山东省潍坊市2023-2024普通高中学科素养能力测评高一上学期数学试题（含答案）

2023年潍坊市普通高中学科素养能力测评
高 一 数 学
本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.
一、单选选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2.已知“，”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.存在函数满足：对任意，都有（ ）
A. B. C. D.
4.函数与的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
5.已知命题关于的不等式与的解集相同，命题：，则是成立的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.已知函数，则（ ）
A.是偶函数，且在上单调递增 B.是奇函数，且在上单调递减
C.是偶函数，且在上单调递增 D.是奇函数，且在上单调递减
7.定义在上的偶函数，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知一台擀面机共有4对减薄率均在的轧辊（如图），所有轧辊周长均为，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），已知标号3的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（ ）
（减薄率）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题
9.已知实数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
10.函数被称为狄利克雷函数，则（ ）
A.是偶函数 B.对任意，有
C.对任意，有D.对任意，有
11.已知，，，若恒成立，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数的定义域为，且，若函数在的值域为，则称为的“倍美好区间”.特别地，当时，称为的“完美区间”，则（ ）
A.函数存在“倍美好区间”
B.函数不存在“完美区间”
C.若函数存在“完美区间”，在
D.若函数存在完美区间，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.已知函数若，则 .
14.写出一个同时具有下列性质①②的函数 .
①对任意都成立；②在上不单调.
15.设函数若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围为 .
16.设函数，，，则函数的图象与轴所围成图形中的封闭部分的面积是 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）设全集，集合，.
（1）求；
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
18.（12分）已知函数（），，且不等式的解集中有且仅有两个正整数.
（1）求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集是，求的最大值.
19.（12分）为研究某种病毒的繁殖规律，并加以预防，将病毒注入一只小白鼠体内进行实验.经检测，病毒总数与天数存在指数函数关系，如下表.已知该种病毒在小白鼠体内的数量超过的时候小白鼠将死亡，但注射某种药物，将可杀死其体内的该种病毒.为了使小白鼠的实验过程中不死亡，设第一次在第天注射该种药物.
第天（） 病毒总数
… …
（1）求的最大值；
（2）当取最大值时，第二次最迟应在第几天注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？
附：.
20.（12分）已知函数（），且是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
21.（12分）已知定义在上的函数，对任意，有，且时，.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）判断函数在上的单调性并证明；
（3）若，解不等式.
22.（12分）对于函数，记，，，…，，其中.
（1）若函数是一次函数，且，求的最小值；
（2）若，且，求；
（3）设函数（），记，，若，证明：.