第一章 空间向量与立体几何 练习——2024届高考数学人教版（2019）二轮复习（含解析）

空间向量与立体几何 专练
一、单选题
1.如图，在平面四边形中，，，E为的中点，，，则的值为( )
A.2 B.3 C. D.
2.已知P为正方形ABCD所在平面外一点，平面ABCD，若，则平面PAB与平面PCD所成角的大小为( )
A. B. C. D.
3.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.如图，在重檐四角攒尖中，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的倍，则侧面与底面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方体中，O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在边长为1的菱形ABCD中,,将沿对角线AC折起得三棱锥.当三棱锥体积最大时,此三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
6.如图，在直三棱柱中，，.点M，N分别是AC，AB的中点，过点C作平面，使得，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图,四边形ABCD为正方形,平面ABCD,,,则三棱锥的体积为( )
A. B. C.2 D.
8.如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，点P为底面ABCD内(包括边界)的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
9.已知在直三棱柱中,E,F分别为,的中点,,,,,如图所示,若过A,E,F三点的平面作该直三棱柱的截面,则所得截面的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题
10.如图,直三棱柱中,,,,侧面中心为O,点E是侧棱上的一个动点,有下列判断,正确的是( )
A.直三棱柱侧面积是
B.直三棱柱体积是
C.三棱锥的体积为定值
D.的最小值为
11.如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面 B.
C.平面 D.
12.半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.传统的足球,就是根据这一发现而制成,最早用于1970年的世界杯比赛.二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体切截而成的,它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示),若这个二十四等边体的棱长都为2,则下列结论正确的是( )
A.平面AEMH
B.异面直线BC和EA所成角为
C.该二十四等边体的体积为
D.该二十四等边体外接球的表面积为
三、填空题
13.在空间直角坐标系中,点A,B,C,M的坐标分别是,,,,若A,B,C,M四点共面,则___________.
14.如图，在多面体ABCDE中，平面ABC，平面，，且，M是AB的中点，则平面EMC与平面BCD夹角的余弦值为__________.
15.已知三棱锥内接于球O，点M，N分別为AB，CD的中点.且，.若，则球O的体积为______.
16.在梯形ABCD中，，，M为AC的中点，将沿直线AC翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点M的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为______.
17.如图，圆锥的底面直径，高，D为底面圆周上的一点，，则直线AD与BC所成角的大小为__________.
18.如图，矩形ABCD中，，，平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足，则实数a的值等于___________.
19.如图,在体积为的三棱锥中,,,底面ABC,则三棱锥外接球体积的最小值为_____________.
20.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为___________.
21.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，平面ABC，.M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______.
22.已知是等腰直角三角形,点P在平面ABC的同一侧运动,P到平面ABC的距离为6,三棱锥的体积为18且其外接球的半径为5,则满足上述条件的点P的轨迹长度为_________________.
23.正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为___________.
24.若点M在平面外，过点M作平面的垂线，则称垂足N为点M在平面内的正投影，记为.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面ABCD为，点P是棱上一动点（与C，不重合），，.则下列三个结论：
①线段的取值范围是；
②存在点P，使得平面；
③存在点P，使得.
其中正确结论的序号是__________.
四、解答题
25.如图,在多面体ABCDEFG中,矩形ADEF,矩形CDEG所在的平面均垂直于正方形ABCD所在的平面,且,.
（1）求多面体ABCDEFG的体积;
（2）求平面BFG与平面ADEF所成锐二面角的余弦值.
26.如图,在多面体ABCDE中,平面平面ABE,,,,,F是AE的中点.
(1)证明：平面CDE;
(2)求点F到平面CDE的距离.
27.如图，直棱柱底面是菱形，点E，F分别在棱，上，且，.
（1）求证：E，D，F，四点共面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
28.如图,在四棱锥中,,,底面ABCD,,M为PC的中点.
（1）求证:平面PAD;
（2）平面PAD内是否存在一点N,使平面PBD 若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
29.如图,在四棱锥中,侧棱矩形ABCD,且,过棱PC的中点E,作交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE,
（1）证明:;
（2）若,平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为,求的值.
30.如图，BC是的直径，，点A是上的一个动点，过点A作PA垂直所在的平面，且.
（1）当三棱锥体积最大时，求直线PO与平面PAC所成角的大小；
（2）当点A是上靠近点C的三等分点时，求二面角的正弦值.
参考答案
1.答案：B
解析：，E为的中点，
，
，
，
，
，
，解得：.
故选：B.
2.答案：B
解析：方法一：分析知PA，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，.取PD的中点为E，连接AE，则，.又是平面PAB的一个法向量，是平面PCD的一个法向量，，平面PAB与平面PCD所成角的大小为.
方法二：平面，平面，，又四边形ABCD为正方形，，，，平面，平面PAD，又平面，平面，平面平面PAD，平面平面，为平面PAB与平面PCD所成的角.，，.
3.答案：B
解析：如图，设正四棱锥为，连接AC，BD交于点O，连接PO，则底面，在底面ABCD上的射影为，设所求角的大小为，则由射影面积公式，知.又，.
4.答案：B
解析：以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，
设，其中，于是，平面的法向量.
，
因为，所以.
5.答案：C
解析：如图所示,
当平面平面DAC时,三棱锥体积最大,
取AC中点E,连接BE,DE,由条件知
设,分别为,的外心,过作平面ABC的垂线m,过作平面ADC的垂线n
则m,n的交点即为三棱锥外接球的球心O;
,,
所以,
所以,表面积为.
故选：C.
6.答案：B
解析：以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，则，，，.由题意，可知，，共面，所以存在实数x，y，使得.设，则，即，所以解得，即.
7.答案：C
解析：连接BD交AC于M,连接FM,,
,,,
易得,则有,
由四边形ABCD为正方形,则,又平面ABC,平面ABC,
则有,
,BD,平面BDEF, 则有平面BDEF,
平面BDEF,所以,
,AC,平面AFC,
故有平面AFC,
,
则有三棱锥的体积,
故选：C.
8.答案：B
解析：以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设点，则，，.设平面BEF的法向量为，由取，可得为平面BEF的一个法向量.由题意可知，平面BEF，则，令，可得，令，可得，所以点P的轨迹为线段，且交AD于点，交BC于点，所以点P的轨迹长度为.
9.答案：B
解析:延长AF,且AF与相交于G,连接EG,并与相交于D,连接FD,则四边形AEDF为所求的截面.
在中,由,,得.
在中,由,,得.
因为F为的中点,所以由平面几何知识可知,.
所以,,即G为AG的中点,所以.
又由,可得,
又,,所以.
在中,由,,得,所以.
所以在中,有,,,
即,所以.又注意到,
,
则四边形AEDF的面积为.
故选:B.
10.答案：ACD
解析：直三棱柱中的底面是等腰直角三角形,侧面时矩形,所以其侧面积为,故A正确;
直三棱柱的体积为,故B不正确;
三棱锥的高为定值,底面积为,所以其体积为,故C正确;
把侧面和侧面展开在一个平面上,当E为的中点时,的最小值等于,故D正确．
故选：ACD．
11.答案：ABC
解析：以D为原点，以，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，所以，，，.设平面的法向量为，则取，得，，所以.对于A，因为，所以.又平面，所以平面，故A正确.对于B，D，因为，所以，故B正确，D错误.对于C，因为，所以，所以平面，故C正确.选ABC.
12.答案：BCD
解析:对于A中,若平面AEMH,因为平面,所以,
又因为为等边三角形,所以,所以A不正确;
对于B中,因为,所以异面直线BC和EA所成角即为直线AD和EA所成角
设角,在正六边形ADGPNE中,可得,
所以异面直线BC和EA所成角为,所以B正确;
对于C中,补全八个角构成一个棱长为的一个正方体,
则该正方体的体积为,
其中每个小三棱锥的体积为,
所以该二十四面体的体积为,所以C正确;
对于D中,取正方形ACPM对角线的交点为O,即为该二十四面体的外接球的球心,
其半径为,
所以该二十四面体的外接球的表面积为,所以D正确.
故选:BCD.
13.答案：6
解析:由题意,得,,,
又A,B,C,M四点共面,则存在x,,使得,
即,即,解得,
所以.
故答案为:6.
14.答案：
解析：过点A在平面ABC上作BC的平行线AN，则AE，AC，AN两两垂直，如图建系，则平面EMC的法向量，平面BCD的法向量，所以.
15.答案：
解析：依题意知，MN既是AB的垂直平分线，又是CD的垂直平分线，所以球心O在线段MN上.设，球的半径为R，则，所以，.
16.答案：
解析：由题得，因为，，，
因为，，所以M是外接圆的圆心，外接圆的半径为，
当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，所以此时到底面ABC的高最大，
即此时平面平面ABC，即平面ABC，
如图，设球心为O，在平面内作，垂足为M，因为，所以，所以平面ABC，
所以过点M的平面截三棱锥的外接球所得最小截面就是过的外接圆，所以截面面积的最小值为.
17.答案：
解析：方法一取的中点E，连接OE，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.
由题意可得，，，，则，.设直线AD与BC所成的角为，则，所以，则直线AD与BC所成的角为.
方法二：设，，，则，，，，所以，，，所以，所以，所以直线AD与BC所成的角为.
方法三：延长DO交于点F，连接BF，则，且.连接CF，由题可知，又，所以为等边三角形，所以BF与BC所成的角为，即直线AD与BC所成的角为.
18.答案：2
解析：连接AQ，因为平面ABCD，所以AQ为PQ在平面ABCD内的射影.又BC上只有一个点Q满足，所以只有一个点Q满足.设，则，，在中，，即关于x的方程只有一个根，所以，又，所以.
19.答案：
解析：如图,设外接圆的圆心为O,外接圆的半径为R,
,,,,由,有,
由可知,O为三棱锥外接球的球心,有,
解得
(当且仅当时取等号),故三棱锥外接球体积的最小值为.
20.答案：
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO，DO，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面DAC，如图，建立空间直角坐标系，
则，，，所以，.设平面BCD的一个法向量为，则令，则，又平面CDA的一个法向量为，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
21.答案：
解析：易知,,，故以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，由M为PC的中点可得，则，，
设为平面MBA的一个法向量，
则即
令，则，所以，所以点P到平面MAB的距离.
22.答案：
解析：如图所示,由是等腰直角三角形,可得,
又由P到平面ABC的距离为6,三棱锥的体积为18,
可得,解得,所以,
因为其外接球的半径,可得,解得,
即圆心O到平面ABC的距离为4,
又因为点P到平面ABC的距离为6,所以球心O到点P轨迹所在圆的距离为2,
设点P的轨迹所在圆的半径为,可得,
所以点P的轨迹长度为.
故答案为：.
23.答案：
解析：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，.
，，，，
，，，.
又，，平面平面.
平面AMN到平面EFBD的距离就是点A到平面EFBD的距离.
设平面AMN的法向量为，
则解得
取，则，，所以.
，平面AMN与平面EFBD的距离.
24.答案：①②
解析：如图，取的中点为，连接，过点P作交于E，再过点E作交CD于.在正方体中，平面，平面，，又，，平面，.同理可证平面，平面，，.
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，.，，，，，，故①正确.
平面，平面的一个法向量为，又，令，解得，存在点P，使得平面，故②正确.令，整理得，该方程无解，不存在点P，使得，故③错误.
25.解析:（1）,平面ABCD,同理ED,GC均与平面ABCD垂直,故可将多面体补成如图所示的长方体,此长方体体积为,三棱锥的体积为,故此多面体的体积为10;
（2）
以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,
,,设平面BFG的法向量为,
则,令得,
又ABCD为正方形,
,故平面ADEF,
为平面ADEF的一个法向量,
,
故平面BFG与平面ADEF所成锐二面角的余弦值为.
26.解析：（1）取DE中点G,连接FG,CG,
F,G分别为AE,DE中点,,,
又,,,,
四边形BCGF为平行四边形,,
又平面CDE,平面CDE,平面CDE.
（2）平面平面ABE,平面平面,,平面ABCD,
平面ABE,又,
则以A为坐标原点,,,正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面CDE的法向量,
则,令,解得：,,,
点F到平面CDE的距离.
27.解析：（1）证明：连接，在上取一点G，使，连接，，
且，
四边形是平行四边形，
且，
又且，
且，
四边形是平行四边形，
，
又题设知，则且，
四边形是平行四边形，，
，即E，D，F，四点共面；
（2）不妨设，则，，，，，
以，交点O为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
因为，，，
则由得，，
令，得，设直线与平面所成角为，
则.
直线与平面所成角的正弦值为.
28.解析:（1）因为平面ABCD,AB,平面ABCD
所以,,且
故以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图所示
则,,,,
又因为,,且PA,平面PAD
所以平面PAD,
所以平面PAD的一个法向量为,
所以,
所以.
因为平面PAD,所以平面PAD.
（2）由题意,知,.
假设平面PAD内存在一点N,使平面PBD.
设,则.
因为,,
所以,即,
所以,所以,
所以在平面PAD内存在点,使平面PBD.
29.解析:（1）证明:因为平面ABCD,平面ABCD,所以,
由底面ABCD为矩形,有,而,PD,平面PCD,
所以平面PCD,又平面PCD,所以.
又因为,点是PC的中点,所以.
而,PC,平面PBC,所以平面PBC,平面PBC,
所以,
又,,DE,平面DEF,
所以平面DEF,而平面DEF,
所以得证.
（2）如图,以D为原点,射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.
因为,设,(),
则,,,,,点E是PC的中点,所以,
由平面ABCD,所以是平面ABCD的一个法向量;
由（1）知,平面平面,所以是平面DEF的一个法向量.
因为平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为,
则,解得(负值舍去).
所以,,
.
30.解析：（1）因为BC是的直径，，所以.
.
当时，有最大值，此时点A是的中点.
因为PA垂直于所在平面，所以.
因为BC是的直径，所以.
又，平面，，所以平面PAC.
如图①，取AC的中点E，连接OE，PE，则，所以平面PAC，
所以为直线PO与平面PAC所成的角，
此时，所以.
又因为在中，，，所以，
所以，故.
当三棱锥体积最大时，直线PO与平面PAC所成角的大小为.
（2）当点A是上靠近点C的三等分点时，，故.
因为BC是的直径，所以.
又因为，所以，.
因为PA垂直于所在平面，所以，，即AP，AC，AB两两垂直，
如图②，以A为坐标原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，.
设平面APO的法向量为，则
则，令，则，则.
设平面PBO的法向量为，则
令，则，，则，
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的正弦值为.