天津市河东区求真高级中学2023-2024高三上学期12月月考数学试题（含答案）

求真高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试卷
一、选择题（共9题，每题5分，共45分）
1、设全集U = {– 3，– 2，– 1，0，1，2，3}，集合M = {– 3，0，1}，集合N = { –1,2 }，则CU(M∪N) = （ ）
A、 B、{– 3，– 1，0，1，2}
C、{– 2，– 1，2，3} D、{– 2，3}
2、设命题P = “函数y = (2a – 1)x + a为递减函数”，命题Q = “a < 0”，则P是Q的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3、若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是= 2x + 1250，若用水量为50kg时，预计的某种产品的产量是（ ）
A、1350kg B、大于1350kg C、小于1350kg D、以上都不对
4、在的展开式中，若第2项系数为–，则a值为（ ）
A、2 B、– 2 C、– D、
5、已知a = 2 – log23，b = 2 – log34，c = log23 + log34，则（ ）
A、c < a < b B、b < a < c C、a < b < c D、c < b < a
6、用与球心O距离为2的平面截球，所得截面与球心O构成的圆锥的体积为6π，则球的表面积为（ ）
A、13π B、52π C、20π D、36π
7、圆C与y轴相切，切点为(0，2)，| OC | =（O为坐标原点），圆心C在第一象限，则圆的标准方程为（ ）
A、(x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 B、(x – 1)2 + (y – 2)2 = 5
C、(x – 2)2 + (y – 1)2 = 1 D、(x – 2)2 + (y – 1)2 = 5
8、已知f(x) = sin+ cos，x = φ (0 < φ < π)是函数f(x)的一条对称轴，g(x) =cos(2x +)，则下列说法中正确的是（ ）
A、x =是g(x)的一条对称轴 B、(，0)为g(x)的一个对称中心
C、g(x)与y轴的交点为(0，) D、g(x)在[–，]上单调递增
9、已知m，n均为正数，m + 2n = 1，则的最小值为（ ）
A、2 B、4 C、8 D、
二、填空题（共6题，每空5分，共30分）
10、设m，n为实数，i为虚数单位，已知复数= 3 + i，z = n + 2mi，则 | z | = ____
11、甲，乙等5人站成一排，则甲，乙相邻，且甲在乙左侧的概率为______
12、设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
p m n
已知E(X) =，则2m + n = _____
13、设O为坐标原点，双曲线(a > 0，b > 0)的右焦点为F，焦距为8，过F做渐近线的垂线，垂足为A，已知 |OA| = 2，则双曲线方程为 _________
14、8、点M为抛物线y2 = 2px (0 < p < 10)上点，抛物线焦点为F，过M作y轴垂线交y轴于N点，若△MNF是以MN为底边的等腰三角形，且NF = 6，则抛物线方程为_____
15、△ABC中，AC = BC，∠BAC = 60°，D为BC中点，E为AB中点，M为线段CE上动点，·= 4，则| AC | = _____；·的最小值为 ______
三、计算题（共5题，共75分）
16、（14分）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2cosC (acosB + bcosA) = c
(1)求角C的大小；
(2)若cosA =，求sin(–)的值.
(
A
A
1
B
C
M
C
1
B
1
)17、（15分）如图，在直三棱柱ABC–A1B1C1中，AB⊥AC，M为CC1中点，AB = AC = 2，CC1 = 4.
(1)证明：平面ABM⊥平面A1B1M；
(2)求直线BC与平面ABM所成角的大小；
(3)点N在线段BB1上，点N到平面ABM的距离为2，求BN的长.
18、（15分）设椭圆C：的上顶点为A，下顶点为B，焦距与短轴长相等，过A点的直线l与椭圆C交M点，点M不与上、下顶点重合.
(1)求离心率e；
(2)设点N与点M关于y轴对称，设直线AM斜率为k1，直线BN的斜率为k2，求k1·k2的值；
(3)若直线l过右焦点，且|OM| =，求椭圆C的方程。
19、（15分）已知数列{an}为等差数列，{bn}是公比不为0的等比数列，a1 = 1，b1 = 2，a2 +b2=7，a3 + b3 = 13.
(1)求an，bn；
(2)设cn = an – 1·bn + 1，求数列{cn}的前n项的和Sn；
(3)设en =，求数列{en}的前n项的和Tn.
20、（16分）设函数f(x) = lnx +.
(1)当m = 2时，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)≥3 – x恒成立，求m的取值范围.求真高级中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学答案
一、选择题（共9题，每题5分，共45分）
1、D 2、A 3、A 4、D 5、C
6、B 7、A 8、B 9、B
二、填空题（共6题，每空5分，共30分）
10、 11、 12、
13、 14、y2 = 8x 15、4，–
三、计算题（共5题，共75分）
16、（14分）(1)C = 60° (2) –
17、（15分）(1)证明略
(2)直线BC与平面ABM所成角的大小为60° (3)BN = 2
18、（15分）(1)e = (2) k1·k2 = (3)
19、（15分）
(1)an = 2n – 1，bn = 2n (2)Sn = 20 + (2n – 5)·2n +2
(3)Sn = – 2 –
20、（16分）
(1)x + y – 3 = 0
(2) ①m≤0时，上升区间为(0，+∞)
②m > 0时，下降区间(0，m)，上升区间(m，+∞)
(3)m≥2