专题三　电场与磁场　培优练（3份打包）（含解析） 2024年高考物理大二轮复习

培优练4　带电粒子在复合场中的运动
1.如图所示，坐标系xOy的第一象限存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向外；第四象限内有沿x轴负方向的匀强电场。质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子以速率v从y轴的点A(0，L)射入磁场，经x轴上的点C(L,0)沿y轴负方向进入电场，然后从y轴负半轴D点以与y轴负方向成60°角离开电场，不计粒子重力，求：
(1)粒子在A点时速度方向与y轴正方向的夹角θ；
(2)匀强电场的电场强度大小；
(3)粒子在磁场和电场中运动的总时间t。
2.(2023·江苏省南京师范大学附属中学一模)如图，在xOy坐标系中的第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第二象限内存在方向垂直纸面向外磁感应强度B＝的匀强磁场，磁场范围可调节(图中未画出)。一粒子源固定在x轴上M(L,0)点，沿y轴正方向释放出速度大小均为v0的电子，电子经电场后从y轴上的N点进入第二象限。已知电子的质量为m，电荷量的绝对值为e，ON的距离L，不考虑电子的重力和电子间的相互作用。
(1)求第一象限内所加电场的电场强度；
(2)若磁场充满第二象限，电子将从x轴上某点离开第二象限，求该点的坐标；
(3)若磁场是一个圆形有界磁场，要使电子经磁场偏转后通过x轴时，与y轴负方向的夹角为30°，求圆形磁场区域的最小面积。
3.如图所示，在竖直平面内x轴的上方空间内存在水平向右的匀强电场，x轴的下方空间内存在垂直纸面向外的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁感应强度大小为0.3 T，电场强度大小均为1.2 V/m。一个带电小球用一根细线悬挂在x轴的上方区域，静止时细线与竖直方向夹角为θ＝45°。现将细线剪断，小球运动1 s时第一次经过x轴进入x轴下方区域。g取10 m/s2。求：(tan 63°≈2)
(1)小球第一次经过x轴时的速度大小；
(2)小球第三次经过x轴时的方向；
(3)从剪断细线开始到小球第四次经过x轴的时间。
4.(2022·江苏卷·15)某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形ABCD区域内存在多层紧邻的匀强电场，每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向交替变化，AB边长为12d，BC边长为8d，质量为m、电荷量为＋q的粒子流从装置左端中点射入电场，粒子初动能为Ek，入射角为θ，在纸面内运动，不计重力及粒子间的相互作用力．
(1)当θ＝θ0时，若粒子能从CD边射出，求该粒子通过电场的时间t；
(2)当Ek＝4qEd时，若粒子从CD边射出电场时与轴线OO′的距离小于d，求入射角θ的范围；
(3)当Ek＝qEd，粒子在θ为－～范围内均匀射入电场，求从CD边出射的粒子与入射粒子的数量之比N∶N0.
培优练4　带电粒子在复合场中的运动
1．(1)120°　(2)　(3)
解析　(1)根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示
由于OA>OC，且从C点沿y轴负方向进入电场，则圆心在x轴负半轴，设粒子在第一象限磁场中做匀速圆周运动的半径为R，圆心为O′，由几何关系有
R2＝(L)2＋(R－L)2
解得R＝2L
则有tan∠OAO′＝＝，
则∠OAO′＝30°
由几何关系有θ＝180°－(90°－∠OAO′)
解得θ＝120°
(2)根据题意可知，粒子在第四象限做类平抛运动，沿电场方向上有
a＝，L＝at22，vx＝at2
垂直电场方向上有y＝vt2
又有tan 60°＝
联立解得y＝L，E＝
(3)由上述分析可知，粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为，
则粒子在磁场中运动的时间为
t1＝·＝
粒子在电场中运动的时间为
t2＝＝
粒子在磁场和电场中运动的总时间t＝t1＋t2＝。
2．(1)　(2)(－2L,0)　(3)πL2
解析　(1)在第一象限内，电子做类平抛运动
L＝v0t
L＝at2
根据牛顿第二定律得eE＝ma
解得E＝
(2)电子射入磁场时，速度方向与y轴夹角的正切值tan θ＝＝，
得θ＝60°
速度大小v＝＝2v0
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力得evB＝
解得R＝＝L
根据几何关系可知x1＝R＋Rcos θ＝2L
该点的坐标为(－2L,0)
(3)根据题意，作出轨迹图如图所示
电子在磁场中偏转90°射出，则磁场的最小半径
Rmin＝＝Rsin 45°
最小面积Smin＝πRmin2
解得Smin＝πL2。
3．(1)10 m/s　(2)与x轴负方向夹角为斜向下　(3)(3＋) s
解析　(1)设小球质量为m，带电荷量为q。小球被悬挂并静止时受力平衡如图甲所示，其中θ＝45°，
即θ＝
因为静电力方向与电场方向相反，所以小球带负电。重力与静电力的合力F合＝＝mg
静电力FE＝qE＝mgtan θ＝mg，
小球的比荷＝
将细线剪断后，小球在x轴上方做匀加速直线运动，小球的加速度大小为a＝＝g＝10 m/s2
加速度方向与细线拉力方向相反。经过t1＝1 s到达x轴，此时其速度大小为v1＝at1＝10 m/s
(2)小球穿过x轴进入x轴下方后，由于小球所受重力mg和小球所受静电力FE等大反向，所以小球所受洛伦兹力为其合外力，小球将在此合外力下做匀速圆周运动。设小球第一次通过A点进入x轴下方，经过时间t2，在B点通过x轴，其第一次圆周运动轨迹示意图如图乙所示，
小球运动的圆弧轨迹对应的圆心角α1＝2π－2θ＝
洛伦兹力为其做圆周运动的向心力，有qBv1＝，T＝
可得T＝＝π s
则有t2＝T＝ s
小球在B点通过x轴，进入x轴上方，其速度方向与x轴上方复合场方向垂直，所以小球将做类平抛运动。设此过程小球运动时间为t3。小球将再次经过x轴，设此时其速度为v2，此过程运动轨迹示意图如丙所示，
则有v1t3＝at32，
解得t3＝＝2t1＝2 s
又tan θ1＝＝＝
所以θ1＝
则有θ2＝－θ1＝，小球第三次经过x轴时与x轴负方向夹角为斜向下；
(3)小球第三次经过x轴后，在x轴下方再次做匀速圆周运动，设此过程运动时间为t4，其圆弧轨迹对应的圆心角为α2＝2π－2θ2＝
则有t4＝·T＝α2·＝ s
所以，从剪断细线开始到小球第四次经过x轴的时间
t＝t1＋t2＋t3＋t4＝(3＋) s。
4．见解析
解析　(1)电场方向在竖直方向上，粒子所受静电力在竖直方向上，粒子在水平方向上做匀速直线运动，速度分解如图所示
粒子在水平方向的速度为vx＝vcos θ0
根据Ek＝mv2可知v＝
解得t＝·
(2)粒子进入电场时的初动能
Ek＝4qEd＝mv02
粒子进入电场后只有静电力做功，粒子在竖直方向上反复运动后，根据题意可知最终运动的空间如图所示，
若粒子从OO′上部分离开CD边，则静电力做负功，根据动能定理可知
－qEx＝Ek1－Ek
其中Ek1＝m(vy12＋vx12)
Ek＝m(vy02＋vx02)
粒子在水平方向上做匀速直线运动，
所以vx0＝vx1，
竖直方向上有vy0＝v0sin θ1，
动能定理的方程可化解为
－qEx＝mvy12－mvy02＝
mvy12－mv02sin2 θ1
当vy1＝0时，x取到最大值，即
－qExm＝－mv02sin2 θ1
解得粒子在竖直方向上的最大位移为
xm＝4dsin2 θ1
根据题意可知xm<d，可知sin θ1<，
解得θ1<30°
粒子在OO′上、下部分运动呈现对称性，所以入射角的范围为－30°<θ<30°或－<θ<
(3)设粒子入射角为θ′时，粒子恰好从D点射出，由于粒子进入电场时，在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向反复做加速度相同的减速运动，加速运动．粒子的速度
v′＝＝
运动时间为
t总＝＝·
粒子在沿电场方向，反复做加速度相同的减速运动，加速运动，则
－2ad＝v1d2－(v′sin θ′)2
2ad＝v2d2－(v1d)2
－2ad＝v3d2－(v2d)2
2ad＝v4d2－(v3d)2
－2ad＝v5d2－(v4d)2
2ad＝v6d2－(v5d)2
则v2d＝v4d＝v6d＝v′sin θ′
v1d＝v3d＝v5d
则粒子在分层电场中运动时间相等，设为t0，
则t0＝t总＝×＝
且d＝v′sin θ′·t0－ ·t02
代入数据化简可得
6cos2θ′－8sin θ′cos θ′＋1＝0
即tan2θ′－8tan θ′＋7＝0
解得tan θ′＝7(舍去)或tan θ′＝1
解得θ′＝
则从CD边出射的粒子入射粒子的数量之比N∶N0＝＝50%.培优练6　带电粒子在立体空间的运动
1．(2023·江苏省前黄高级中学二模)用图甲所示的洛伦兹力演示仪演示带电粒子在匀强磁场中的运动时发现，有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于x轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度v0沿与x轴正方向成α角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于x轴，直径为D，螺距为Δx，则下列说法中正确的是(　　)
A．匀强磁场的方向为沿x轴负方向
B．若仅增大匀强磁场的磁感应强度，则直径D减小，而螺距Δx不变
C．若仅增大电子入射的初速度v0，则直径D增大，而螺距Δx将减小
D．若仅增大α角(α<90°)，则直径D增大，而螺距Δx将减小，且当α＝90°时“轨迹”为闭合的整圆
2.如图所示，在三维坐标系O－xyz中存在一长方体ABCD－abOd，yOz平面左侧存在沿z轴负方向、磁感应强度大小为B1(未知)的匀强磁场，右侧存在沿BO方向、磁感应强度大小为B2(未知)的匀强磁场(未画出)。现有一带正电粒子以初速度v从A点沿平面ABCD进入磁场，经C点垂直yOz平面进入右侧磁场，此时撤去yOz平面左侧的磁场B1，换上电场强度为E(未知)的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在Aa棱上。已知AB＝2L、Aa＝AD＝L，B2＝5B1，粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。求：
(1)磁感应强度B1的大小；
(2)粒子第二次经过yOz平面的坐标；
(3)电场强度E的大小。
3．如图甲是医用肿瘤化疗装置，其原理如图乙所示，利用在O点沿y轴正方向射出的高能质子束对肿瘤病灶精准打击从而杀死癌细胞。实际中，质子束的运动方向并不是严格沿y轴而是与y轴有一个很小的偏角，呈发散状。为此加一个方向沿y轴正向，磁感应强度大小为B的匀强磁场，使得质子参与两种运动，沿y轴方向的直线运动和在垂直y轴的平面内的圆周运动。为研究方便，用垂直y轴足够大的显示屏表示病人，癌细胞位于屏上，从O点射出的质子速度为v，质量为m，电荷量为q，所有质子与y轴正方向偏差角均为θ，不考虑质子重力和空气阻力。
(1)质子在y轴方向的分运动速度大小是否变化，请简述理由；
(2)当显示屏离O点距离为多大时，所有的质子会重新会聚于一点？
(3)移动显示屏，屏上出现一亮环，当屏到O点的距离为L＝时，亮环半径多大？在移动显示屏过程中，最大亮环的面积是多少？
培优练6　带电粒子在立体空间的运动
1．D　[将电子的初速度沿x轴及y轴方向分解，沿x方向速度与磁场方向平行，做匀速直线运动且x＝v0cos α·t，沿y轴方向，速度与磁场方向垂直，洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由左手定则可知，磁场方向沿x轴正方向，故A错误；根据evB＝m，T＝，且v＝v0sin α，解得D＝2R＝，T＝，所以Δx＝vxT＝，所以，若仅增大磁感应强度B，则D、Δx均减小，故B错误；若仅增大v0，则D、Δx皆按比例增大，故C错误；若仅增大α，则D增大，而Δx减小，且α＝90°时Δx＝0，故D正确。]
2．(1)　(2)(0，，)　(3)
解析　(1)带电粒子在yOz平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得
R2＝(2L)2＋(R－L)2
解得R＝L
由牛顿第二定律可得qvB1＝m
解得B1＝
(2)在右侧磁场中由牛顿第二定律得
qvB2＝m，
又B2＝5B1，解得r＝L
y＝2rsin 45°＝
z＝L－2rcos 45°＝
即粒子第二次经过yOz平面的坐标为(0，，)。
(3)粒子在电场中做类平抛运动，x轴方向上
2L＝vt
y轴方向上L－y＝t2，
解得E＝。
3．(1)见解析　(2)(n＝1,2,3…)　(3)　
解析　(1)速度大小不变，y轴方向与磁场平行，y轴方向受力为0。
(2)y轴方向L＝vcos θ·t
质子做圆周运动，有
Bqvsin θ＝
又T＝
解得T＝
当t＝nT(n＝1,2,3…)时，所有质子会聚一点，可得L＝(n＝1,2,3…)
(3)当L＝时，可得t1＝
又r＝
如图α＝，
r′＝＝r
解得r′＝
当α＝π，r′＝2r，圆环面积最大，易知最大面积为S＝πr′2＝培优练5　带电粒子在交变场中的运动
1．实验小组用如图甲所示装置研究带电粒子在两个平行金属板间的运动，已知板长为L，两板间距d未知，将放射源P行金属板，放射出的带电粒子沿平行金属板A、B的中轴线MN射入板间，平行金属板A、B间加有如图乙所示的交变电压，已知电压U0，周期T未知，当电压稳定时，板间是匀强电场。质量为m、电荷量为q的粒子以v0的速率在T时刻从M点进入板间，T时刻离开金属板，运动过程中恰好不与金属板碰撞(粒子重力忽略不计)。求：平行板A、B的间距d是多少？
2．如图甲所示的xOy平面内存在大小随时间周期性变化的匀强磁场和匀强电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向，沿y轴负方向为电场强度的正方向)。在t＝0时刻由原点O发射一个初速度大小为v0、方向沿y轴正方向的带正电粒子，粒子的比荷＝，v0、B0、E0、t0均为已知量，不计粒子受到的重力。
(1)求在0～t0内粒子运动轨迹的半径；
(2)求t＝2t0时，粒子的位置坐标；
(3)若粒子在t＝25t0时首次回到坐标原点，求电场强度E0与磁感应强度B0的大小关系。
培优练5　带电粒子在交变场中的运动
1.
解析　T时刻从M点进入板间，T时刻离开金属板，粒子水平方向做匀速直线运动
T－T＝＝
T＝
规定向下为正方向，粒子在竖直方向做匀加速直线运动，设A、B两板间距为d
E＝，
由牛顿第二定律得qE＝ma1，a1＝
在～T时间内，竖直方向的最大位移是，先做加速运动，时间为
t1＝－T＝T，
vy1＝a1·t1＝a1T
运动的位移大小为y1＝·vy1·t1
再减速为零后反向做加速运动，时间为t2＝t－t1＝
粒子在～T时间内做初速度大小为vy1向下，加速度大小a1＝向上的匀变速运动，运动的位移大小为
y2＝vy1·t2－·a1·t22
因此粒子的总位移为y＝y1＋y2＝·vy1·t1＋vy1·t2－·a1·t22
解得y＝－a1T2＝－
代入数据解得d＝。
2．(1)
(2)
(3) E0＝B0
解析　(1)粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力，则有qv0B0＝，又＝
联立解得r＝
(2)若粒子在磁场中做完整的圆周运动，则其周期T＝
解得T＝2t0
则在0～t0时间内，粒子在磁场中转动半周，由左手定则知粒子向左偏转，t＝t0时粒子位置的横坐标
x＝－2r＝－
在t0～2t0时间内，粒子在电场中沿y轴负方向做匀加速直线运动，
则y＝－v0t0－t02
解得y＝－v0t0－
故t＝2t0时，粒子的位置坐标为
(3)如图所示，带电粒子在x轴上方做圆周运动的轨道半径为r1＝r＝
当t＝2t0时，粒子的速度大小为v＝v0＋t0
2t0～3t0时间内，粒子在x轴下方做圆周运动的轨道半径
r2＝＝
由几何关系可知，要使粒子经过原点，则必须满足
n(2r2－2r1)＝2r1(n＝1,2,3，…)
当t＝25t0时，n＝6，解得E0＝B0。