湘豫名校2023-2024高三上学期12月月考数学试题（含解析）

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湘豫名校2023-2024学年高三上学期12月月考
数学
注意事项：
1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自已的姓名 准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名 考场号 座位号 准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合，则（ ）
A. B. C. D.无法确定
2.设复数的共轭复数为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知椭圆的离心率为，若经过椭圆的上顶点和右顶点的直线经过点，则椭圆的短轴长为（ ）
A. B.2 C. D.4
5.已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知菱形的边长为，若该菱形以为轴旋转一周，则所形成的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数为定义在上的奇函数，当时，；当时，，则（ ）
A.-24 B.-12 C. D.
8.已知数列满足：，且.若恒成立，则（ ）
A.-24 B.-6 C. D.-4
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知角终边上一点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.若，则 D.属于第二象限角
10.双曲线的一条渐近线方程为，半焦距为，则下列论述错误的是（ ）
.双曲线的离心率为3
B.顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为
C.直线与双曲线有两个不同的交点
D.过点有两条直线与双曲线相切
11.黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A.
B.黎曼函数的定义域为
C.黎曼函数的最大值为
D.若是奇函数，且，当时，，则
12.已知三棱锥，则下列论述正确的是（ ）
A.若点在平面内的射影点为的外心，则
B.若点在平面内的射影点为，则平面与平面所成角的余弦值为
C.若，点在平面内的射影点为的中点，则四点一定在以为球心的球面上
D.若四点在以的中点为球心的球面上，且在平面内的射影点的轨迹为线段（不包含两点），则点在球的球面上的轨迹为圆
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，且，则的最大值为__________.
14.已知圆，则直线与圆的位置关系是__________.
15.若函数在处取得最大值，且的图象在上有4个对称中心，则的取值范围为__________.
16.若函数，则函数的极小值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
一建筑物垂直耸立于所在的水平面，如图，在观测点处测得顶点的仰角（视线与水平线的夹角）为，在观测点处测得顶点的仰角为平面.
（1）若，求建筑物的高；
（2）若，求的值.
18.（本小题满分12分）
如图甲，在直角梯形中，，是等边三角形.现将梯形沿折起至梯形，使平面与平面所成二面角为直二面角，如图乙所示.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
设数列的前项和为，数列是递增的等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若，求证：.
21.（本小题满分12分）
已知直线相交于点，且分别与抛物线相切于两点，.
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线的焦点的直线分别与抛物线相交于点，直线的斜率分别为，且，若四边形的面积为2，求直线夹角的大小.
22.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若，求的最小值；
（2）若，且关于的方程有实数根，的最小值为，证明：.
湘豫名校2023-2024学年高三上学期12月月考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A C D B D C BCD ABD BC AB
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 【命题意图】本题考查集合的并集 补集运算，解方程，考查数学运算的核心素养.
【解析】由题易得，又，所以.所以.故选C.
2.A 【命题意图】本题考查复数的除法运算 复数相等，考查数学运算的核心素养.
【解析】设，则.因为，所以.易得解得所以.所以.故选A.
3.A 【命题意图】本题考查线面位置关系，充分 必要条件，考查逻辑推理 直观想象的核心素养.
【解析】若，则.反之，若，则或.所以是的充分不必要条件.故选A.
4.C 【命题意图】本题考查椭圆的方程及相关概念 直线的方程，考查了数学运算 直观想象的核心素养.
【解析】因为，所以.由题意知直线的方程为，即，所以.因为直线经过点，所以，解得.所以.所以，所以椭圆的短轴长为.故选C.
5.D 【命题意图】本题考查向量的模 数量积运算，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为，等式两边平方得，又，所以，解得.故选D.
6.B 【命题意图】本题考查旋转几何体 圆柱的体积，考查直观想象 数学运算的核心素养.
【解析】如图，过点作的垂线，交于点，将直角剪去，并补到点
处，使与重合，则组成边长分别为的矩形.旋转所得几何体为圆柱，其底面圆的半径为，高为2，所以该几何体的体积为.故选B.
7.D 【命题意图】本题考查函数的求值 周期性，考查数学运算 数学建模的核心素养.
【解析】.因为为奇函数，所以，所以.故选D.
8.C 【命题意图】本题考查恒成立问题 等差数列的通项公式及性质，考查数学抽象 数学运算的核心素养.
【解析】因为，所以.因为所以化简得，且不为0.所以，所以数列是等差数列.因为，所以.因为，所以，解得，即公差.所以.所以，所以.故选C.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.BCD 【命题意图】本题考查三角函数的定义，正 余弦的和角公式，正切的倍角公式，考查数学运算的核心素养.
【解析】由题易知，所以，A错误；因为，所以，B正确；因为，所以，所以，解得，C正确；因为属于第一象限角，所以，所以，且，即属于第二象限角，D正确.故选BCD.
10.ABD 【命题意图】本题考查双曲线的方程及性质 直线与双曲线的位置关系，考查直观想象 数学运算的核心素养.
【解析】由题易得，所以错误；根据三角形的相似性，知顶点到渐近线的距离与焦点到浙近线的距离之比为，B错误；因为直线与渐近线平行，所以直线与双曲线的左支仅有1个交点，与右支没有交点.又直线与直线都过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角小，结合图形可知，直线与双曲线有两个不同的交点，正确；因为，所以点位于双曲线右支的右侧位置，显然过点的直线不可能与双曲线相切，D错误.故选ABD.
11.BC 【命题意图】本题考查新概念 数学文化 函数的性质，考查逻辑推理 数学运算 数学抽象的核心素养.
【解析】，错误.因为是既约真分数，或上的无理数，所以黎曼函数的定义域为正确.又为既约真分数，所以的最大值为正确.因为，所以.所以.因为是奇函数，所以，所以，即是以2为周期的周期函数，，所以错误.故选.
12.AB 【命题意图】本题考查立体几何中的线面位置关系 二面角 轨迹问题 球体，考查直观想象 逻辑推理 数学运算的核心素养.
【解析】设的外心为点，则，所以Rt，所以正确；过点作的垂线，交于点，连接，则，所以是平面与平面所成角的平面角，则，B正确；因为是的中点，所以，但不一定成立，C错误；依题知点的轨迹是以为半径的圆，且不包括两点，错误.故选.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 【命题意图】本题考查基本不等式，考查数学运算的核心素养.
【解析】，当且仅当时等号成立.
14.相交 【命题意图】本题考查圆与直线的方程 直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.
【解析】因为表示圆的方程，所以，即.因为，所以直线与圆相交.
15. 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象 数学运算的核心素养.
【解析】依题知，所以，解得，所以.因为，所以当时，.依题知，解得.
16. 【命题意图】本题考查三角恒等变换 导函数 极值，考查数学运算 数学抽象的核心素养.
【解析】，设，因为，所以.令，所以.令，则或.因为在上，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，即的极小值为.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题考查解三角形，考查数学运算 数学建模的核心素养.
【解析】（1）设，则，
.
因为，所以.
所以，
解得，即.
（2）由（1）设，因为，所以.
因为，
所以由余弦定理得
.
18.【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系 平面与平面的夹角问题，考查直观想象 逻辑推理 数学运算的核心素养.
【解析】（1）取的中点，连接.
因为，所以，
所以四边形是平行四边形.
所以.
因为，
所以，即.
因为是等边三角形，所以.
因为，
所以平面.
所以.
（2）以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则.
所以.
所以.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则
.
故平面与平面夹角的余弦值为.
19.【命题意图】本题考查数列的前项和与通项公式的关系 等比数列的定义 数列累乘求通项，考查数学运算 数学建模的核心素养.
【解析】（1）因为数列是等比数列，
所以.
因为，
所以是方程的两个实数根，
所以或
因为是递增的等比数列，所以，
设的公比为，
则，
解得，或（舍去）.
所以.
因为，
所以，
两式相减得，
所以.
当时，，
所以
（2）因为，
所以当时，，
所以.
两式相减得
.
所以.
当时，满足上式，
故.
20.【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性 从函数角度来证明不等式，考查数学运算 数学抽象 直观想象 逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）由题易知函数的定义域为.
当时，，所以在上单调递减.
当时，令，得.
因为在上单调递减，所以.
所以.
所以实数的取值范围为.
综上所述，实数的取值范围为.
（2）方法一：因为，所以.
因为在上，所以在上单调递减.
所以，
即.
所以，
所以，
所以.
方法二：当时，.
所以.
因为在上，所以在上单调递减，
所以当时，，
即时，.
令，则.
所以，
即.
21.【命题意图】本题考查抛物线的方程与性质 利用导数研究切线问题 几何的对称性，考查直观想象 逻辑推理 数学运算的核心素养.
【解析】（1）由，得，所以.
设切点的坐标为，则切线方程为.
因为点在切线上，所以，
化简得，所以.
因为，所以，即方程的两根，
所以.
因为，所以.
所以抛物线的方程为.
（2）抛物线的焦点为，设经过焦点的直线方程为.
联立得.
设，
则
因为，所以直线关于轴对称.
不妨令关于轴对称，关于轴对称.
设，
因为，所以.
所以，
，
四边形的面积.
不妨设，则依题得，
化简得，即.
因为无实数解，
所以，解得.
若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
所以直线与的夹角为.
22.【命题意图】本题考查函数的单调性 最值 极值问题，方程与函数的转化，考查数学运算 数学抽象 直观想象 逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）函数的定义域为，
当时，，
则.
令，则.
因为，所以，
所以在上单调递增.
又，
所以在上，；在上，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
故的最小值为e.
（2）因为关于的方程（即）有实数根，，
所以.
设，
则.
因为在上单调递增，且，
所以存在，使得，即.
因为在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以.
因为，所以.
所以，
即.