天津市英华实验学校2023-2024高三上学期第二次月考数学试卷（含答案）

天津市英华实验学校2023-2024学年高三上学期第二次月考
数 学
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至3页，第II卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么.
·如果事件A，B相互独立，那么.
·球的体积公式，其中表示球的半径.
一、选择题：在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数的部分图象如图所示，则可能是（ ）
A. B. C. D.
3.已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题成立的是（ ）
A.若，，则 B.若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
4.有两个随机变量和，它们的分布列分别如下表：
1 2 3 4 5
0.03 0.3 0.5 0.16 0.01
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
则关于它们的期望，和它们的方差和，下列关系正确的是（ ）
A.，且 B.，且
C.，且 D.，且
5.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则下列关于的说法正确的是（ ）
①的最小正周期为； ②在区间上单调递增；
③的图象关于直线轴对称； ④在区间内恰有3个零点.
A.①③ B.②④ C.①② D.③④
6.已知，，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，抛物线的准线与双曲线的渐近线交于A，B两点.若是等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
9.有人调查了某高校14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到如下数据表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180
儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182
利用最小二乘法计算的儿子身高关于父亲身高的回归直线为.
根据以上信息进行的如下推断中，正确的是（ ）
A.当时，，若一位父亲身高为，则他儿子长大成人后的身高一定是
B.父亲身高和儿子身高是正相关，因此身高更高的父亲，其儿子的身高也更高
C.从回归直线中，无法判断父亲身高和儿子身高是正相关还是负相关
D.回归直线的斜率可以解释为父亲身高每增加，其儿子身高平均增加
第II卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10.已知集合，，则__________.
11.的展开式中的系数为__________.
12.已知以1为半径的圆的圆心在轴上，以2为半径的圆的圆心在轴上，且两圆公共弦所在直线为，则这两个圆的公共弦长为__________.
13.如图，已知在边长为2的正三角形中，点P，Q，R分别在边，，上，且，则的最大值为__________.
14.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为__________，__________.
15.若函数的最小值为，则实数的值为__________.
三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.在四边形中，，，，，的面积为.
（I）求的长
（II）求的大小.
17.如图，在圆锥中，底面圆的半径为2，线段是圆的直径，顶点到底面的距离为，点为的中点，点是底面圆上的一个动点，且不与A，B重合.
（I）证明：直线平面；
（II）若二面角的余弦为，
（i）求线段的长；
（ii）求点到平面的距离.
18.已知椭圆的右焦点为，点为椭圆上一动点，且到的距离与到直线的距离之比总是.
（I）求椭圆的方程；
（II）过做椭圆的切线，交直线于点.
（i）求证：以为直径的圆过定点；
（ii）求三角形面积的最小值.
19.已知数列是公差不为0的等差数列，是和的等比中项，.
（I）求数列的通项公式：
（II）求，其中；
（III）若为正整数，记集合的元素个数为，求数列的前项和.
20.已知函数，其中.
（I）求曲线在处的切线方程，并证明当时，；
（II）若有三个零点，，，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 A A D A D A B C D
二、填空题
题号 10 11 12 13 14 15
答案 40 ；
三、解答题
16.（I）解：因为的面积为，所以.
又因为，，所以.
由，得，所以.
（II）解：由正弦定理可得.
因为，所以，所以.
17.（I）证明：因为点是的中点，点是的中点，所以.
当不与A，B重合时，平面，而平面，故平面.
（II）（i）解：如图，在底面内过作直线垂直于交圆于.
分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系.
由已知可得，，，.
由已知，设点的坐标为.
可得，.
设平面的法向量为，
则有即
令，可得.
显然，是平面的一个法向量.由已知有，
所以，
整理得，，解得（舍），或，
由此可得的坐标为，这时，可得.
所以，二面角的余弦为时，线段的长为.
（ii）解：由（i）有，为平面的一个法向量，.
由此可得点到平面的距离为.
18.（I）解：由题意，当点为时，有，故.
当为时，有，可得.
由可得，故椭圆方程为.
（II）证明：设点，显然，不合题意，
故可设过点的切线为.与联立，
整理得（*）.
由已知有，整理得.又（*）的两个重根即为，
故，进而可得.
由题意，可得点的坐标为.
由对称性，以为直径的圆若过定点，则定点必然在轴上.
设点，下面证明存在实数，使得，亦就证明此题，
也就是证明关于的方程有定值解.
由，可得，
整理可得.
由此可得时，对于任意的直线均满足要求，故以为直径的圆过定点.
（III）解：由（II）有，，
其中.三角形的面积，
其中，，
由此可得.
设，即，代入，整理得，
因此，解得，即，
当，时，即为或者时，取得.
所以，三角形面积的最小值为.
19.（I）解：设的公差为，由已知有，整理得.
由，可得，进而可得，故.
（II）解：由（I）有.
故.
又因为，所以，
又，因此.
（III）解：由，可得（*）.
当时，方程无正整数解；当时，方程有的唯一解；
当时，可得.
当时，，因此，且.所以，（*）的正整数解的个数为，即.
因此，可得
所以，当时，；时，；时，.
20.（I）解：，，故.
由此可得，进而有.
令，则，
所以在单调递增，因此当时，.
又，所以当时，.
（II）（i）解：等价于.
令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点.
又，令.
当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意.
当时，由题意，首先在上有两个零点，
故，解得.
设两个零点为和，有，，故可知，均大于0，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，，.
又因为，，
故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点，又1为的一个零点，
所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点.
综上，实数的取值范围是.
（III）由（II）中，由，
由此可得.要想证明，
只需证明，而，
因此只需要证明当时，，
令，.
可得，故在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，
即，两边同时除以，
由，有，即.