广东省佛山市重点中学2023-2024高三上学期12月月考数学试题（含解析）

佛山重点中学2023-2024学年上学期高三级12月月考试题
数学 学科
考试时间：120分钟 满分：150分
考查范围
集合、复数、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角、数列、立几、直线、概率统计
一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）
1．已知i为虚数单位，复数z满足，则共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，则（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
6．如图，棱长都相等的平行六面体中，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数．若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上有且只有一个极大值点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．12
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．）9．在中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．若，则为等腰三角形
C．
D．若，则为锐角三角形
10．已知直线l：，圆E：，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l必过点 B．直线l与圆E必相交
C．圆心E到直线l的距离的最大值为1 D．当时，直线l被圆E截得的弦长为
11．如图，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且，M是AD的中点．沿BL将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．当平面平面BDC时，三棱锥的外接球的表面积是
B．棱CD上存在一点N，使得平面ABC
C．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角
D．三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为
12．在数列中，（，，p为非零常数），则称为“等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A．是等方差数列
B．若正项等方差数列的首项，且是等比数列，则
C．等比数列不可能为等方差数列
D．存在数列既是等差数列，又是等方差数列
三、填空题（本大题共4小题，共20分．）
13．当时，幂函数为减的数，则______．
14．如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于______．
15．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为______．
16．已知函数，．若实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分10分）已知直线：，：ax+y-a=0，且直线与垂直．
（1）求a的值：
（2）若直线l过直线与的交点P，且原点到该直线的距离为3，求直线l的方程．
18．（本小题满分12分）已知向量，，函数．
（1）若，求的值；
（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）在四棱锥中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：平面PAB；
（2）若直线PC与平面CEMN的所成角的正弦值为，求的值．
20．（本小题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验．
（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：
甲 乙 总和
合格
不合格
总和 15 15 30
现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为产品质量与生产团队有关联；
（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），求这袋产品中恰有4件合格品的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）．
附：，．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
21．（本小题满分12分）已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．
给出以下条件：①是与的等差中项：②，，成等比数列：③，，成等比数列，从中任选一个，先指出，再解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
（1）求的通项公式；
（2）令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．
（3）若，，求实数的取值范围．
22．（本小题满分12分）若对实数，函数、满足，且，则称为“平滑函数”，为该函数的“平滑点”
已知，．
（1）若1是平滑函数的“平滑点”，
（ⅰ）求实数a，b的值；
（ⅱ）若过点可作三条不同的直线与函数的图象相切，求实数t的取值范围；
（2）判断是否存在，使得对任意，函数存在正的“平滑点”，并说明理由．
佛山重点中学2023-2024学年上学期高三级12月月考答案
数学 学科参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A D C B A A BC BD ABD BC
三、填空题
13．-1 14． 15． 16．
部分解析：
3．A 【详解】依题可知：函数的定义域为，
定义域关于原点对称，，故函数为偶函数，故B，D错误；
又当时，，故C错误，
故选：A．
4．D 【详解】由，则，所以．故选D．
5．C 【详解】设等差数列的公差为d，则，则．
由，得，解得．又因为，所以，所以．
6．B【详解】棱长都相等的平行六面体中，，则四面体为正四面体，如图，取BD的中点E，连接AE，，CE．设正四面体的棱长为2，则，且，，，则即为二面角的平面角，在中，．又是的补角，故二面角的余弦值为．
故选：B
7．A【详解】由题意得有两个不相等的实数根，令，
当时，，，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又∵，∴当时，恒成立，
当时，，则，
∴当时，，单调递增，且，画出的图象加图：
要想有两个不相等的实数根，则，故选：A
8．A 【详解】由已知得，，则，，
其中，，因为，
当时，，，
当时，，，，因为在区间上有且只有一个极大值点，
所以，解得，即，所以，
当时，，，此时，此时有两个极大值点，舍去；
当时，，，此时，此时有一个极大值点，成立；
所以的最大值为．
二、多项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．）9．BC【详解】因为，故A错误；
由，得，故为等腰三角形，故B正确；
因为，故C正确；
在中，，则，得角A为锐角，但不能确定其它角是否是锐角，故D错误．
10．BD 【详解】直线l：，过定点，，直线l不经过点，故A不正确，定点在圆E内，所以直线l与圆相交，故B正确；当时，直线l：，直线l被圆E截得的弦长为，故C不正确，圆心E到直线l的距离最大值为圆心与的距离，即，故D正确．故选BD．
11．ABD 【详解】对于A，三棱锥的外接球被平面BCD所截小圆圆心是正的中心，被平面ABD所截小圆圆心为点M，设球心为O，连，OM，则平面BCD，平面ABD，当二面角为直角时，由选项C知，平面ABD，平面BCD，有，，四边形为矩形，，连AO，
在中，，
所以三棱锥的外接球的表面积，A正确；
对于B，取CD的中点N，连MN，因M是AD的中点，则，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，B正确
对于C，取BD中点E，连接CE，ME，如图，因是正三角形，有，而M是AD的中点，
有，而，则，，CE，平面CME，
于是得平面CME，平面CME，所以，C不正确；
因，要三棱锥的体积最大，当且仅当点C到平面ABD距离最大，
由选项A知，点C到直线BD的距离，∠CEM是二面角的平面角，当时，平面ABD，即当C到平面ABD距离最大为 时，三棱锥的体积最大，此时点C在平面ABD上的投影为点E，从而可知在平面BAD上的投影为，设二面角的平面角为，则有，
在中，可知，，
在中，可知，又，，
所以，于是有，
所以，从而有，
所以，D正确，故选：ABD．
12．BC 【详解】对于A，因为，，，
，所以不是等方差数列，故A错误；
对于B，因为，，，
所以，，
因为，，是等比数列，所以，所以，
所以，因为，所以，所以，又，所以，故B正确；
对于C，设等比数列的公比为q，则，
则当时，，若为常数，
则必有，此时，则数列不可能是等方差数列，故C正确；
对于D，假设存在数列既是等差数列，又是等方差数列，
则当时，且 ，
若，则，则，不合题意，
若，则，得，又，
所以为常数，必有，与假设矛盾，
故存在数列既是等差数列，又是等方差数列．故D错误，故选：BC．
三、填空题
14． 【详解】画出图象如下图所示，
依题意：小虫爬行的最短路程为，母线长，易得．所．
设圆锥底面圆的半径为r，则．
故答案为：
15． 【详解】因为，，，∴
∴
当且仅当，即时等号成立，∴面积的最大值为．
16． 【详解】由，得，
当时，，所以在区间上单调递增，
因为，
所以，即，
所以，所以，
又，所以，
令，，所以,
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
故的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．【解】（1）由直线与垂直，得，即，解得．
（2）由（1）得，直线的方程为，即，
由，得，即点P坐标为
①当直线l的斜率不存在时，其直线方程为，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
因为原点到该直线的距高为3，所以，所以，
则直线l的方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
18．【解】（1）∵，∴，则；
；
（2）
，
由，得，
∵，∴，∴，即
所以，解得，
∴，故的取值范围为．
19．【解】（1）∵为等边三角形，，∴，
又∵E为AB中点，，∴，∵，，
∴四边形AECD为矩形，故，
又平面PAD，平面PAD，．∴平面PAD，
∵平面CEMN，平面平面，∴，
∵E为等边三角形PAB边AB的中点，，∴，
又∵，，∴，
又∵，，平面PAB，平面PAB，
∴平面PAB，∴平面PAB
（2）∵为正三角形，∴，又，，平面ABCD，
平面ABCD，∴平面ABCD．
以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图空间直角坐标系，
，，，∴，，
设，，
，
设平面CEMN的法向量为，则
取，，，
依题意，得，∴或（舍去），
∴，即．
20．【解】（1）完善2×2列联表如下：
甲 乙 总和
合格 12 6 18
不合格 3 9 12
总和 15 15 30
零假设：产品质量与生产团队无关联
，
依据的独立性检验，可以认为产品质量与生产团队有关联．
（2）记事件A为“一袋中有4个合格品”，事件B为“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C为“所抽取的这袋来自乙生产”，故，，
又∵，且B与C互斥
由全概率公式，得
21．【解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，
由是与的等差中项，得，即，
则有，
化简得，即，解得，
则；
选②，设递增等差数列的公差为，由，，，
有，
化简得，即，解得，
则；
选③，设递增等差数列的公差为，由，，，
有，化简得，则，
所以，所以的通项公式为，
（2）由是以2为首项，2为公比的等比数列，得，
由（1）知，即有，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，
（3）因为，
所以不等式 ，等价于，
又，所以等价于恒成立，
令，则，
则时，，即数列递增，当时，，即数列递减，
所以当时，，则，所以实数的取值范围是．
22．【解】（1）（ⅰ）由，，
得，，
∵1是平滑函数的“平滑点”，∴，解得．
（ⅱ）由题意，，
过点作的切线，设切点，则切线方程：，
故题意等价于方程：有3个不同根，
设，则，
令，得；令，得或，
所以函数在上单调递增，在和上单调递减，
又因为，，，
且当时，，如图所示
所以．
（2）题意等价于：是否，使得对，有解，
消去a，得，，由，可得，
故题意等价于是否，使得时，成立，
又∵当时，，
故题意等价于当时，是否有解，
设，，则，
∴在上单调递减，在上单调递增，故，
∴有解，即存在满足题意的a．