【期末能力提升——有理数专题复习】
专题02 定义新运算
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题
1．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，则的值（ ）
A．2023 B．2022 C． D．
【答案】B
【解析】本题考查新定义运算，根据新运算得出，再根据有理数的运算法则进行计算是解题关键．
解：
，
故选：B．
2．定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值．
解：根据题中的新定义得：
原式
故选：B．
3．定义一种新运算：，则的结果是（ ）
A．15 B． C．1 D．12
【答案】A
【解析】本题考查的新定义运算，理解新定义运算的含义是解本题的关键；本题先根据新定义计算，再代入计算即可．
解：∵，
∴，
∴
；
故选A
4．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的最大正整数），并且运算可以重复进行，例如，如图所示为时的运算过程，若，则第2023次“”运算的结果是（ ）
A．152 B．49 C．62 D．31
【答案】A
【解析】计算得到第一至六次运算结果，观察规律即可得到答案．
本题考查有理数的运算，解题的关键是读懂题意，能找到“”运算结果的规律．
解：根据题意得：
第一次“”运算的结果是，
第二次“”运算的结果是，
第三次“”运算的结果是，
第四次“”运算的结果是，
第五次“”运算的结果是，
第六次“”运算的结果是，
，
可见每六次一个循环，
，
第2023次“”运算的结果和第一次运算结果相同为152，
故选：A．
5．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】本题主要考查了有理数的加减计算，先根据题意将所求式子变形为，则，再根据可进一步将原式变形为，据此可得答案．
解：∵，，
∴
，
故选A．
二、填空题
6．a为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，根据这种运算，则的值为 ．
【答案】
【解析】根据新定义运算进行运算即可求解．
解：根据题中的新定义得：，
故原式．
故答案为：．
7．在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ．
【答案】
【解析】本题主要考查有理数的混合运算，根据新的定义运算法则计算即可．
解：
当时，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
8．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ．
【答案】0
【解析】本题为新定义问题，考查了绝对值的意义，有理数混合运算，有理数的大小比较等知识．根据绝对值的意义求出，，再分，、，、，、，分别求出的值，比较大小，即可求解．
解：∵，，
∴，，
∴当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
∵，
∴的最大值为0．
故答案为：0
三、解答题
9．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．
如：．
(1)试分别计算出和的值；
(2)计算的值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的混合运算；根据新定义运算法则的含义先列运算式，再计算即可．
（1）根据新定义运算的含义，直接代入计算即可．
（2）先根据新定义运算算括号里面的，再根据新定义运算算括号外面的即可．
解：（1）
；
；
（2）∵，
；
∴．
；
∴．
10．在学习完“有理数”后，奇奇同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，他定义了一种新运算“ ”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)当a≠b时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由．
【答案】(1)2；(2)种新运算“”不具有交换律，理由见解析
【解析】此题考查了新定义，有理数的混合运算，以及整式的加减，理解新定义的运算方法是解答本题的关键．
（1）利用规定的运算方法代入求得数值即可；
（2）把（1）中的数字位置调换，计算后进一步比较得出结论即可．
解：（1）∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴这种新运算“”不具有交换律
11．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，．
(1)计算的值；
(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简；
(3)若，求x的值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用．
（1）根据新定义的法则，进行计算即可；
（2）根据点在数轴上的位置，判断的符号，再根据新定义的法则，进行计算即可；
（3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可．
理解新运算的法则，正确的列出算式和方程，是解题的关键．
解：（1）；
（2）由图可知：，，
∴
∴；
（3）∵，，
∴转化为：，
∴．
12．【思考】
定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗
【归纳】
（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ．
【运用】
（2）计算：；
（3）化简：．
（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．）
【答案】（1）绝对值相加；这个数的绝对值（2）（3）或
【解析】本题考查有理数混合运算及新定义．
（1）观察表格可得答案；
（2）根据新定义计算；
（3）分三种情况讨论即可．
解：（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加，任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值；
故答案为：绝对值相加；这个数的绝对值；
（2）
=；
（3）当时，；
当时，；
当时，．【期末能力提升——有理数专题复习】
专题02 定义新运算
班级：________ 姓名：________ 得分：________
一、选择题
1．现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定，则的值（ ）
A．2023 B．2022 C． D．
2．定义一种新的运算：如果，则有，那么的值是（ ）
A． B． C． D．4
3．定义一种新运算：，则的结果是（ ）
A．15 B． C．1 D．12
4．定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的最大正整数），并且运算可以重复进行，例如，如图所示为时的运算过程，若，则第2023次“”运算的结果是（ ）
A．152 B．49 C．62 D．31
5．定义运算“*”如下：对任意有理数x，y和z都有，，这里“”号表示数的加法，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．a为有理数，定义运算符号：当时，；当时，；当时，根据这种运算，则的值为 ．
7．在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ．
8．定义一种新运算：对于任意实数、，满足，当，时，的最大值为 ．
三、解答题
9．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．
如：．
(1)试分别计算出和的值；
(2)计算的值．
10．在学习完“有理数”后，奇奇同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，他定义了一种新运算“ ”，规则如下：．
(1)求的值；
(2)当a≠b时，这种新定义的运算是否满足交换律，即是否成立，请说明理由．
11．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，．
(1)计算的值；
(2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简；
(3)若，求x的值．
12．【思考】
定义一种新运算“※”，观察下面的算式，你能发现什么规律吗
【归纳】
（1）两数进行“※”运算时，同号得正，异号得负，并把 ．任何数同0进行“※”运算，都得 ．
【运用】
（2）计算：；
（3）化简：．
（提示：对于运算“※”，如有括号，先做括号内的运算．）
