【期末能力提升】有理数专题复习10 阅读理解题（原卷+解析卷）

【期末能力提升——有理数专题复习】
专题10 阅读理解题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
2．【问题背景】七年级数学社团活动决定对课本63页第17题进行探索研究，问题如下：
“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？请与同学交流”
探究一：（1）小明同学首先将所有的数前面都添上正号：
①这12个正数的和= ．
②小明发现，取连续2个数相加，当和为7时，则这两个数分别为3，4；而当和为13时，则这两个数可能是12，1或6，7；问：若取连续3个数相加，当和为15时，则这三个数可能是；
探究二：（2）小花、小芳两位同学分别尝试用不同的方法，将12个数前面恰当地添上正号或负号，使得这12个整数的和恰好都为0，小花同学采用“配对法”，将12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组数的和为1，另外三组数的和为；小芳采用“奇偶法”，将12个数按奇偶分成两组：(1，3，5，7，9，11)，(2，4，6，8，10，12)，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再让所有的偶数和也为0，这样就可以使这12个数和为0；
①按照小花同学的办法，共有种不同的添加方法：
②小芳的方法是否可行？如果可行请你写出一种添加的结果，如果不可行，说说你的理由．
【拓展应用】
（3）在1．2，3，4，…，2024，2025共2025个数前面恰当地添加正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？如果能，请写出一种添加的结果，如果不能，请说明理由．
3．阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
根据上述材料，回答下列问题．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；
（2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝；
（3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是．
4．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数，，满足，求＋＋的值．
【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都为正数，即时，
＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；
②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，
则＋＋＝＋＋．
综上所述，＋＋的值为3或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，是不为0的有理数，当时，＋＝；
(2)已知，，是有理数，当时，求＋＋的值；
(3)已知，，是有理数，，，求＋＋的值．
5．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践：
（1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）；
（2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______；
（3）代数式的最小值是______；
（4）若，则的最大值是______．
拓展与延伸：
数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数．
6．【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为_________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，运动了后，点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点．设点运动时间为秒，为何值时到点的距离为2．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为．
①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为_________．
②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，求的最小值？并求出此时的取值范围．
7．人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离______；
③当，时，A，B之间的距离______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则______．
②若，则______．
③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______．
8．综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：

【问题解决】
（1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数________对应的点重合；
【学以致用】
（2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数________对应的点重合；
【问题拓展】
（3）若如（2）这样折叠后，数轴上有A、B两点也重合，且A、B两点之间的距离为11（点B在A点的右侧），则点A对应的数为________，点B对应的数为________；
（4）在（3）的条件下，数轴上有一动点P，动点P从B点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒（）．
①动点P从B点向右出发，t为何值时，P、A两点之间的距离为15个单位长度；
②请直接写出动点P从B点向左出发时，P、A两点之间的距离为15个单位长度的t的值．【期末能力提升——有理数专题复习】
专题10 阅读理解题
班级：________ 姓名：________ 得分：________
1．阅读与探究：
我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数．比如：整数5可以写成，分数就是整数12和整数5的比．
(1)【探究】对于是不是有理数呢？我们不妨设，由，于是可得：；等式两边同乘以10，可得：；即：；
化简，得：；解方程，得：；所以，由此得：得_________有理数（填“是”或“不是”）；
(2)【类比】请你把无限循环小数写成两个整数之比的形式即分数的形式，即_________；
(3)【迁移】你能化无限循环小数为分数吗？请完成你的探究过程．
(4)【拓展】请按照这个方法把无限循环小数化为分数，即_________
(5)【应用】在中，属于非负有理数的是__________________．
【答案】(1)是；(2)；(3)是，过程见解析；(4)；(5)，0，，16.2
解：（1）是
（2）
设，由，得．
可知，，即，
解得：，
（3）设，由，
可得：，
等式两边同乘以100，可得，
即：，
化简，得：
解方程，得：．
（4）
由（1）知：
所以．
（5）在中，属于非负有理数的是，0，，16.2，
故答案为：，0，，16.2．
2．【问题背景】七年级数学社团活动决定对课本63页第17题进行探索研究，问题如下：
“在钟面上的12个数前面，恰当地添上正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？请与同学交流”
探究一：（1）小明同学首先将所有的数前面都添上正号：
①这12个正数的和= ．
②小明发现，取连续2个数相加，当和为7时，则这两个数分别为3，4；而当和为13时，则这两个数可能是12，1或6，7；问：若取连续3个数相加，当和为15时，则这三个数可能是；
探究二：（2）小花、小芳两位同学分别尝试用不同的方法，将12个数前面恰当地添上正号或负号，使得这12个整数的和恰好都为0，小花同学采用“配对法”，将12个数分成6组：，，，，，，通过添加正负号让其中三组数的和为1，另外三组数的和为；小芳采用“奇偶法”，将12个数按奇偶分成两组：(1，3，5，7，9，11)，(2，4，6，8，10，12)，通过适当地添加正负号，先使所有的奇数的和为0，再让所有的偶数和也为0，这样就可以使这12个数和为0；
①按照小花同学的办法，共有种不同的添加方法：
②小芳的方法是否可行？如果可行请你写出一种添加的结果，如果不可行，说说你的理由．
【拓展应用】
（3）在1．2，3，4，…，2024，2025共2025个数前面恰当地添加正号或负号，使它们的和为0，你能做到吗？如果能，请写出一种添加的结果，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）①78；②4，5，6或12，1，2；（2）①20；②不可行，见解析；（3）不能做到，见解析
【解析】本题主要考查了有理数的加减运算的应用，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键．
（1）①把这12个数相加，即可求解；②根据题意可得取连续3个数相加，当和为15时，则这三个数可能是4，5，6或12，1，2，即可；
（2）①利用列举法，即可求解；②根据几个偶数的和不可能等于奇数，即可求解．
（3）由2025个数中包含1012个偶数和1013个奇数，结合加减运算的含义可得结论.
解：（1）①这12个正数的和；
②∵，
∴取连续3个数相加，当和为15时，则这三个数可能是4，5，6或12，1，2；
（2）①把分别用A，B，C，D，E，F表示，
可以和为1的三组数可以为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
∴一共有20种选法；
②不可行，理由如下：
∵6个偶数，要让所有的偶数和为0，
则需要使其中一部分数的和等于21，显然偶数的和不可能是奇数
∴小芳的方法不可行
（3）不能做到，理由如下：
因为2025个数中包含1012个偶数和1013个奇数，而偶数个偶数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数加奇数和是奇数，所以和不可能是0.
3．阅读绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离，如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离而|5|＝|5－0|，即|5－0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5、－3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a－b|．
根据上述材料，回答下列问题．
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是；
（2）借助数轴解决问题：如果|x＋2|＝1，那么x＝；
（3）|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示和这两个点的距离之和，则|x＋2|＋|x－1|的最小值是．
【答案】（1）3；4 ；（2）-1或-3；（3）-2；1；3
【解析】（1）根据阅读材料提供的两点间的距离计算即可；
（2）清楚|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1,因此借助数轴即可完成；
（3）|x＋2|表示数轴上表示x的点与表示－2的点间的距离，|x－1|表示数轴上表示x的点与表示1的点间的距离，因此|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，因而可以求得其最小值．
解：（1）由题意得：数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5－2|=3；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1―(―3)|=4；
故答案为：3，4
（2）|x＋2|=1表示的是数x表示的点与数－2表示的点之间的距离为1，由数轴知，x的值为－3或－1；
故答案为：－1或－3
（3）由题意知，|x＋2|＋|x－1|可以理解为数轴上表示x的点到表示－2和表示1这两个点的距离之和，如图，当时，|x＋2|＋|x－1|=3；当或时，|x＋2|＋|x－1|>3；故其最小值为3．
故答案为：3
4．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】已知有理数，，满足，求＋＋的值．
【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当，，都为正数，即时，
＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3；
②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，
则＋＋＝＋＋．
综上所述，＋＋的值为3或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，是不为0的有理数，当时，＋＝；
(2)已知，，是有理数，当时，求＋＋的值；
(3)已知，，是有理数，，，求＋＋的值．
【答案】(1)0；(2)1或；(3)1
【解析】（1）根据绝对值的意义及有理数乘法运算法则确定异号，然后根据绝对值的意义进行化简即可;
（2）根据有理数乘法运算法则判断的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论即可；
（3）根据有理数加法和乘法运算法则判断的符号，然后根据绝对值的意义进行化简即可．
本题主要考查了绝对值的性质，有理数的混合运算，运用分类讨论的数学思想是解题的关键．
解：（1），且是不为0的有理数，
，即异号，
不妨设,
原式,
故答案为：0；
（2），且是有理数，
三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数，
①当三个有理数均为负数时，即，
∴原式＝
②当中一个为负数，另两个为正数时，
不妨设，
∴原式＝
综上，的值为1或；
（3），且是有理数，
∴中一个为负数，另两个为正数，
不妨设，
∴原式＝
∴＋＋的值为1．
5．阅读：已知点在数轴上分别表示有理数两点之间的距离表示为．理解与实践：
（1）数轴上点代表的数是，数轴上表示9的点到点之间的距离是______（用含的式子表示）；
（2）可表示为点到表示数______的距离；若，则______；
（3）代数式的最小值是______；
（4）若，则的最大值是______．
拓展与延伸：
数轴上三个不重合的点，若三个点中，其中一点到另外两点的距离恰好满足2倍的数量关系时，我们称这个点是其他两个点的“倍分点”．已知点代表的数是，点代表的数是13，若点是其他两个点的“倍分点”，求此时点表示的数．
【答案】（1）；（2）；或；（3）8；（4）4；拓展与延伸：点表示的数为或1或7或31
【解析】（1）根据数轴上两点之间的距离进行解答即可；
（2）根据绝对值的意义进行解答即可；
（3）根据数轴上两点之间的距离公式和绝对值的意义进行解答即可；
（4）先求出表示到和的距离之和，其最小值为，表示到和的距离之和，其最小值为，即可进一步求解；
拓展与延伸：需要分四种情况进行讨论，然后列出式子求解．
解：（1）数轴上点P代表的数是x，数轴上表示9的点到点P之间的距离是；
故答案为：；
（2）可表示为点到表示数的距离；
，
，
解得：，
故答案为：；或；
（3）表示的是到和的距离之和，
∴当在和之间及之上时，取最小值，且最小值为；
故答案为：；
（4）若，
表示到和的距离之和，其最小值为，
表示到和的距离之和，其最小值为，
，
，，
当时，的值最大为：；
故答案为：；
（4）若，
表示到和1的距离之和，其最小值为3，
表示到3和的距离之和，其最小值为5，，
，
当时，的值最大为：4，故答案为：4；
拓展与延伸：设点表示的数为，
①当点在点左边时，有，即，
解得：或（舍去），
②当点在点之间靠近点时，有，即，
解得：或（舍去），
当点在点之间靠近点时，有，即，
解得：或（舍去），
③当点在点的右边时，有，即，
解得：或（舍去），
点表示的数为或1或7或31．
6．【知识准备】若数轴上点对应数，点对应数，为中点，则我们有中点公式：对应的数为．
(1)在一条数轴上，为原点，点对应数，点对应数，，且有．则的中点所对应的数为_________．
(2)【问题探究】在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，运动了后，点从点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，为的中点．设点运动时间为秒，为何值时到点的距离为2．
(3)【拓展延伸】若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的三等分点，则我们有三等分点公式：对应的数为．若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的四等分点，则我们有四等分点公式：对应的数为．
①填空：若数轴上点对应数，点对应数，为靠近的5等分点，则我们有5等分点公式：对应的数为_________．
②在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为中点，求的最小值？并求出此时的取值范围．
【答案】(1)1.5；(2)11或3秒时，到点的距离为2；(3)①②67；
【解析】（1）先由非负数的性质求出，进而可得的中点所对应的数；
（2）首先依题意求出点所表示的数为：，点所表示的数为：，然后根据为的中点，到点的距离为2，得，由此解出即可；
（3）①依题意可得出对应的数；
②由（2）可知：点所表示的数为：，点所表示的数为：，再求出点所表示的数为，点所表示的数为，进而求出，从而得，然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案．
解：（1）由非负数的性质得：，
解得：，
∴的中点所对应的数为：，
故答案为：1.5．
（2）∵点从点出发，以每秒1个单位的速度向左运动，
∴秒时，点所表示的数为：
∵点从D点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，
∴秒时，点所表示的数为：，
∵为的中点，则点所表示的数为
又∵点到点的距离为2，
整理得：，
解得：，或，
即11或3秒时，到点的距离为2．
（3）①∵为靠近的三等分点时，对应的数为，
为靠近的四等分点时，对应的数为，
以此类推，为靠近的5等分点时，对应的数为，
故答案为：．
②由（2）可知：点所表示的数为：，点所表示的数为：，
∵是最靠近的五等分点，
∴点所表示的数为：，
∵为中点，
∴点所表示的数为：，
∴，
∴
当时，，
∵，则，
∴，
即，
当时，
当时，
∵，则，
∴，
即，
综上所述：的最小值为67，
此时，即，
故得当的最小值为67时，的取值范围是：．
7．人们通过长期观察发现如果早晨天空中棉絮的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语．在数学的学习过程中，通过对简单情形的观察、分析，从特殊到一般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳．
【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？
【问题探究】
（1）观察分析（特殊）：
①当，时，A，B之间的距离；
②当，时，A，B之间的距离______；
③当，时，A，B之间的距离______．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______；
【问题解决】
（3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值；
【问题拓展】
（4）拓展：
①若，则______．
②若，则______．
③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______．
【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0
【解析】本题考查数轴上两点之间的距离；
（1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可；
（2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为；
（3）解绝对值方程即可；
（4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题．
解：（1）②；
③；
故答案为：7，3．
（2）一般结论：
数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为，
故答案为：．
（3）∵
∴，
解得：或；
（4）①，
即，
解得：；
故答案为：4．
②若，
当时，，解得；
当时，，方程无解；
当时，，解得；
故答案为：8或0．
③由题可知，，
又∵，
∴，，
即，，
∴代数式的最大值是，最小值是，
故答案为：7，0．
8．综合与实践，阅读理解：
【问题背景】数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面：

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