湖北省广水市2023-2024九年级上学期数学第一阶段考试试卷

湖北省广水市2023-2024学年九年级上学期数学第一阶段考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．用配方法解方程，原方程变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
将常数项移到等号右边，得到：
，
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，得到：
，
配方得：.
故答案为：B.
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程。
2．下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、B、C、D都是轴对称图形.但是只有C选项图形旋转180°后于原图形完全重合，即只有C是既是轴对称图形，又是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
3．二次函数图像向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：，
将二次函数图像向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为：
.
故答案为：D.
【分析】本题考查了二次函数在坐标系上的平移问题.我们需要考虑二次函数左右平移是在的基础上加减，二次函数上下平移是在的基础上加减.
4．关于的方程有实数根，则满足（　　）
A． B．，且
C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当，即时，原方程变为一元一次方程：
，
有实数根；
当，，解的：
，
.
故答案为：A.
【分析】本题考查了二元一次方程求解实数根的问题，分为两种情况讨论，即：和.然后再进行求解.
5．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：，
二次函数的对称轴是.
，
二次函数 的对称轴开口向下，
当时，随的增大而减小.
时，随的增大而减小，
.
故答案为：B.
【分析】本题考查了二次函数的单调性问题，对称轴问题.先从开口入手求解开口方向，再求解其对称轴，根据对称轴来判断 随的变化.
6．一个三角形的两边长分列为3和6，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或13 C．13 D．都不对
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：求解方程：，解得：
，.
在三角形中三边关系满足：
，
将代入的：
，不符合三角形三边关系，舍去；
，符合三角形三边关系.
这个三角形的周长为：
.
故答案为：C.
【分析】本题考查了求解三角形的周长问题.可以先求解二元一次方程求出第三边的长度，再根据三角形中三边的关系来确定第三边具体的取值和三角形的周长.
7．（2021九上·河池期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数
和二次函数
的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合，符合题意；
C、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一次函数 一次函数 的图象是一条直线，如向右上升则a>0，与y轴的交点在x轴上方则c>0，在x轴下方，c0，在向下则a0，在x轴下方，c<0. 依此分别判断两个图象的a、c符号是否一致，即可解答.
8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
.
故答案为：C.
【分析】本题考查了根据实际问题列方程。由题意若设小道的宽为米，则种植面积可合成的长度为米，宽度为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出一个关于x的一元二次方程.
9．如图，正方形四个顶点的坐标依次为.若抛物线y=ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：a=3；
当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：；
当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：；
当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：，
根据图像可知：.
故答案为：A.
【分析】本题考查了抛物线实数a得取值问题，由题意得抛物线与正方形有公共点，将公共点代入抛物线方程，进而求解a得取值范围。
10．如图是二次函数的图像一部分，是对称轴，有下列判断：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线x=-1，
，b=2a，
b-2a=0，故①正确；
抛物线的对称轴是直线x=-1，和x轴的一个交点是（2，0），
抛物线和x轴的另一个交点是（-4，0），
把x=-2代入得：y=4a-2b+c＞0，故②错误；
图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：
4a+2b+c=0，
又b=2a，
c=-4a-2b=-8a，
a-b+c=a-2a-8a=-9a，故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（-4，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，
点（-3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），
（32，y2），1＜32，
y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】本题考查了二次函数相关的知识点，利用对称轴得知识点来判断.
二、填空题(每小题3分,共18分)
11．（2019九上·汕头月考）二次函数 的最大值是　 　．
【答案】8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴ 有最大值，
当 时， 有最大值8．
故答案为8．
【分析】二次函数的顶点式 在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在 时有最大值.
12．若m，n是方程的两个实数根，则的值为　 　.
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：m，n是方程的两个实数根 ，
，，
，
，
=
=
=
=2023.
故答案为：2023.
【分析】本题考查了方程实数根的应用。
13．某药品原价每盆25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　 　.
【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故，
解得：或1.8(不合题意，舍去)，故该药品平均每次降价的百分率为.
故答案为：.
【分析】本题考查了利润问题.
14．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如min.若，，则值为　 　.
【答案】-1或2或
【知识点】实数大小的比较；直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：，
，
故答案为
当时.，解得（舍去），.
当时，，解得，(舍去）.
综上，x的值为-1或2．
故答案为：-1或2或.
【分析】本大题考查了学生对于实际符号的应用推理问题. 可以根据题意得到min ，都是取得较小的值，因此我们可以分类讨论当时.，解得（舍去），.当时，，解得，(舍去）.
综上，x的值为-1或2．
15．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点C的对应点落在BC边上，且B'，则的度数为　 　.
【答案】27°
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：将绕点A顺时针旋转得到'，
点C的对应点C'落在BC边上，
，，
，
，
，
，
故答案为 27°.
【分析】本题考查了三角形旋转问题以及相关角度的求解。将绕点A顺时针旋转得到'，点C的对应点C'落在BC边上，
，，
，
，
，
，
16．如图，在平面直角坐标系中，点在找物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于轴对称，过点C作轴的垂线交抛物线于点.连接，当是等腰三角形时，线段CD的长为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：点A 在抛物线上，
，
抛物线解析式是，
设C的横坐标是a，则D的横坐标是，E的坐标是
CD= 2a， ，
是等腰直角三角形，
CD= CE，
，
或(舍)，
线段CD长是.
故答案为：.
【分析】本题考查了二次函数上定点的求解。由于点A 在抛物线上，
将A点坐标代入抛物线解析式解的，抛物线解析式是，
又因为点C、D在线段AB上，且C、D两点关于轴对称， 设C的横坐标是a，则D的横坐标是，E的坐标是所以CD= 2a， ，又因为是等腰直角三角形，CD= CE，
，
或(舍)，
线段CD长是.
三、解答题（共9小题，合计72分）
17．解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的求解。
18．如图，在等腰三角形ABC中，，是上一点，将AE绕点A逆时针旋转得到AD，连接DE，CD.
（1）求证△ABE≌△ACD；
（2）当BC=6，CE=2时，求DE的长.
【答案】（1）证明：E点绕A点逆时针旋转90到AD，
AD=AE，∠DAE=90°，
∠CAB=90°，
∠DAC=∠EAB，
AC=AB，
△ABE△ACD(SAS)；
（2）等腰△ABC中，AC=AB，∠CAB=90°
∠ACB=∠ABC=45°，
△ABE≌△ACD，
BE=CD.
∠DCA=∠ABE=45°，
∠DCE=90°，
BC=6，CE=2，
BE=4=CD，
DE=
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）、本题考查了全等三角形的证明，我们根据已知条件选择合适的全等三角形的证明方法。E点绕A点逆时针旋转90到AD，AD=AE，∠DAE=90°，∠CAB=90°，∠DAC=∠EAB，AC=AB，△ABE△ACD(SAS)；
（2）、考查了全等三角形中的边的求解。等腰△ABC中，AC=AB，∠CAB=90°
∠ACB=∠ABC=45°，
△ABE≌△ACD，
BE=CD.
∠DCA=∠ABE=45°，
∠DCE=90°，
BC=6，CE=2，
BE=4=CD，
DE=
19．已知关于x的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围：
（2）如果该方程的两个实数根为，且，求的取值范围.
【答案】（1）方程有实数根，△=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m≥0
解得：m≤4.
故m的取值范围是m≤4；
（2），是方程的两个实数根，
，，
≥8，
2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，由(1)可得m≤4，
m的取值范围是0≤m≤4.
【解析】【分析】（1）、本题考查了一元二次方程根与系数的关系。即：△=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m≥0，解得：m≤4.
（2）、本题考查了一元二次方程根与系数的关系。由于题意说明了 该方程的两个实数根为， 所以，是方程的两个实数根，
，，
≥8，
2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，由(1)可得m≤4，
m的取值范围是0≤m≤4.
20．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用度度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于的长方形花圃.
（1）设花园的一边AB为xm，则BC的长可用含的代数式表示为　 　m.
（2）当AB的长度是多少米时，围成的花圃面积为3平方米
【答案】（1）30-3x
（2）解：依题意有x(30-3x)=63.
解得=7，=3.
当x=7时，30一3x=9﹤10，符合题意；
当x=3时，30一3x=21﹥10，不符合题意，舍去故当AB的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）、本题考查了用未知数和已知条件表示线段长度。用篱笆围花园， 设花园的一边AB为xm， 有三段与AB平行且相等得篱笆， 则BC的长可用含的代数式表示为 30-3x.
（2）、本题考查了二次方程得求解实际应用问题。依题意有x(30-3x)=63.解得=7，=3.当x=7时，30一3x=9﹤10，符合题意；当x=3时，30一3x=21﹥10，不符合题意，舍去故当AB的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米.
21．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：(x2-6)3-(x2-6)-2=0.
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设，则原方程换元为.
或
解得
或
解得：
请参考例题解法，解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）设x2=t，则原方程可变形为t2一5t+6=0.
(t-2)(t-3)=0.
t=2或t=3.
当x2=2时，，
当x2=3时，
原方程的解为：，，；
（2）设=(y≥0)，则所以原方程可化为：y2-y-2=0.
(y-2)(y+1)=0.
y=2或y=-1(舍去)。
当y=2时，
√x2+3x=2.
两边平方，得x2十3x=4.
x2+3x-4=0.
(x+4)(x-1)=0.
x1=-4，x2=1.
经检验x1=-4，x2=1是原方程的解，
【解析】【分析】 （1）本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为个整体，设为另外一个未知数t，就可以把原方程降次为一元二次方程t2-5t+6=0来继续解答.
（2）本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为个整体，设为另外一个未知数y，就可以把原方程降次为一元二次方程y2-y-2=0来继续解答.
22．国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米.
（1）求此抛物线解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远
【答案】（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为(9，10)，
设抛物线解析时为：y=a(x-9)2十10，
手榴弹离手点离地面高度为1.9米，
(0，1.9)在此抛物线上，
1.9=a(0-9)2+10，
解得：a=-0.1，
拋物线解析式为y=-0.1(x-9)2+10；
（2）由（1）得：y=-0.1(x-9)2+10，
令y=0，-0.1(x-9)2+10=0，
解得：x1=-1(舍去)，x2=19，
志愿军同志的手榴弹扔了19米。
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据实际问题来求解抛物线的解析式，根据题意可以求解出抛物线的顶点坐标）(9，10)，根据抛物线的顶点式设出解析式y=a(x-9)2+10，再根据手榴弹离手点离地面高度为1.9米，即(0，1.9)在此抛物线上，将该点代入抛物线方程求解出a=-0.1，继而得到拋物线解析式为y=-0.1(x-9)2+10.
（2）泵体考查了抛物线与x轴得交点。令y=0，-0.1(x-9)2+10=0，求解，解得：x1=-1(舍去)，x2=19，所以志愿军同志的手榴弹扔了19米。
23．某商场销售一款小商品，进货价为40元/件．当销售单价为60元时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售单价上涨x元(x为偶数)，每天的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设每天的销售利润为w元，为了减少库存，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）根据题意可知y=300-=300-10x.
（2）w=(60+x-40)y=（20+x)（300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250.
因为-10﹤0，x为偶数，且5-4=6-5，所以当x=4或6时，y的值相等且最大，为6240.为了减少库存，x取4，即当销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润为6240元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）、本题考查了一次函数的售价问题，根据题意得到y=300-=300-10x的解析式。
（2）、本题考查了二次函数的最值利润问题，我们更具体题意写出利润的方程，得：w=-10(x-5)2+6250，根据图像得其抛物线的开口方向下，且因为-10﹤0，x为偶数，且5-4=6-5，所以当x=4或6时，y的值相等且最大，为6240，为了减少库存，所以x取4，即当销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润为6240元。
24．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件.
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获得w元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）解：设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关
系式为：y=kx+b，
9k+b=105，
11k+b=95，
解得k=-5 b=150，
y与x之间的函数关系式为：y=-5x+150.
（2）解：(-5x+150)(x-8)=360，
解得：x1=12，x2=26(舍去)，
，若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y=-5x+150
（3）解：w=y(x-8)，
=（-5x+150)(x-8)，
=-5x2+190x-1200，
=-5(x-19)2+605，
8≤x≤15，且c为整数，当x<15时，w随x的增大而增大，当x=15时，w有最大值，最大值为525.
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了一次函数销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系。我们根据题意得 ——当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件 。将这两组数据代入我们常见的一次函数解析式，得到y与x之间的函数关系式为：y=-5x+150。
（2）本题考查了二次函数利润与售价之间得关系。(-5x+150)(x-8)=360，解得：x1=12，x2=26(舍去)，若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y=-5x+150。
（3）本题考查了二次函数最值及利润问题。我们根据题意列出利润的有关方程——w=（-5x+150)(x-8)，根据二次函数得图像得出其单调性问题——8≤x≤15，且c为整数，当x<15时，w随x的增大而增大，当x=15时，w有最大值，最大值为525.
25．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线交抛物线于点.
（1）求指物线的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点(点P不与端点A，C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标；
（3）F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形 如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）将A(-1，0)，B(3，0)代入y=x2+bx+c，
得到
解得
.
（2）将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3，得y=-3，∴C(2，-3)；
直线AC的函数解析式是y=-x-1.
设Р点的横坐标为x(-1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为：P(x，-.x-1)，E(x，x2-2x-3)；
P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2，
，
-1<0，
当x=时，PE的最大值=，此时P（，-）.
（3）理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，-3)，C(2，-3)，
CK∥x轴，CK=2，
当AC是平行四边形ACFD1的边时，可得D1(-3，0).
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2=CK，可得D2(1，0)，
当点F在x轴的上方时，令y=3，3=x2-2x-3，
解得，
.F3(，3)，F4(，3)，
由平移的性质可知D3(4-，0)，D4(4+，0).
综上所述，满足条件的点D的坐标为(-3，0)或(1，0)或(4-，0)或(4+，0).
【解析】【分析】（1）、本题考查了抛物线解析式的求解。根据题意A、B两点位于图像上，将两点坐标带入图像得即抛物线解析式为：.
（2）本题考查了二次函数一次函数相交求解动点问题。因为过A点的直线与抛物线交与点C，所以将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3，得y=-3，∴C(2，-3)；求解得到直线AC的函数解析式是y=-x-1.
设Р点的横坐标为x(-1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为：P(x，-.x-1)，E(x，x2-2x-3)；
P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2，
，
-1<0，
当x=时，PE的最大值=，此时P（，-）.
（3）、本题考查了二次函数图象上的动点问题。如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，-3)，C(2，-3)，
CK∥x轴，CK=2，
当AC是平行四边形ACFD1的边时，可得D1(-3，0).
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2=CK，可得D2(1，0)，
当点F在x轴的上方时，令y=3，3=x2-2x-3，
解得，
.F3(，3)，F4(，3)，
由平移的性质可知D3(4-，0)，D4(4+，0).
综上所述，满足条件的点D的坐标为(-3，0)或(1，0)或(4-，0)或(4+，0).
湖北省广水市2023-2024学年九年级上学期数学第一阶段考试试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．用配方法解方程，原方程变形为（　　）
A． B． C． D．
2．下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．二次函数图像向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
4．关于的方程有实数根，则满足（　　）
A． B．，且
C．且 D．
5．已知二次函数，当时，随的增大而减小，则有（　　）
A． B． C． D．
6．一个三角形的两边长分列为3和6，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．11或13 C．13 D．都不对
7．（2021九上·河池期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数
和二次函数
的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形四个顶点的坐标依次为.若抛物线y=ax2与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图是二次函数的图像一部分，是对称轴，有下列判断：①；②；③；④若是抛物线上两点，则，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二、填空题(每小题3分,共18分)
11．（2019九上·汕头月考）二次函数 的最大值是　 　．
12．若m，n是方程的两个实数根，则的值为　 　.
13．某药品原价每盆25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是　 　.
14．对于实数p，q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如min.若，，则值为　 　.
15．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点C的对应点落在BC边上，且B'，则的度数为　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，点在找物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于轴对称，过点C作轴的垂线交抛物线于点.连接，当是等腰三角形时，线段CD的长为　 　.
三、解答题（共9小题，合计72分）
17．解下列方程：
（1）
（2）
18．如图，在等腰三角形ABC中，，是上一点，将AE绕点A逆时针旋转得到AD，连接DE，CD.
（1）求证△ABE≌△ACD；
（2）当BC=6，CE=2时，求DE的长.
19．已知关于x的一元二次方程有实数根.
（1）求的取值范围：
（2）如果该方程的两个实数根为，且，求的取值范围.
20．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用度度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于的长方形花圃.
（1）设花园的一边AB为xm，则BC的长可用含的代数式表示为　 　m.
（2）当AB的长度是多少米时，围成的花圃面积为3平方米
21．阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：(x2-6)3-(x2-6)-2=0.
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设，则原方程换元为.
或
解得
或
解得：
请参考例题解法，解下列方程：
（1）；
（2）.
22．国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米.
（1）求此抛物线解析式；
（2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远
23．某商场销售一款小商品，进货价为40元/件．当销售单价为60元时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售单价上涨x元(x为偶数)，每天的销售量为y件.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设每天的销售利润为w元，为了减少库存，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大 最大利润是多少
24．某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件.
（1）求y与x之间的函数关系式：
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获得w元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大 最大利润是多少元
25．如图，抛物线与轴交于两点，过点的直线交抛物线于点.
（1）求指物线的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点(点P不与端点A，C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标；
（3）F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形 如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
将常数项移到等号右边，得到：
，
方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，得到：
，
配方得：.
故答案为：B.
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： A、B、C、D都是轴对称图形.但是只有C选项图形旋转180°后于原图形完全重合，即只有C是既是轴对称图形，又是中心对称图形.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：，
将二次函数图像向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为：
.
故答案为：D.
【分析】本题考查了二次函数在坐标系上的平移问题.我们需要考虑二次函数左右平移是在的基础上加减，二次函数上下平移是在的基础上加减.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当，即时，原方程变为一元一次方程：
，
有实数根；
当，，解的：
，
.
故答案为：A.
【分析】本题考查了二元一次方程求解实数根的问题，分为两种情况讨论，即：和.然后再进行求解.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：，
二次函数的对称轴是.
，
二次函数 的对称轴开口向下，
当时，随的增大而减小.
时，随的增大而减小，
.
故答案为：B.
【分析】本题考查了二次函数的单调性问题，对称轴问题.先从开口入手求解开口方向，再求解其对称轴，根据对称轴来判断 随的变化.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系
【解析】【解答】解：求解方程：，解得：
，.
在三角形中三边关系满足：
，
将代入的：
，不符合三角形三边关系，舍去；
，符合三角形三边关系.
这个三角形的周长为：
.
故答案为：C.
【分析】本题考查了求解三角形的周长问题.可以先求解二元一次方程求出第三边的长度，再根据三角形中三边的关系来确定第三边具体的取值和三角形的周长.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可知a＞0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相矛盾，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，两者相吻合，符合题意；
C、由一次函数的图象可知a＜0 c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a＜0 c＜0，由二次函数的图象可知a＞0，两者相矛盾，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一次函数 一次函数 的图象是一条直线，如向右上升则a>0，与y轴的交点在x轴上方则c>0，在x轴下方，c0，在向下则a0，在x轴下方，c<0. 依此分别判断两个图象的a、c符号是否一致，即可解答.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
.
故答案为：C.
【分析】本题考查了根据实际问题列方程。由题意若设小道的宽为米，则种植面积可合成的长度为米，宽度为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出一个关于x的一元二次方程.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：a=3；
当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：；
当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：；
当抛物线于正方形交与时，
将该点坐标代入，解得：，
根据图像可知：.
故答案为：A.
【分析】本题考查了抛物线实数a得取值问题，由题意得抛物线与正方形有公共点，将公共点代入抛物线方程，进而求解a得取值范围。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线x=-1，
，b=2a，
b-2a=0，故①正确；
抛物线的对称轴是直线x=-1，和x轴的一个交点是（2，0），
抛物线和x轴的另一个交点是（-4，0），
把x=-2代入得：y=4a-2b+c＞0，故②错误；
图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：
4a+2b+c=0，
又b=2a，
c=-4a-2b=-8a，
a-b+c=a-2a-8a=-9a，故③正确；
根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，
抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（-4，0），抛物线的对称轴是直线x=-1，
点（-3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），
（32，y2），1＜32，
y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④.
故答案为：B.
【分析】本题考查了二次函数相关的知识点，利用对称轴得知识点来判断.
11．【答案】8
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵ ，
∴ 有最大值，
当 时， 有最大值8．
故答案为8．
【分析】二次函数的顶点式 在x=h时有最值，a>0时有最小值，a<0时有最大值，题中函数 ，故其在 时有最大值.
12．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：m，n是方程的两个实数根 ，
，，
，
，
=
=
=
=2023.
故答案为：2023.
【分析】本题考查了方程实数根的应用。
13．【答案】20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解： 设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故，
解得：或1.8(不合题意，舍去)，故该药品平均每次降价的百分率为.
故答案为：.
【分析】本题考查了利润问题.
14．【答案】-1或2或
【知识点】实数大小的比较；直接开平方法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】解：，
，
故答案为
当时.，解得（舍去），.
当时，，解得，(舍去）.
综上，x的值为-1或2．
故答案为：-1或2或.
【分析】本大题考查了学生对于实际符号的应用推理问题. 可以根据题意得到min ，都是取得较小的值，因此我们可以分类讨论当时.，解得（舍去），.当时，，解得，(舍去）.
综上，x的值为-1或2．
15．【答案】27°
【知识点】内错角
【解析】【解答】解：将绕点A顺时针旋转得到'，
点C的对应点C'落在BC边上，
，，
，
，
，
，
故答案为 27°.
【分析】本题考查了三角形旋转问题以及相关角度的求解。将绕点A顺时针旋转得到'，点C的对应点C'落在BC边上，
，，
，
，
，
，
16．【答案】
【解析】【解答】解：点A 在抛物线上，
，
抛物线解析式是，
设C的横坐标是a，则D的横坐标是，E的坐标是
CD= 2a， ，
是等腰直角三角形，
CD= CE，
，
或(舍)，
线段CD长是.
故答案为：.
【分析】本题考查了二次函数上定点的求解。由于点A 在抛物线上，
将A点坐标代入抛物线解析式解的，抛物线解析式是，
又因为点C、D在线段AB上，且C、D两点关于轴对称， 设C的横坐标是a，则D的横坐标是，E的坐标是所以CD= 2a， ，又因为是等腰直角三角形，CD= CE，
，
或(舍)，
线段CD长是.
17．【答案】（1），
（2），
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的求解。
18．【答案】（1）证明：E点绕A点逆时针旋转90到AD，
AD=AE，∠DAE=90°，
∠CAB=90°，
∠DAC=∠EAB，
AC=AB，
△ABE△ACD(SAS)；
（2）等腰△ABC中，AC=AB，∠CAB=90°
∠ACB=∠ABC=45°，
△ABE≌△ACD，
BE=CD.
∠DCA=∠ABE=45°，
∠DCE=90°，
BC=6，CE=2，
BE=4=CD，
DE=
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）、本题考查了全等三角形的证明，我们根据已知条件选择合适的全等三角形的证明方法。E点绕A点逆时针旋转90到AD，AD=AE，∠DAE=90°，∠CAB=90°，∠DAC=∠EAB，AC=AB，△ABE△ACD(SAS)；
（2）、考查了全等三角形中的边的求解。等腰△ABC中，AC=AB，∠CAB=90°
∠ACB=∠ABC=45°，
△ABE≌△ACD，
BE=CD.
∠DCA=∠ABE=45°，
∠DCE=90°，
BC=6，CE=2，
BE=4=CD，
DE=
19．【答案】（1）方程有实数根，△=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m≥0
解得：m≤4.
故m的取值范围是m≤4；
（2），是方程的两个实数根，
，，
≥8，
2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，由(1)可得m≤4，
m的取值范围是0≤m≤4.
【解析】【分析】（1）、本题考查了一元二次方程根与系数的关系。即：△=36-4(2m+1)=36-8m-4=32-8m≥0，解得：m≤4.
（2）、本题考查了一元二次方程根与系数的关系。由于题意说明了 该方程的两个实数根为， 所以，是方程的两个实数根，
，，
≥8，
2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，由(1)可得m≤4，
m的取值范围是0≤m≤4.
20．【答案】（1）30-3x
（2）解：依题意有x(30-3x)=63.
解得=7，=3.
当x=7时，30一3x=9﹤10，符合题意；
当x=3时，30一3x=21﹥10，不符合题意，舍去故当AB的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）
【分析】（1）、本题考查了用未知数和已知条件表示线段长度。用篱笆围花园， 设花园的一边AB为xm， 有三段与AB平行且相等得篱笆， 则BC的长可用含的代数式表示为 30-3x.
（2）、本题考查了二次方程得求解实际应用问题。依题意有x(30-3x)=63.解得=7，=3.当x=7时，30一3x=9﹤10，符合题意；当x=3时，30一3x=21﹥10，不符合题意，舍去故当AB的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米.
21．【答案】（1）设x2=t，则原方程可变形为t2一5t+6=0.
(t-2)(t-3)=0.
t=2或t=3.
当x2=2时，，
当x2=3时，
原方程的解为：，，；
（2）设=(y≥0)，则所以原方程可化为：y2-y-2=0.
(y-2)(y+1)=0.
y=2或y=-1(舍去)。
当y=2时，
√x2+3x=2.
两边平方，得x2十3x=4.
x2+3x-4=0.
(x+4)(x-1)=0.
x1=-4，x2=1.
经检验x1=-4，x2=1是原方程的解，
【解析】【分析】 （1）本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为个整体，设为另外一个未知数t，就可以把原方程降次为一元二次方程t2-5t+6=0来继续解答.
（2）本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为个整体，设为另外一个未知数y，就可以把原方程降次为一元二次方程y2-y-2=0来继续解答.
22．【答案】（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为(9，10)，
设抛物线解析时为：y=a(x-9)2十10，
手榴弹离手点离地面高度为1.9米，
(0，1.9)在此抛物线上，
1.9=a(0-9)2+10，
解得：a=-0.1，
拋物线解析式为y=-0.1(x-9)2+10；
（2）由（1）得：y=-0.1(x-9)2+10，
令y=0，-0.1(x-9)2+10=0，
解得：x1=-1(舍去)，x2=19，
志愿军同志的手榴弹扔了19米。
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）本题考查了根据实际问题来求解抛物线的解析式，根据题意可以求解出抛物线的顶点坐标）(9，10)，根据抛物线的顶点式设出解析式y=a(x-9)2+10，再根据手榴弹离手点离地面高度为1.9米，即(0，1.9)在此抛物线上，将该点代入抛物线方程求解出a=-0.1，继而得到拋物线解析式为y=-0.1(x-9)2+10.
（2）泵体考查了抛物线与x轴得交点。令y=0，-0.1(x-9)2+10=0，求解，解得：x1=-1(舍去)，x2=19，所以志愿军同志的手榴弹扔了19米。
23．【答案】（1）根据题意可知y=300-=300-10x.
（2）w=(60+x-40)y=（20+x)（300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250.
因为-10﹤0，x为偶数，且5-4=6-5，所以当x=4或6时，y的值相等且最大，为6240.为了减少库存，x取4，即当销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润为6240元
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）、本题考查了一次函数的售价问题，根据题意得到y=300-=300-10x的解析式。
（2）、本题考查了二次函数的最值利润问题，我们更具体题意写出利润的方程，得：w=-10(x-5)2+6250，根据图像得其抛物线的开口方向下，且因为-10﹤0，x为偶数，且5-4=6-5，所以当x=4或6时，y的值相等且最大，为6240，为了减少库存，所以x取4，即当销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润为6240元。
24．【答案】（1）解：设每天的销售量y(件)与每件售价x(元)函数关
系式为：y=kx+b，
9k+b=105，
11k+b=95，
解得k=-5 b=150，
y与x之间的函数关系式为：y=-5x+150.
（2）解：(-5x+150)(x-8)=360，
解得：x1=12，x2=26(舍去)，
，若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y=-5x+150
（3）解：w=y(x-8)，
=（-5x+150)(x-8)，
=-5x2+190x-1200，
=-5(x-19)2+605，
8≤x≤15，且c为整数，当x<15时，w随x的增大而增大，当x=15时，w有最大值，最大值为525.
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查了一次函数销售量y(件)与每件售价x(元)函数关系。我们根据题意得 ——当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件 。将这两组数据代入我们常见的一次函数解析式，得到y与x之间的函数关系式为：y=-5x+150。
（2）本题考查了二次函数利润与售价之间得关系。(-5x+150)(x-8)=360，解得：x1=12，x2=26(舍去)，若该商店销售这种消毒用品每天获得360元的利润，则每件消毒用品的售价为y=-5x+150。
（3）本题考查了二次函数最值及利润问题。我们根据题意列出利润的有关方程——w=（-5x+150)(x-8)，根据二次函数得图像得出其单调性问题——8≤x≤15，且c为整数，当x<15时，w随x的增大而增大，当x=15时，w有最大值，最大值为525.
25．【答案】（1）将A(-1，0)，B(3，0)代入y=x2+bx+c，
得到
解得
.
（2）将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3，得y=-3，∴C(2，-3)；
直线AC的函数解析式是y=-x-1.
设Р点的横坐标为x(-1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为：P(x，-.x-1)，E(x，x2-2x-3)；
P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2，
，
-1<0，
当x=时，PE的最大值=，此时P（，-）.
（3）理由：如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，-3)，C(2，-3)，
CK∥x轴，CK=2，
当AC是平行四边形ACFD1的边时，可得D1(-3，0).
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2=CK，可得D2(1，0)，
当点F在x轴的上方时，令y=3，3=x2-2x-3，
解得，
.F3(，3)，F4(，3)，
由平移的性质可知D3(4-，0)，D4(4+，0).
综上所述，满足条件的点D的坐标为(-3，0)或(1，0)或(4-，0)或(4+，0).
【解析】【分析】（1）、本题考查了抛物线解析式的求解。根据题意A、B两点位于图像上，将两点坐标带入图像得即抛物线解析式为：.
（2）本题考查了二次函数一次函数相交求解动点问题。因为过A点的直线与抛物线交与点C，所以将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3，得y=-3，∴C(2，-3)；求解得到直线AC的函数解析式是y=-x-1.
设Р点的横坐标为x(-1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为：P(x，-.x-1)，E(x，x2-2x-3)；
P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2，
，
-1<0，
当x=时，PE的最大值=，此时P（，-）.
（3）、本题考查了二次函数图象上的动点问题。如图，设抛物线与y的交点为K，由题意K(0，-3)，C(2，-3)，
CK∥x轴，CK=2，
当AC是平行四边形ACFD1的边时，可得D1(-3，0).
当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，AD2=CK，可得D2(1，0)，
当点F在x轴的上方时，令y=3，3=x2-2x-3，
解得，
.F3(，3)，F4(，3)，
由平移的性质可知D3(4-，0)，D4(4+，0).
综上所述，满足条件的点D的坐标为(-3，0)或(1，0)或(4-，0)或(4+，0).