安徽省六安市舒城县2023-2024高二上学期12月月考数学试题 (原卷版+解析版)

舒城县2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
命题范围：选择性必修一第一章：空间向量与立体几何
一、单选题（8小题，共40分。在每小题给出的选项中，选出符合题目的一项。）
1．在空间直角坐标系中，点，点为线段的中点，则点的位置向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空间四边形中，，，，点是的中点，点在上，且，设，则，，的值为　　
B．
C． D．
3．已知，0，，，，，，5，，若，则的坐标是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的模长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．若向量，0，，向量，0，，且满足向量，则等于　　
A．1 B． C．2 D．
6．已知向量，，，若，，三向量共面，则实数（ ）
A． B． C．2 D．3
7．如图，正方体的棱长为1，是底面的中心，则到平面的距离为　　
A． B． C． D．
8．在正方体中，M为的中点，N为的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
二、多选题（共4小题，每小题5分。每小题列出的选项中有多项符合题意，漏选得2分，错选不得分）
9．在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（ ）
A．点A（-3，1，5）关于原点O的对称点的坐标为（3，－1，-5）
B．点A（1，3，-4）关于x轴的对称点的坐标为（－1，-3，4）
C．点P（－1，2，3）关于xOy平面对称的点的坐标是
D．两点M（－1，1，2），N（1，3，3）间的距离为3
10．已知是直线l的一个方向向量，是平面的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知正四面体，棱长为2，是的中心，则下列说法正确的是　　
A．
B．与平面所成角正弦值为
C．平面与平面所成角余弦值为
D．到平面距离为
12．如图，在直三棱柱中，，，点D，E分别是线段BC，上的动点（不含端点），且．则下列说法正确的是（ ）
A．平面
B．点C1到直线B1C的距离为1
C．异面直线与所成角的正切值为
D．平面AEC与平面ECD的夹角的余弦值为
三、填空题（共4小题，每小题5分。）
13．已知平面的一个法向量为，1，，原点，0，在平面内，则点，5，到的距离为　　．
14．已知直线的方向向量，，，平面的法向量，，，若，则　　．
15．已知点，3，，，1，，，0，，且是平行四边形，则顶点的坐标为 　　．
16．如图，在长方体中，，，点在棱上，且，则当的面积取得最小值时其棱　　．
四、解答题（共5小题，每题14分，共70分。）
17．（14分）已知向量，
(1)求与的夹角；(2)若与垂直，求实数t的值．
18．（14分）如图，在四棱锥中，，，，底面为正方形，．分别为， 的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（14分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）设为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长．
20．（14分）已知如图1所示等腰中，，，为中点，现将沿折痕翻折至如图2所示位置，使得，、分别为、的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
21．（14分）
如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且.
(1)求证：平面
(2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由。舒城县2023-2024学年高二上学期12月月考
数学试题
参考答案：
一、单选题（8小题，共40分。在每小题给出的选项中，选出符合题目的一项。）
1．【答案】B
【分析】由中点坐标公式可求出点坐标，即可得点的位置向量的坐标.
【详解】由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得:点的坐标为，
则点的位置向量的坐标为.
【点睛】本题主要考查了向量中点坐标公式，以及由点的坐标求向量的坐标，属于基础题.
2．【答案】C
【分析】利用向量的加法，，利用中点公式代入．
【解答】，
，，
所以，故选：．
3．【答案】B
【分析】设点坐标为，，，则，，，由，利用向量的线性运算和相等向量，即可求出的坐标．
【解答】解：设点坐标为，，，则，，．
又，7，，，
，，．
则的坐标是，，．
故选：．
4．【答案】A
【分析】由空间向量在向量方向上的投影为，运算即可的解.
【详解】由题意，，，，则空间向量在向量方向上的投影为.又∵模长取正值，故答案为2
5．【答案】D
【分析】利用向量平行的性质求解．
【解答】解：向量，0，，向量，0，，
且满足向量，，解得．故选：．
6．【答案】C
【分析】根据共面向量定理的公式，利用待定系数法，即可求解.
【详解】∵，，三向量共面，∴存在实数，，使得，
即，解得，，.
7．【答案】B
【分析】过作的平行线，交于，则到平面的距离即为到平面的距离．作于，进而可知平面，进而根据求得．
【解答】解：过作的平行线，交于，
则到平面的距离即为到平面的距离．
作于，易证平面，
可求得．
故选：．
8．【答案】B
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的夹角的余弦公式可求异面直线所成的角的余弦值.
【详解】如图，建立空间直角坐标系．
设．则，
因此，
于是所求夹角的余弦值为．
二、多选题（共4小题，每小题5分。每小题列出的选项中有多项符合题意，漏选得2分，错选不得分）
9.【答案】ACD
【分析】结合空间直角坐标系的对称关系可判断A，B，C；结合中点坐标公式和两点间距离公式可求D.
【详解】M（－1，1，2），N（1，3，3）间的距离为，故D正确.
10．AD
【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.
【详解】若，则，得，得，A正确，B错误．
若，则，得，得，C错误，D正确．
11．【答案】．
【详解】对于选项，，
所以
取的中点，因为点为的中心，所以，
所以，所以，即，故正确，对于选项：根据题意可得平面，
，，
在中，，故正确，
对于选项：连接，，所以，，
所以平面与平面所成角为，，，
在中，，故错误，
对于选项：过作，垂足为，由上可知平面，又平面，
所以，又因为，所以平面，
所以，所以，故正确．
故选：．
12．【答案】AD
【分析】对于A，欲证平面，只需证明，由易证，故A项正确；
对于B，由、、三条直线两两垂直，可知直三棱柱是一个长方体沿对角面切开得到的直三棱柱，因此原长方体的对角线是三棱柱外接球的直径，因此直三棱柱的外接球的表面积易求，然后再判断.
对于C，由于，异面直线与所成角为，在中，的正切值易求，然后判断.
对于D，由、、三条直线两两垂直，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求平面的法向量和平面的法向量的夹角，然后再判断即可.
【详解】解：在直三棱柱中，四边形是矩形，因为，所以，不在平面内，平面，所以平面，A项正确；
B项错误；
因为，所以异面直线与所成角为．在中，，，
所以，所以C项错误；
二面角即二面角，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图则，
，，，
设平面的法向量，
则，即，令可得，
设平面的一个法向量为， 则，即，令可得
故二面角的余弦值为，所以D项正确．
【点睛】综合考查直三棱柱中线线角、线面角的求法，线面平行的判定，以及直三棱柱的外接球的表面积的求法，中档题.
13．【答案】
【解答】平面的一个法向量为，1，，原点，0，在平面内，点，5，，，5，，点，5，到的距离为：．
故答案为：．
14．【答案】
【解答】根据题意，直线的方向向量，，，平面的法向量，，，
若，则有，解可得，
故答案为：．
15．【答案】，2，．
【解答】点，3，，，1，，，0，，设，，，
由是平行四边形，得，
，，，，，
，解得，，，则顶点的坐标为，2，．
故答案为：，2，．
16．【答案】
【解答】建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，，
设，1，，，0，，，0，，．
则，，，，1，，
，，即．
，当且仅当，时取等号．
所以棱．故答案为：．
三、解答题（共5小题，每题14分，共70分。）
17．（14分）【答案】(1)(2)
【分析】(1)结合向量数量积性质夹角公式的坐标表示即可求解；
(2)由向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1），，，，，
令与的夹角为，则，则与的夹角为.
（2），，又与垂直，，
即，解得.
18．（14分）
【分析】（Ⅰ）利用中位线的性质可得，由此即可得证；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出方向向量及法向量，利用向量公式即可得解．
【解答】（Ⅰ）证明：，分别为，的中点，
，
又不在平面，
平面；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设，
则，2，，，2，，，0，，，0，，，0，，，
设平面的法向量为，则，可取，
设直线与平面所成角为，则
19．（14分）
【分析】（1）由平面，知，结合，可推出平面，从而得证；
（2）过点作于，连接，由（1）知，平面，故即为所求，在中，利用等面积法求得的长，再在中，求出的值即可得解；
（3）以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，写出、、、的坐标，由，，列得关于的方程，解之即可．
【解答】（1）证明：平面，平面，
，，，、平面，
平面，又平面，．
（2）解：过点作于，连接，
由（1）知，平面，
即为平面与平面所成的角．
在中，，，，，
在中，，，
故平面与平面夹角的正弦值为．
（3）解：以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，1，，，0，，，0，，
，，，，，，
异面直线与所成的角为，
，，解得或（舍负），
．
20．（14分）
【解答】（1）证明：、分别为、的中点，，
平面，平面，
平面．
（2）解：在原等腰三角形中，
，，为中点，
，，且，
在折叠后的三棱锥中，，，
又，平面，
以为原点，在平面内，过作的垂线为轴，
为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，0，，，，，，0，，，，，，，
，，，，，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，0，，
设二面角的平面角为，
则．
二面角的余弦值为．
（14分）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到 故EC⊥DF，EC⊥DA，从而证明出线面垂直；
（2）设，得到的坐标为，求出平面的法向量，列出方程，求出，得到为线段上靠近的三等分点.
【详解】（1）以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，
，
，故EC⊥DF，EC⊥DA，
∵，平面ADF，平面；
（2）设，则的坐标为，
设平面的法向量为，
则由，令，则，
则法向量，
平面与平面的夹角为，且平面的法向量为，
，
，∴解得，为线段上靠近的三等分点.