15.1 分式
第2课时 分式的基本性质
【知识重点】
知识点1 分式的基本性质
1. 分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变 .
用字母表示为＝，＝ (C ≠ 0)，其中A，B，C是整式. 分式的基本性质是分式变形的理论依据.
特别解读
① 应用此性质时，要理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式.
② 运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式.
2. 分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.
用字母表示：
(1)＝＝－＝－；
(2)－＝－＝＝ .
知识点2 分式的约分
1. 分式的约分 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分.
特别解读
① 约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.
② 约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.
③ 约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式.
2. 找公因式的方法
(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；
(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式.
3. 最简分式 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
知识点3 分式的通分
1. 分式的通分 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.
2. 最简公分母 通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.
3. 通分的一般步骤
(1)确定最简公分母；
(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；
(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式.
特别解读
约分与通分的联系与区别：
1. 约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变.
2. 约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式.
【经典例题】
【例1】写出下列等式中未知的分子或分母：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝.
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
【例2】不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.
(1)；(2)；(3)；(4)－.
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变.
【例3】把分式(n ≠ 0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______________.
解题秘方：将分式中的m和n同时扩大为原来的2 倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形.
【例4】不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.
(1)；(2).
解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母乘同一个不为0 的数，使分子、分母中各项系数都化为整数.
【例5】约分：(1)；(2)；(3).
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(2)(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分.
【例6】下列各式中，最简分式有_____________.
，，，.
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
【例7】把下列各组分式通分：
(1)和；(2)和；
(3)，和.
解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分.
【同步练习】
一、选择题
1．分式与的最简公分母是( )
A．10x7 B．7x7 C．10x11 D．7x11
2．下列等式从左到右的变形一定正确的是( )
A.＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．下列分式是最简分式的是( )
A. B． C． D．
4．化简的结果是( )
A．x－2 B．x＋2 C. D．
5．计算的结果为( )
A．1 B． C． D．0
6．下列分式中，最简分式是( )
A． B． C． D．
7．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值( )
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变
8．如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值( )
A．扩大为原来的10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
9．下列运算正确的是( )
A.＝－ B．＝ C.＝x＋y D．＝－
10．要使＝成立，必须满足( )
A．x≠－2 B．x≠－2且x≠3 C．x≠3 D．以上都不对
11．【2023·海南中学月考】下列说法错误的是( )
A.与的最简公分母是6x2
B.与的最简公分母是m2－n2
C.与的最简公分母是3abc
D.与的最简公分母是ab(x－y)(y－x)
12．将，，通分，不正确的是( )
A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2
B.＝
C.＝
D.＝
二、填空题
13．不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含“－”号：－＝ ．
14．已知a∶b∶c＝2∶3∶4，则的值为 .
15．已知＝，则x的取值范围是________________.
16．已知分式，，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母，且＝8，则x＝____.
17．已知非零实数x，y满足y＝，则＝___.
18．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式中，______是“和谐分式”(填写序号即可)；
①；②；③；④；⑤.
(2)若a为正整数，且为“和谐分式”，则a＝_________.
三、解答题
19．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1)；(2)；(3)；(4)－.
20．(1)已知x＋y＝2，x－y＝，求分式的值；
(2)已知x＋4y＝－，求的值．
21．(1)先化简，再求值：－，其中a＝－2；
(2)已知＝，＝，求的值．
22．若实数a，b满足＋＝2，求的值．
23．(1)通分：，与；
(2)求证：＋＋的值不可能为0.
24．若x＋＝3，求的值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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参考答案
【经典例题】
【例1】写出下列等式中未知的分子或分母：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝.
解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
【答案】5y a2＋2ab x－y
解：(1)中，右边的分子3x是由左边的分子15x2y除以5xy得到的，所以右边的分母可以由左边的分母25xy2 除以5xy得到，因此结果是5y；
(2)中，右边的分母a2b2是由左边的分母ab2乘a得到的，所以右边的分子可以由左边的分子a＋2b乘a得到，因此结果是a2＋2ab；
(3)中，右边的分子3 是由左边的分子3x除以x得到的，所以右边的分母可以由左边的分母x2－xy除以x得到，因此结果是x－y.
【例2】不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.
(1)；(2)；(3)；(4)－.
解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变.
解：(1)＝；(2)＝－；(3)＝－；(4)－＝.
【例3】把分式(n ≠ 0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______________.
【答案】缩小为原来的
解题秘方：将分式中的m和n同时扩大为原来的2 倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形.
解：把分式(n ≠0)中的m和n同时扩大为原来的2 倍，可将分式变为＝＝，因此分式的值缩小为原来的.
不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.
【例4】(1)；(2).
解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母乘同一个不为0 的数，使分子、分母中各项系数都化为整数.
解：(1)＝＝；
(2)＝＝.
【例5】约分：(1)；(2)；(3).
解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(2)(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分.
解：(1) ＝＝；
(2)＝ ＝；
(3)＝＝＝－.
【例6】下列各式中，最简分式有_____________.
，，，.
解题秘方：根据最简分式的定义识别.
解：＝＝，
＝ ＝，∴最简分式有和 .
【例7】把下列各组分式通分：
(1)和；(2)和；
(3)，和.
解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分.
解：(1)最简公分母是12x3y2z3，
＝＝，
＝＝.
(2)最简公分母是(x＋1)(x－1)，
＝ ＝＝，
＝＝＝.
(3)最简公分母是3(x－y)2，
＝＝＝，
＝－＝－＝－，
＝＝＝.
【同步练习】
一、选择题
1．分式与的最简公分母是( A )
A．10x7 B．7x7 C．10x11 D．7x11
2．下列等式从左到右的变形一定正确的是( C )
A.＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．下列分式是最简分式的是( C )
A. B． C． D．
4．化简的结果是( B )
A．x－2 B．x＋2 C. D．
5．计算的结果为( A )
A．1 B． C． D．0
6．下列分式中，最简分式是( A )
A． B． C． D．
7．若分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值( D )
A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的 D．不变
8．如果把分式中的x和y都扩大为原来的10倍，那么分式的值( D )
A．扩大为原来的10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
9．下列运算正确的是( D )
A.＝－ B．＝ C.＝x＋y D．＝－
10．要使＝成立，必须满足( B )
A．x≠－2 B．x≠－2且x≠3 C．x≠3 D．以上都不对
11．【2023·海南中学月考】下列说法错误的是( D )
A.与的最简公分母是6x2
B.与的最简公分母是m2－n2
C.与的最简公分母是3abc
D.与的最简公分母是ab(x－y)(y－x)
12．将，，通分，不正确的是( D )
A．最简公分母是(x－2)(x＋3)2
B.＝
C.＝
D.＝
二、填空题
13．不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含“－”号：－＝ ．
【答案】
14．已知a∶b∶c＝2∶3∶4，则的值为 .
【答案】－
15．已知＝，则x的取值范围是________________.
【答案】x<2
16．已知分式，，其中m是这两个分式中分母的公因式，n是这两个分式的最简公分母，且＝8，则x＝____.
【答案】
17．已知非零实数x，y满足y＝，则＝___.
【答案】4
18．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么称这个分式为“和谐分式”．
(1)下列分式中，______是“和谐分式”(填写序号即可)；
①；②；③；④；⑤.
(2)若a为正整数，且为“和谐分式”，则a＝_________.
【答案】②⑤ 5或7
三、解答题
19．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号：
(1)；(2)；(3)；(4)－.
解：(1)＝－(变分子、分数线前符号)．
(2)＝(变分子、分母前符号)．
(3)＝－(变分母、分数线前符号)．
(4)－＝(变分母、分数线前符号)．
20．(1)已知x＋y＝2，x－y＝，求分式的值；
解：原式＝＝
＝＝.
(2)已知x＋4y＝－，求的值．
解：原式＝＝＝＝－4.
21．(1)先化简，再求值：－，其中a＝－2；
(2)已知＝，＝，求的值．
解：(1)原式＝－＝a2－2a2＝－a2.
当a＝－2时，原式＝－4.
(2)由条件得b＝2a,2b＝3c，∴c＝a，
∴＝＝.
22．若实数a，b满足＋＝2，求的值．
解：由题意，得a≠0，b≠0，则ab≠0.
把的分子与分母同时除以ab，得
＝.
把＋＝2代入上式，得
原式＝＝.
即的值为.
23．(1)通分：，与；
(2)求证：＋＋的值不可能为0.
解：(1)＝，＝，＝.
(2)证明：＋＋＝，
∵x2＋y2＋z2≥0，
∴只有当x＝y＝z＝0时等号才能成立，但x，y，z均不为0.
∴＋＋的值不可能为0.
24．若x＋＝3，求的值．
解：∵x＋＝3，∴x≠0，x2＋＋2＝9.∴x2＋＝7.
∴＝＝＝.
【解析】本题还可以用倒数法求解，颠倒所求分式的分子和分母的位置可得 ，利用分式的基本性质得x2＋1＋，再将条件等式两边平方即可得解．
