，
所以方程有解，
即，
整理得，，
令 ，
有正根，
令 ，
，
，
解得，
所以的取值范围是．;
【解析】
由列方程求方程是否有解即可；
由题意列方程，判断方程是否有解即可；
方法一，求出是方程的解；
方法二，构造函数，利用根的存在性定理判断方程有解；
根据题意列方程，利用方程有解求出的取值范围．
该题考查了抽象函数的应用问题，也考查了新定义的函数与方程的应用问题，是中档题．
22.【答案】解：（1）令x=y=-1，可得f（1）=1…（2分）令y=-1，则f（-x）=f（x） f（-1），∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），f（x）为偶函数．
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明如下：若x＞0，则f（x）=f（）≥0．
若存在＞0，使得f（）=0，则f（27）=f（）=f（）×f（）=0与已知矛盾，
∴当x＞0时，f（x）＞0
设：0＜＜，∴，由题设知
且，∴…（8分）
∴f（）＜f（），
故f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）∵f（27）=9，而f（27）=f（3×9）=f（3）×f（9）=[f（3）]3∴∵
∴f（a+1）≤f（3），∴a+1≤3，a≥0 0≤a≤2．
∴a的取值范围：[0，2]．;
【解析】
利用赋值法，令，代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性；
先证明当时，，再利用已知和单调函数的定义，证明函数在上的单调性；
先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可
该题考查了抽象函数表达式的意义和运用，函数奇偶性的定义和判断方法，函数单调性定义及其证明，利用函数的单调性解不等式的方法
23.【答案】解：（1）证明：函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
满足条件：①f（2）=1，②f（xy）=f（x）+f（y），
由f（2）=f（1×2）=f（1）+f（2），得f（1）=0．
由f（1）=f（[-1]×[-1]）=2f（-1）=0，得f（-1）=0．
∴f（-x）=f（-1 x）=f（-1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数．
（2）根据当x＞1时，f（x）＞0，任意取＞＞0，则＞1，∴f（）＞0，
∴，∴f（）＞f（），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
又f（x）是偶函数，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
（3）由f（x y）=f（x）+f（y），得f（x）+f（x-3）=f（x（x-3））．
又f（4）=f（2×2）=2f（2）=2，∴原不等式可转化为f（x（x-3））≤f（4）．
∵f（x）是偶函数，∴|x（x-3）|≤4，解得：-1≤x≤4，且x≠0，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集是[-1，0）∪（0，4]．;
【解析】
由条件先得到，再得到，根据，可得是偶函数．
任意取，可得，由，可得，可得在上是增函数，再利用函数为偶函数，得出结论．
原不等式可转化为，可得，解得的范围．
这道题主要考查抽象函数的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和应用，属于中档题．
